OF-IOscillations électriques forcées et résonance

TP d'électricité en quatre expériences (Sciences techniques) : pile réelle et condensateur ( $E$ , $r$ , $C$ ), bobine ( $r_b$ , $L$ ), oscillations libres amorties, puis résonance d'intensité avec le même matériel

Idée directrice

En Sciences techniques, le premier exercice de physique est souvent une séance de travaux pratiques en plusieurs expériences menées avec le même matériel : la charge du condensateur par une pile réelle donne $E$ (asymptote), $r$ (valeur initiale de $u_R$ ) et $C$ (constante de temps) ; l'établissement du courant dans la bobine donne $r_b$ (régime permanent) et $L$ ; la décharge du condensateur dans la bobine vérifie $L$ et $C$ par la période propre et fait le bilan d'énergie ; le régime forcé confirme tout par la résonance d'intensité. À chaque étape, il faut reconnaître la lecture graphique qui isole une seule inconnue et réinjecter les valeurs déjà trouvées.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Lors d'une séance de travaux pratiques… le but est de déterminer $E$ , $r$ … » ; « identifier, parmi les courbes, celle qui correspond à $u_C(t)$ » ; « montrer que $r=R\left(\frac{E}{U_0}-1\right)$ » ; « justifier que la bobine n'est pas purement inductive » ; « qualifier les oscillations » ; « en admettant que $T$ est égale à la période propre $T_0$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Pile réelle $(E,r)$ + $R$ + $C$ : $u_C\to E$ (asymptote), $u_R(0)=\dfrac{RE}{R+r}$ donne $r$ , et $\tau=(R+r)C$ donne $C$ .
Bobine $(L,r_b)$ : $i(0)=0$ ; en régime permanent $u_B=r_bI_p\neq0$ si $r_b\neq0$ ; $\tau'=\dfrac{L}{R_{\text{totale}}}$ (63 % de la valeur finale ou tangente à l'origine).
Décharge dans la bobine : qualifier (libres, amorties, pseudo-périodiques) ; $T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}$ ; énergie aux maximums de $u_C$ : $\dfrac12Cu_C^2$ ( $i=0$ ).
Régime forcé : à la résonance $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ et $Z_0=R+r_b=\dfrac{U}{I_0}$ ; surtension $U_C=\dfrac{I_0}{C\omega_0}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier la résistance interne $r$ de la pile dans $\tau=(R+r)C$ et dans $\tau'$ ; lire $\tau'$ à $63\ \%$ de $E$ au lieu de $63\ \%$ de $U_{Rp}$ ; confondre $u_B$ (qui part de $E$ ) et $u_R$ (qui part de $0$ ) ; conclure $r_b=0$ parce que $u_B$ tend vers une « petite » valeur ; calculer l'énergie à $t=T$ avec $\frac12Li^2$ alors que $i=0$ ; oublier $R$ dans l'impédance à la résonance.

Sujet principal

Exercice 1 — électricité (8 points), dans l'esprit des sessions 2015–2026 (Sciences techniques)

15 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Lors d'une séance de travaux pratiques, on dispose du matériel suivant : une pile $(P)$ de f.é.m. $E$ et de résistance interne $r$ (modélisée par un générateur idéal de tension de f.é.m. $E$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $r$ ) ; un conducteur ohmique de résistance $R=50\ \Omega$ ; un condensateur de capacité $C$ ; une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r_b$ ; un générateur basses fréquences (GBF) ; un ampèremètre ; un oscilloscope à mémoire ; un interrupteur $K$ et un commutateur à deux positions. Le but de la séance est de déterminer $E$ , $r$ , $C$ , $r_b$ et $L$ ; chaque expérience réutilise les résultats des précédentes.

I- Première expérience. Le condensateur étant initialement déchargé, on réalise le circuit série formé de la pile $(P)$ , de l'interrupteur $K$ , du conducteur ohmique $R$ et du condensateur. À l'instant $t=0$ , on ferme $K$ ; l'oscilloscope enregistre la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur et la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique. On obtient les courbes $(\mathcal C_1)$ et $(\mathcal C_2)$ de la figure 1 ; $(\Delta)$ est la tangente à $(\mathcal C_2)$ à l'instant $t=0$ .

Identifier, parmi les courbes $(\mathcal C_1)$ et $(\mathcal C_2)$ , celle qui correspond à l'évolution de la tension $u_C(t)$ . Justifier.
Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C(t)$ s'écrit $E=u_C+\tau\dfrac{du_C}{dt}$ , où l'on exprimera la constante de temps $\tau$ en fonction de $R$ , $r$ et $C$ .
En exploitant la figure 1, déterminer la f.é.m. $E$ de la pile, la valeur $U_0$ de la tension $u_R$ à l'instant $t=0$ et la constante de temps $\tau$ .
Pile et condensateur.
1. Montrer que $r=R\left(\dfrac{E}{U_0}-1\right)$ . Calculer $r$ .
2. En déduire la valeur de la capacité $C$ du condensateur.

II- Deuxième expérience. On remplace le condensateur par la bobine : le circuit série comporte la pile $(P)$ , l'interrupteur $K$ , la bobine et le conducteur ohmique $R$ . À un instant pris comme origine des temps, on ferme $K$ . L'oscilloscope enregistre la tension $u_B(t)$ aux bornes de la bobine et la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique : ce sont les courbes $(\mathcal C_3)$ et $(\mathcal C_4)$ de la figure 2.

Établissement du courant.
1. Identifier la courbe qui représente $u_R(t)$ . Justifier.
2. Nommer le phénomène physique responsable du retard de l'établissement du courant dans le circuit.
Justifier, à partir de la courbe représentant $u_B(t)$ , que la bobine n'est pas purement inductive.
Lire la valeur $U_{Rp}$ de la tension $u_R$ en régime permanent. En déduire l'intensité $I_p$ du courant en régime permanent, puis la résistance $r_b$ de la bobine. Vérifier ce résultat à l'aide de la valeur de $u_B$ en régime permanent.
La constante de temps de ce circuit est $\tau'=\dfrac{L}{R+r+r_b}$ . Déterminer graphiquement $\tau'$ , durée au bout de laquelle $u_R$ atteint $63\ \%$ de $U_{Rp}$ , puis calculer l'inductance $L$ .

III- Troisième expérience. Le commutateur étant en position (1), on charge complètement le condensateur à l'aide de la pile $(P)$ . À un instant pris comme nouvelle origine des temps, on bascule le commutateur en position (2) : le condensateur se décharge dans la bobine seule. L'oscilloscope enregistre la tension $u_C(t)$ (figure 3).

Qualifier les oscillations observées en choisissant parmi : libres, forcées, amorties, non amorties, pseudo-périodiques. Justifier chaque choix.
Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ . En admettant que $T$ est pratiquement égale à la période propre $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ , retrouver la valeur de $L$ .
Énergie de l'oscillateur.
1. Exprimer l'énergie totale $\mathcal E$ du circuit en fonction de $C$ , $u_C$ , $L$ et de l'intensité $i$ du courant.
2. Calculer $\mathcal E$ aux dates $t=0$ et $t=T$ .
3. Préciser la cause de la diminution de $\mathcal E$ et calculer l'énergie perdue pendant la première pseudo-période.

IV- Quatrième expérience. On monte en série, aux bornes du GBF, le conducteur ohmique $R$ , la bobine, le condensateur et l'ampèremètre, de résistance négligeable : on obtient un circuit série RLC. Le GBF délivre une tension sinusoïdale de valeur efficace $U=2{,}6\ \text{V}$ constante et de fréquence $N$ réglable. On relève l'intensité efficace $I$ du courant pour différentes valeurs de $N$ et on obtient la courbe de la figure 4.

Réponse du circuit.
1. Lire la valeur maximale $I_0$ de l'intensité efficace et la fréquence $N_0$ correspondante. Nommer le phénomène dont le circuit est le siège pour $N=N_0$ .
2. Vérifier que la valeur de $N_0$ est compatible avec les valeurs de $L$ et de $C$ trouvées.
Montrer que, pour $N=N_0$ , l'impédance du circuit vaut $R+r_b$ . Retrouver la valeur de $r_b$ .
Calculer la tension efficace $U_C$ aux bornes du condensateur pour $N=N_0$ . La comparer à $U$ et nommer le phénomène mis en évidence.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 Idée : comparer les valeurs à $t=0$ . Le condensateur est initialement déchargé : $u_C(0)=0$ , puis $u_C$ croît vers $E$ . Au contraire $u_R(0)=R\,i(0)\neq0$ est maximale à $t=0$ puis décroît vers $0$ quand le courant s'annule. La courbe qui part de $0$ est donc $\boxed{(\mathcal C_2)=u_C(t)}$ , et $(\mathcal C_1)=u_R(t)$ .

I.2 D'après la loi des mailles : $E=u_r+u_R+u_C=(R+r)\,i+u_C$ , avec $i=C\dfrac{du_C}{dt}$ (convention récepteur) :

E=u_C+(R+r)\,C\,\frac{du_C}{dt}

C'est la forme demandée avec $\boxed{\tau=(R+r)\,C}$ .

I.3 En régime permanent, $i=0$ donc $u_C=E$ : l'asymptote de $(\mathcal C_2)$ donne $\boxed{E=6{,}0\ \text{V}}$ . L'ordonnée à l'origine de $(\mathcal C_1)$ donne $\boxed{U_0=5{,}0\ \text{V}}$ . La tangente $(\Delta)$ coupe l'asymptote $u_C=E$ à la date $t=\tau$ : graphiquement $\boxed{\tau=1{,}5\ \text{ms}}$ (contrôle : $u_C(\tau)\approx0{,}63\times6{,}0\approx3{,}8\ \text{V}$ sur la courbe).

I.4.a Idée : à $t=0$ , $u_C=0$ et toute la f.é.m. se partage entre $r$ et $R$ . $i(0)=\dfrac{E}{R+r}$ et $U_0=R\,i(0)=\dfrac{RE}{R+r}$ , donc $\dfrac{E}{U_0}=1+\dfrac rR$ , soit $r=R\left(\dfrac{E}{U_0}-1\right)$ . AN : $r=50\times(1{,}2-1)=\boxed{10\ \Omega}$ .

I.4.b $C=\dfrac{\tau}{R+r}=\dfrac{1{,}5\times10^{-3}}{60}=\boxed{2{,}5\times10^{-5}\ \text{F}}$ , soit $25\ \mu\text{F}$ .

II.1.a À la fermeture de $K$ , la bobine s'oppose à l'établissement du courant : $i(0)=0$ , donc $u_R(0)=0$ . La courbe qui part de $0$ est $\boxed{(\mathcal C_4)=u_R(t)}$ ; $(\mathcal C_3)$ représente $u_B(t)$ (à $t=0$ , $u_B=E=6{,}0\ \text{V}$ puisque $u_r=u_R=0$ ).

II.1.b C'est le phénomène d'auto-induction : la variation du courant fait apparaître dans la bobine une f.é.m. d'auto-induction qui s'oppose à cette variation.

II.2 $u_B=r_b\,i+L\dfrac{di}{dt}$ . En régime permanent, $\dfrac{di}{dt}=0$ et $u_B=r_bI_p$ . Or $(\mathcal C_3)$ tend vers $1{,}2\ \text{V}\neq0$ : donc $r_b\neq0$ , la bobine n'est pas purement inductive.

II.3 Lecture : $U_{Rp}=4{,}0\ \text{V}$ , d'où $I_p=\dfrac{U_{Rp}}{R}=\dfrac{4{,}0}{50}=0{,}080\ \text{A}$ . En régime permanent, la loi des mailles donne $E=(R+r+r_b)\,I_p$ , d'où $r_b=\dfrac{E}{I_p}-R-r=75-60=\boxed{15\ \Omega}$ . Vérification : $u_B=r_bI_p=15\times0{,}080=1{,}2\ \text{V}$ , valeur de l'asymptote de $(\mathcal C_3)$ .

II.4 $0{,}63\,U_{Rp}\approx2{,}5\ \text{V}$ est atteinte graphiquement à $\boxed{\tau'\approx4{,}8\ \text{ms}}$ . Donc $L=\tau'(R+r+r_b)=4{,}8\times10^{-3}\times75=\boxed{0{,}36\ \text{H}}$ .

III.1 Oscillations libres : après la bascule, le circuit ne comporte aucun générateur. Amorties : les maximums successifs diminuent (environ $6{,}0$ V, $4{,}0$ V puis $2{,}7$ V). Pseudo-périodiques : les maximums se reproduisent à intervalles de temps égaux.

III.2 D'après la loi des mailles : $u_C+r_b\,i+L\dfrac{di}{dt}=0$ , avec $i=C\dfrac{du_C}{dt}$ :

LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2}+r_bC\,\frac{du_C}{dt}+u_C=0

III.3 Les maximums de $u_C$ reviennent vers $19$ , $38$ puis $57\ \text{ms}$ : trois pseudo-périodes durent environ $57\ \text{ms}$ , d'où $\boxed{T\approx19\ \text{ms}}$ . Avec $T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}$ : $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2C}$ ; AN : $L=\dfrac{(19\times10^{-3})^2}{4\pi^2\times2{,}5\times10^{-5}}\approx\boxed{0{,}37\ \text{H}}$ , en accord, à la précision de la lecture près, avec $L=0{,}36\ \text{H}$ trouvé dans la deuxième expérience.

III.4.a $\mathcal E=\dfrac12\,C\,u_C^2+\dfrac12\,L\,i^2$ .

III.4.b Idée : aux maximums de $u_C$ , $i=C\dfrac{du_C}{dt}=0$ et l'énergie est purement électrique. À $t=0$ : $\mathcal E_0=\dfrac12\,C\,E^2=\dfrac12\times2{,}5\times10^{-5}\times36=\boxed{4{,}5\times10^{-4}\ \text{J}}$ . À $t=T$ , on lit $u_C\approx4{,}0\ \text{V}$ : $\mathcal E_1\approx\dfrac12\times2{,}5\times10^{-5}\times16=\boxed{2{,}0\times10^{-4}\ \text{J}}$ .

III.4.c L'énergie diminue à cause de l'effet Joule dans la résistance $r_b$ de la bobine, seule résistance du circuit. Énergie perdue pendant la première pseudo-période : $\mathcal E_0-\mathcal E_1\approx\boxed{2{,}5\times10^{-4}\ \text{J}}$ .

IV.1.a Lecture : $\boxed{I_0=40\ \text{mA}}$ pour $\boxed{N_0\approx53\ \text{Hz}}$ . L'intensité efficace est maximale : le circuit est le siège d'une résonance d'intensité.

IV.1.b À la résonance, $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ avec $\sqrt{LC}=\sqrt{0{,}36\times2{,}5\times10^{-5}}=3{,}0\times10^{-3}\ \text{s}$ : $N_0\approx53{,}1\ \text{Hz}$ , compatible avec la lecture.

IV.2 Idée : à la résonance, les effets de la bobine et du condensateur se compensent. Pour $N=N_0$ , $L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}$ , donc l'impédance $Z=\sqrt{(R+r_b)^2+\left(L\omega_0-\frac{1}{C\omega_0}\right)^2}$ se réduit à $Z_0=R+r_b$ . Loi d'Ohm en valeurs efficaces : $R+r_b=\dfrac{U}{I_0}=\dfrac{2{,}6}{0{,}040}=65\ \Omega$ , d'où $r_b=\boxed{15\ \Omega}$ , comme dans la deuxième expérience.

IV.3 $U_C=\dfrac{I_0}{C\,\omega_0}$ avec $\omega_0=2\pi N_0\approx333\ \text{rad·s}^{-1}$ : $U_C\approx\dfrac{0{,}040}{2{,}5\times10^{-5}\times333}\approx\boxed{4{,}8\ \text{V}}$ . $U_C>U$ : c'est le phénomène de surtension à la résonance, de facteur $Q=\dfrac{U_C}{U}\approx1{,}8$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : charge par une pile réelle $(E,r)$ puis établissement du courant dans la bobine (principale 2018, Sciences techniques) ; bobine $(L,r)$ puis décharge du condensateur dans la bobine avec les courbes d'énergie (contrôle 2017) ; charge du condensateur puis oscillations libres amorties (principale 2015) ; charge du condensateur puis régime forcé (contrôle 2016) ; deux lampes pour reconnaître les dipôles, bobine purement inductive, puis un commutateur donnant la charge et les oscillations LC (contrôle 2021) ; énergie magnétique $E_L(t)$ de période $\frac{T_0}{2}$ (principale 2025) ; charge RC puis résonance d'intensité et filtre (principale 2026). En Sciences de l'informatique, l'exercice ne compte que deux expériences : oscillations libres puis régime forcé (principale 2023), charge à courant constant puis dipôle RC (principales 2024 et 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OF-I.1 — énergie magnétique

E_L(t)

d'un circuit LC non amorti :

T_0=2T

, puis

L

U_0

I_m

Entraînement 01 / 01

Drill OF-I.1 — énergie magnétique $E_L(t)$ d'un circuit LC non amorti : $T_0=2T$ , puis $L$ , $U_0$ et $I_m$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un condensateur de capacité $C=40\ \mu\text{F}$ , initialement chargé sous une tension $U_0$ , est relié à l'instant $t=0$ , par la bascule d'un commutateur, à une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable. Un dispositif d'acquisition permet de suivre l'évolution temporelle de l'énergie magnétique $E_L$ emmagasinée dans la bobine ; on obtient la courbe ci-dessous.

Justifier, à partir de la courbe, que le circuit est le siège d'oscillations électriques libres non amorties.
En déduire la valeur de l'énergie totale $\mathcal E$ du circuit.
Période de l'énergie.
1. L'intensité du courant s'écrit $i=I_m\sin\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\,t+\varphi\right)$ , où $T_0$ est la période propre de l'oscillateur. Montrer que $E_L$ est périodique de période $T=\dfrac{T_0}{2}$ .
2. Déterminer $T$ sur la courbe, puis $T_0$ . En déduire l'inductance $L$ .
Calculer la tension $U_0$ et l'intensité maximale $I_m$ du courant.
Déterminer la première date $t_1>0$ à laquelle l'énergie électrique du condensateur est égale à l'énergie magnétique de la bobine.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Les maximums de $E_L$ gardent la même valeur au cours du temps : l'énergie de l'oscillateur ne diminue pas, il n'y a pas d'effet Joule (résistance négligeable). Les oscillations sont non amorties ; elles sont libres car aucun générateur n'alimente le circuit après la bascule.

2. Idée : quand $E_L$ est maximale, $i$ est maximale et $u_C=0$ . L'énergie électrique est alors nulle, donc $\mathcal E=E_{L\max}=\boxed{5{,}0\times10^{-4}\ \text{J}}$ .

3.a $E_L=\dfrac12\,L\,i^2=\dfrac12\,L\,I_m^2\sin^2\theta$ avec $\theta=\dfrac{2\pi}{T_0}\,t+\varphi$ . Comme $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ :

E_L=\frac{L I_m^2}{4}\,\left(1-\cos 2\theta\right)

et $2\theta=\dfrac{4\pi}{T_0}\,t+2\varphi=\dfrac{2\pi}{T_0/2}\,t+2\varphi$ : $E_L$ est périodique de période $\boxed{T=\dfrac{T_0}{2}}$ .

3.b $E_L$ s'annule aux dates $0$ ; $6{,}3$ ; $12{,}6$ ; $18{,}8\ \text{ms}$ : $T\approx6{,}3\ \text{ms}$ et $T_0=2T\approx12{,}6\ \text{ms}$ . Avec $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ : $L=\dfrac{T_0^2}{4\pi^2C}$ ; AN : $L\approx\boxed{0{,}10\ \text{H}}$ .

4. À $t=0$ , $i=0$ : $\mathcal E=\dfrac12\,C\,U_0^2$ , d'où $U_0=\sqrt{\dfrac{2\mathcal E}{C}}=\sqrt{25}=\boxed{5{,}0\ \text{V}}$ . De même $\mathcal E=\dfrac12\,L\,I_m^2$ , d'où $I_m=\sqrt{\dfrac{2\mathcal E}{L}}=\boxed{0{,}10\ \text{A}}$ .

5. Idée : l'égalité des deux énergies impose $E_L=\dfrac{\mathcal E}{2}$ . La courbe part de $E_L=0$ , donc $\varphi=0$ (ou $\pi$ ) et $\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t_1\right)=\dfrac12$ , soit $\dfrac{2\pi}{T_0}t_1=\dfrac\pi4$ : $t_1=\dfrac{T_0}{8}\approx\boxed{1{,}57\ \text{ms}}$ , date à laquelle on lit bien $E_L=25\times10^{-5}\ \text{J}$ sur la courbe.

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