L'exercice de régime sinusoïdal forcé complet : identifier deux dipôles par le déphasage, Fresnel, $L$ et $C$, résonance

1.a $N_1=\dfrac1{T}=\dfrac{1}{10\times10^{-3}}=100\,\text{Hz}$ ; $I_m=\dfrac{U_{R_0m}}{R_0}=\dfrac{2{,}0}{50}=40\,\text{mA}$. Un décalage de $1{,}25\,\text{ms}$ sur une période de $10\,\text{ms}$ vaut $\dfrac{1{,}25}{10}\times2\pi=\dfrac{\pi}{4}$ ; $u_{R_0}$ (donc $i$) est en retard sur $u$, d'où $\varphi_i=-\dfrac{\pi}{4}$. Le courant est en retard sur la tension : le circuit est inductif à $N_1$.

1.b $u_{R_0}=R_0\,i$ avec $R_0$ constante positive : même phase, amplitude proportionnelle.

2.a Idée : le déphasage entre $u_D$ et $i$ signe le dipôle. $u_{D_2}$ est en quadrature retard sur $u_{R_0}$, donc sur $i$ : c'est la signature d'un condensateur ($u_C=\dfrac{1}{C}\int i\,\dd t$, retard de $\dfrac{\pi}{2}$). L'autre dipôle est nécessairement la bobine ; cohérent avec le caractère inductif global.

2.b $U_{Cm}=\dfrac{I_m}{C\omega}$ avec $\omega=2\pi N_1=200\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ : $\dfrac{1}{C\omega}=\dfrac{2{,}0}{0{,}040}=50\,\Omega$, d'où

3.a Loi des mailles : $u=u_{R_0}+u_L+u_C$. Fresnel (échelle des tensions) : $\vec{OA}$ de norme $R_0I_m=2{,}0\,\text{V}$ porté par l'axe de référence ($u_{R_0}$ en phase avec $i$) ; $u_L$ : norme $L\omega I_m$, en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ (vertical vers le haut) ; $u_C$ : norme $\dfrac{I_m}{C\omega}=2{,}0\,\text{V}$, en retard de $\dfrac{\pi}{2}$ (vertical vers le bas) ; $u$ : somme vectorielle, de norme $U_m$, faisant l'angle $-\varphi_i=+\dfrac{\pi}{4}$ avec $\vec{OA}$.

3.b Idée : $\tan(-\varphi_i)=\dfrac{L\omega-1/(C\omega)}{R_0}$. $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ donne $L\omega-\dfrac{1}{C\omega}=R_0=50\,\Omega$, soit $L\omega=100\,\Omega$ et

3.c $U_m=I_m\sqrt{R_0^2+\Big(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\Big)^2}=0{,}040\times\sqrt{50^2+50^2}=0{,}040\times70{,}7\approx2{,}8\,\text{V}$ : cohérent avec la lecture.

4.a $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ; $LC=\dfrac{100}{\omega}\cdot\dfrac{1}{50\omega}=\dfrac{2}{\omega^2}$, donc $N_0=\dfrac{\omega}{2\pi\sqrt2}=\dfrac{N_1}{\sqrt2}\approx71\,\text{Hz}$. À la résonance d'intensité, $I_0=\dfrac{U_m}{R_0}=\dfrac{2{,}8}{50}=56\,\text{mA}$.

4.b $N_1=100\,\text{Hz}>N_0\approx71\,\text{Hz}$ : au-dessus de la fréquence propre, $L\omega>\dfrac{1}{C\omega}$, le circuit est inductif et le courant est en retard sur la tension — ce que la question 1 avait établi.