Facteur de qualité et surtension à la résonance d'intensité

1. À la résonance d'intensité, $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ :

2.

3. $U_{C,m}=Q U_m=10\times4{,}0=40\,\mathrm{V}$. En régime forcé, à la résonance d'intensité, l'amplitude aux bornes du condensateur est $Q$ fois l'amplitude du GBF : $Q$ chiffre la surtension. L'impédance est alors minimale et égale à $R_{\mathrm{tot}}$.

1. Idée : la résonance d'intensité est le régime où l'impédance se réduit à la résistance, ce qui impose $L\omega=1/(C\omega)$. De $LC\omega_0^2=1$ on tire $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, puis

2. $Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{0{,}10\times3{,}16\times10^{3}}{25}\approx\mathbf{12{,}6}$. Comme $Q>1$, l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur à la résonance, $U_{Cm}=Q\,U_m$, est plus grande que celle de la tension d'alimentation : il y a bien surtension, d'un facteur $12{,}6$.

3. Idée : la contrainte n'est pas sur le générateur mais sur un composant situé à l'intérieur du circuit. La condition $U_{Cm}\le 60\,\mathrm{V}$ s'écrit $Q\,U_m\le 60$, soit

Avec $U_m=6{,}0\,\mathrm{V}$ à la résonance d’intensité, $U_{Cm}=6\sqrt{L/C}/R\approx75{,}895\,\mathrm{V}$. La limite choisie est dépassée d’environ $15{,}9\,\mathrm{V}$ : ce réglage ne respecte donc pas le critère de l’exercice. Le calcul ne prédit pas à lui seul un instant de destruction d’un composant réel.

4. Idée : $\omega_0$ ne dépend pas de $R$, donc on peut agir sur $Q$ sans toucher à la résonance. On impose $Q'=\dfrac{60}{6{,}0}=10$, d'où

Au réglage limite exact $R_{\mathrm{tot}}=10\sqrt{10}\,\Omega$, $I_m=6/(10\sqrt{10})\approx0{,}189737\,\mathrm{A}$. On retrouve $U_{Cm}=I_m/(C\omega_0)=60\,\mathrm{V}$ sans arrondir les valeurs intermédiaires. Choisir seulement $6{,}6\,\Omega$ additionnels donnerait une résistance totale légèrement trop faible ; si le réglage était au dixième d’ohm, il faudrait au moins $6{,}7\,\Omega$.

5. Idée : $N_0$ ne contient ni $R$ ni $U_m$. $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ne dépend que de $L$ et de $C$ : la résonance reste à $503\,\mathrm{Hz}$, la modification ne la déplace pas.

À cette fréquence, l’amplitude de courant passe de $6/25=0{,}24\,\mathrm{A}$ à environ $0{,}18974\,\mathrm{A}$, soit une baisse d’environ $20{,}9\,\%$. La bande passante passe de $R/(2\pi L)\approx39{,}79\,\mathrm{Hz}$ à $R_{\mathrm{tot}}/(2\pi L)\approx50{,}33\,\mathrm{Hz}$ : le circuit devient moins sélectif. Ces résultats concernent la résonance d’intensité. Le maximum de tension du condensateur peut se situer à une fréquence légèrement différente ; les valeurs obtenues ne garantissent donc pas sa tenue pour toutes les fréquences.

1. $U_C=\frac{Q_m}{C\sqrt2}$ où $Q_m$ est l'amplitude de la charge $q$ du condensateur : le maximum de $U_C$ correspond au maximum de l'amplitude de la charge. C'est la résonance de charge, analogue électrique de la résonance d'élongation d'un pendule élastique ($q\leftrightarrow x$).

2. $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}25\times4{,}0\times10^{-6}}}=1{,}0\times10^{3}\ \text{rad·s}^{-1}$, donc $N_0=\frac{\omega_0}{2\pi}\approx\boxed{159\ \text{Hz}}$. $N_2=151\ \text{Hz}<N_0$ : comme la résonance d'élongation d'un oscillateur amorti, la résonance de charge se produit à une fréquence inférieure à la fréquence propre (analogie $m\leftrightarrow L$, $h\leftrightarrow R+r$, $k\leftrightarrow\frac1C$).

3. À $N_0$, $Z=R+r=110\ \Omega$ et $I_0=\frac{U}{R+r}=\frac{5{,}0}{110}\approx\boxed{45{,}5\ \text{mA}}$ ; $U_C=\frac{I_0}{C\omega_0}=\frac{0{,}0455}{4{,}0\times10^{-6}\times10^{3}}\approx\boxed{11{,}4\ \text{V}}$. On a $U_C(N_0)<U_2$ : la tension aux bornes du condensateur n'est pas maximale à la résonance d'intensité, son maximum est atteint un peu avant.

4. Non : l'intensité efficace n'est maximale qu'à la résonance d'intensité, pour $N=N_0$, où l'impédance est minimale ($Z=R+r$). À $N_2\neq N_0$, $Z>R+r$ et $I<I_0$ (le calcul donne environ $44\ \text{mA}$).

5.a Idée : l'amortissement éloigne la résonance de charge de $N_0$ et l'aplatit. Avec $R'<R$, l'amortissement diminue : $N'_2$ se rapproche de $N_0$ ($N_2<N'_2<N_0$) et la résonance devient plus aiguë, $U'_2>U_2$.

5.b Oui : $158\ \text{Hz}$ est plus proche de $159\ \text{Hz}$ que $151\ \text{Hz}$, et $25{,}1\ \text{V}>11{,}6\ \text{V}$. Pour un amortissement faible, résonance de charge et résonance d'intensité se confondent presque : à $N_0$, $U_C=\frac{L\omega_0}{R'+r}\,U=\frac{250}{50}\times5{,}0=25\ \text{V}$.

1. Idée : $U_R=RI$ suit exactement l'intensité. $U_R$ est maximale quand $I$ l'est, c'est-à-dire à la résonance d'intensité : (b) culmine exactement sur la graduation $200\ \text{Hz}$, alors que (a) culmine un peu avant. Aux très basses fréquences, le condensateur ne laisse presque pas passer le courant : $I\to0$ donc $U_R\to0$, et toute la tension du GBF se retrouve aux bornes du condensateur, $U_C\to U=6\ \text{V}$. (b) part de zéro : c'est $U_R(N)$.

2. D'après la courbe (b), $N_0=\boxed{200\ \text{Hz}}$ et $LC=\frac{1}{4\pi^2N_0^2}\approx\boxed{6{,}33\times10^{-7}\ \text{s}^2}$.

3. $U_{R,\max}=5{,}0\ \text{V}$ : $I_0=\frac{5{,}0}{50}=\boxed{0{,}10\ \text{A}}$. À la résonance d'intensité, $Z=R+r=\frac{U}{I_0}=60\ \Omega$, donc $r=\boxed{10\ \Omega}$.

4. Sur la courbe (a), pour $N=200\ \text{Hz}$, $U_C\approx12{,}6\ \text{V}$. Or $U_C=\frac{I_0}{2\pi N_0C}$, donc $C=\frac{0{,}10}{2\pi\times200\times12{,}6}\approx\boxed{6{,}3\ \mu\text{F}}$, puis $L=\frac{LC}{C}\approx\boxed{0{,}10\ \text{H}}$.

5. Non : le maximum de (a), environ $12{,}9\ \text{V}$, est atteint vers $188\ \text{Hz}$, avant $N_0$ ; c'est la résonance de charge. Le rapport $\frac{U_C(N_0)}{U}=\frac{12{,}6}{6{,}0}=2{,}1$ est le facteur de surtension $Q$ ; on vérifie $Q=\frac{L\omega_0}{R+r}=\frac{0{,}10\times1257}{60}\approx2{,}1$.

1. Dans le triangle des impédances (ou la construction de Fresnel), le côté adjacent à $\varphi$ est la résistance totale : $\cos\varphi=\frac{R+r}{Z}$. Avec $U=ZI$ : $P=ZI\cdot I\cdot\frac{R+r}{Z}=(R+r)\,I^2$. Elle est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique et dans la résistance $r$ de la bobine ; l'inductance et le condensateur échangent de l'énergie sans en consommer en moyenne.

2. $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{1{,}0\times10^{-6}}}\approx\boxed{159\ \text{Hz}}$. À la résonance d'intensité, $Z=R+r=50\ \Omega$ : $I_0=\frac{10}{50}=\boxed{0{,}20\ \text{A}}$, $\varphi=0$ donc $\cos\varphi=1$, et $P_0=50\times0{,}20^2=\boxed{2{,}0\ \text{W}}$.

3. $\omega_1=2\pi N_1\approx1571\ \text{rad·s}^{-1}$ : $L\omega_1\approx314\ \Omega$ et $\frac{1}{C\omega_1}\approx127\ \Omega$, d'où

$I_1=\frac{10}{193}\approx\boxed{51{,}7\ \text{mA}}$, $\cos\varphi_1=\frac{50}{193}\approx\boxed{0{,}26}$ et $P_1=50\times0{,}0517^2\approx\boxed{0{,}134\ \text{W}}$. Le produit $UI_1\approx0{,}52\ \text{V·A}$ est près de quatre fois plus grand : seule la fraction $\cos\varphi_1$ de $UI_1$ est réellement consommée.

4. $P=(R+r)I^2$ avec $R+r$ constante : $P$ est maximale quand $I$ l'est, c'est-à-dire à la résonance d'intensité, où $\cos\varphi=1$ et $P_0=\frac{U^2}{R+r}$.

5. Idée : à puissance et tension fixées, le courant varie comme $\frac{1}{\cos\varphi}$. $I=\frac{P}{U\cos\varphi}$ : un facteur de puissance faible impose un courant plus intense pour la même puissance utile, donc davantage de pertes par effet Joule dans les lignes (proportionnelles à $I^2$). Avec $\cos\varphi=0{,}26$, il faudrait un courant environ quatre fois plus intense qu'avec $\cos\varphi=1$, et des pertes en ligne environ quinze fois plus grandes.