OF-FOscillations électriques forcées et résonance

Régime forcé à une fréquence $N_1$ : branchements, oscillogrammes $u$ et $u_R$ , nature du circuit, $r$ par $\cos\Delta\varphi$ , Fresnel à l'échelle, puis résonance

Idée directrice

À une fréquence $N_1$ quelconque, le bac fait lire l'état du circuit sur deux oscillogrammes. $u_R=Ri$ est l'image de $i$ : le décalage horaire $\Delta t$ entre $u$ et $u_R$ donne $|\Delta\varphi|=2\pi\frac{\Delta t}{T}$ , et celle qui passe la première par zéro en donne le signe ( $u$ en avance : circuit inductif ; $i$ en avance : capacitif ; en phase : résistif). Les amplitudes donnent $I_m$ et $Z$ ; le triangle des impédances ( $\cos\Delta\varphi=\frac{R+r}{Z}$ ) donne $r$ ; la construction de Fresnel à l'échelle, complétée sur l'annexe, donne $L$ et $C$ ; la comparaison de $N_1$ à $N_0$ confirme la nature du circuit, et un dernier réglage ( $\Delta\varphi=0$ ) ramène à la résonance d'intensité.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« En déduire la nature du circuit (capacitif, inductif ou résistif) » ; « indiquer, parmi les points …, celui qui est relié à la masse de l'oscilloscope » ; « la sensibilité verticale est la même sur les deux voies » ; « montrer que le déphasage … est $\Delta\varphi=\dots$ » ; « compléter, en respectant l'échelle donnée, la construction de Fresnel inachevée »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Branchements : masse de l'oscilloscope au point commun du GBF et du conducteur ohmique ; $u_R=Ri$ est l'image de $i$ .
Même sensibilité sur les deux voies : la courbe de plus grande amplitude est $u$ ( $Z>R$ ).
$|\Delta\varphi|=2\pi\frac{\Delta t}{T}$ ; le signe vient de l'ordre des passages par zéro : $i$ en avance → capacitif, $u$ en avance → inductif, en phase → résistif.
$Z=\frac{U_m}{I_m}$ puis $\cos\Delta\varphi=\frac{R+r}{Z}$ pour $r$ ; Fresnel : placer chaque vecteur par rapport à $\vec I_m$ , fermer le polygone sur $\vec U_m$ , mesurer et convertir avec l'échelle.
Contrôle : $N_1<N_0$ ↔ capacitif, $N_1>N_0$ ↔ inductif.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire une amplitude crête à crête ; oublier qu'une indication de voltmètre est efficace alors que l'échelle de Fresnel porte souvent sur des amplitudes ( $\times\sqrt2$ ) ; inverser le signe de $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ (il est négatif quand $i$ est en avance) ; placer le vecteur du condensateur en avance sur $\vec I_m$ ; relier la masse de l'oscilloscope à un point qui court-circuite un dipôle par la masse du GBF.

Sujet principal

Exercice 1 — oscillations électriques forcées (5 points), dans l'esprit des sessions 2015–2023

8 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit série comporte un conducteur ohmique de résistance $R=80\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , un condensateur de capacité $C$ et un ampèremètre de résistance négligeable. Un générateur basses fréquences (GBF) impose aux bornes de l'ensemble une tension $u(t)=U_m\sin(2\pi Nt)$ d'amplitude $U_m$ constante et de fréquence $N$ réglable ; l'intensité du courant s'écrit $i(t)=I_m\sin(2\pi Nt+\varphi_i)$ .

Le GBF est branché entre les points $M$ (sa borne reliée à la masse) et $A$ . En partant de $A$ , on rencontre successivement la bobine (entre $A$ et $B$ ), le condensateur (entre $B$ et $D$ ) et le conducteur ohmique (entre $D$ et $M$ ).

Pour $N=N_1$ , un oscilloscope bicourbe visualise la tension $u(t)$ sur la voie $Y_1$ et la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique sur la voie $Y_2$ : on obtient les oscillogrammes $(C_1)$ et $(C_2)$ de la figure 1. Réglages : sensibilité horizontale $0{,}5\ \text{ms/div}$ ; sensibilité verticale $2{,}5\ \text{V/div}$ sur les deux voies.

Branchements.
1. Indiquer, parmi les points $A$ , $B$ , $D$ et $M$ , celui qui doit être relié à la masse de l'oscilloscope, et ceux qui sont reliés aux voies $Y_1$ et $Y_2$ .
2. Justifier que $u_R(t)$ traduit fidèlement les variations de l'intensité $i(t)$ .
Montrer que l'oscillogramme $(C_1)$ correspond à $u(t)$ .
En exploitant la figure 1, déterminer :
1. la fréquence $N_1$ ;
2. les amplitudes $U_m$ et $U_{Rm}$ ; en déduire $I_m$ puis l'intensité efficace $I_1$ indiquée par l'ampèremètre ;
3. le déphasage $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ . En déduire la nature du circuit (capacitif, inductif ou résistif).
Impédance et résistance de la bobine.
1. Calculer l'impédance $Z_1$ du circuit à la fréquence $N_1$ .
2. En utilisant $\cos\Delta\varphi$ , montrer que $r=20\ \Omega$ .
Montrer que l'intensité $i(t)$ est régie par l'équation différentielle $(R+r)\,i+L\frac{di}{dt}+\frac1C\int i\,dt=u(t)$ .
Un voltmètre branché aux bornes du condensateur indique $U_C=13{,}5\ \text{V}$ . La figure 2 (annexe à compléter) représente la construction de Fresnel inachevée, à la fréquence $N_1$ , relative à l'équation différentielle précédente : l'axe $\varphi=0$ porte la phase de $u(t)$ et seul le vecteur $\overrightarrow{OP}$ associé à $u(t)$ est tracé, à l'échelle $1\ \text{cm}\leftrightarrow2\ \text{V}$ .
1. Calculer $U_{Cm}$ , puis les longueurs des vecteurs associés à $(R+r)\,i$ et à $\frac1C\int i\,dt$ .
2. Compléter, en respectant l'échelle, la construction : $\overrightarrow{OE}$ associé à $(R+r)\,i$ , $\overrightarrow{EF}$ associé à $\frac1C\int i\,dt$ , puis $\overrightarrow{FP}$ associé à $L\frac{di}{dt}$ .
3. Mesurer $FP$ et en déduire $L$ . Déterminer $C$ à partir de l'indication du voltmètre.
Calculer la fréquence propre $N_0$ du circuit. Situer $N_1$ par rapport à $N_0$ et vérifier la cohérence avec la nature du circuit trouvée en 3.c.
Le voltmètre est maintenant branché aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur}. On règle la fréquence à une valeur $N_2$ qui annule le déphasage $\Delta\varphi$ .
1. Préciser la valeur de $N_2$ et l'état du circuit.
2. Déterminer l'indication $I_2$ de l'ampèremètre et l'indication $U_2$ du voltmètre.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : l'oscilloscope et le GBF ont une masse commune ; on la place au point commun du GBF et du conducteur ohmique, pour prendre les deux tensions par rapport au même point sans inversion. La masse est reliée à $M$ , la voie $Y_1$ à $A$ ( $u=u_{AM}$ ) et la voie $Y_2$ à $D$ ( $u_R=u_{DM}$ ). Une masse placée en $D$ serait reliée à celle du GBF ( $M$ ) et court-circuiterait le conducteur ohmique.

1.b $u_R=u_{DM}=R\,i$ avec $R$ constante positive : $u_R(t)$ est proportionnelle à $i(t)$ , en phase avec elle ; c'est l'image de l'intensité.

2. Idée : même sensibilité sur les deux voies, on compare les amplitudes. $U_m=Z_1I_m$ et $U_{Rm}=RI_m$ , avec $Z_1\geq R+r>R$ : donc $U_m>U_{Rm}$ . La courbe de plus grande amplitude, $(C_1)$ (4 divisions contre 1,6), représente $u(t)$ .

3.a D'après les oscillogrammes, une période occupe 6 divisions : $T_1=6\times0{,}5=3{,}0\ \text{ms}$ et $N_1=\frac{1}{T_1}\approx\boxed{333\ \text{Hz}}$ .

3.b $U_m=4\times2{,}5=\boxed{10\ \text{V}}$ et $U_{Rm}=1{,}6\times2{,}5=\boxed{4{,}0\ \text{V}}$ . D'où $I_m=\frac{U_{Rm}}{R}=\frac{4{,}0}{80}=0{,}050\ \text{A}$ et $I_1=\frac{I_m}{\sqrt2}\approx\boxed{35{,}4\ \text{mA}}$ .

3.c Idée : le décalage horaire donne la valeur absolue du déphasage, l'ordre des passages par zéro en donne le signe. $(C_2)$ passe par zéro en croissant une division avant $(C_1)$ : $\Delta t=0{,}5\ \text{ms}=\frac{T_1}{6}$ , donc $|\Delta\varphi|=2\pi\frac{\Delta t}{T_1}=\frac{\pi}{3}$ . $u_R$ , donc $i$ , est en avance sur $u$ : $\varphi_i>\varphi_u$ et $\boxed{\Delta\varphi=-\frac{\pi}{3}\ \text{rad}}$ . L'intensité est en avance sur la tension : le circuit est capacitif ( $\frac{1}{C\omega_1}>L\omega_1$ ).

4.a $Z_1=\frac{U_m}{I_m}=\frac{10}{0{,}050}=\boxed{200\ \Omega}$ .

4.b Idée : dans le triangle des impédances, le côté adjacent à $\Delta\varphi$ est la résistance totale. $\cos\Delta\varphi=\frac{R+r}{Z_1}$ , donc $R+r=Z_1\cos\frac{\pi}{3}=100\ \Omega$ et $r=100-80=\boxed{20\ \Omega}$ .

5. D'après la loi des mailles, $u=u_{AB}+u_{BD}+u_{DM}$ , avec $u_{AB}=r\,i+L\frac{di}{dt}$ (bobine), $u_{BD}=\frac qC=\frac1C\int i\,dt$ (condensateur, $i=\frac{dq}{dt}$ ) et $u_{DM}=R\,i$ : on obtient $(R+r)\,i+L\frac{di}{dt}+\frac1C\int i\,dt=u(t)$ .

6.a Le voltmètre indique une valeur efficace : $U_{Cm}=U_C\sqrt2\approx19{,}1\ \text{V}$ , soit $EF\approx9{,}55\ \text{cm}$ . $(R+r)I_m=100\times0{,}050=5{,}0\ \text{V}$ , soit $OE=2{,}5\ \text{cm}$ ; et $OP=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$ .

6.b Idée : chaque vecteur se place par rapport à la direction de $\vec I_m$ , qui fait l'angle $\varphi_i=+\frac{\pi}{3}$ avec l'axe. $\overrightarrow{OE}$ (2,5 cm) est porté par la direction de $\vec I_m$ , à $60°$ au-dessus de l'axe ; $\overrightarrow{EF}$ (9,55 cm) est en retard de $\frac{\pi}{2}$ sur $\vec I_m$ , donc dirigé vers le bas à $-30°$ de l'axe ; $\overrightarrow{FP}$ ferme le polygone sur $P$ : il est perpendiculaire à $\vec I_m$ et en avance de $\frac{\pi}{2}$ , comme il se doit pour $L\frac{di}{dt}$ .

6.c On mesure $FP\approx5{,}2\ \text{cm}$ , soit $L\omega_1I_m\approx10{,}4\ \text{V}$ avec $\omega_1=2\pi N_1\approx2094\ \text{rad·s}^{-1}$ :

L=\frac{10{,}4}{\omega_1 I_m}=\frac{10{,}4}{2094\times0{,}050}

soit $\boxed{L\approx0{,}10\ \text{H}}$ . Pour le condensateur, $U_C=\frac{I_1}{C\omega_1}$ :

C=\frac{I_1}{\omega_1U_C}=\frac{0{,}0354}{2094\times13{,}5}

soit $\boxed{C\approx1{,}25\ \mu\text{F}}$ . Contrôle : $\frac{1}{C\omega_1}-L\omega_1\approx382-208=174\ \Omega$ , voisin de $(R+r)\tan\frac{\pi}{3}\approx173\ \Omega$ .

7. $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}10\times1{,}25\times10^{-6}}}\approx\boxed{450\ \text{Hz}}$ . $N_1<N_0$ : en dessous de la fréquence propre, $\frac{1}{C\omega}$ l'emporte sur $L\omega$ et le circuit est capacitif, ce qui confirme 3.c.

8.a $\Delta\varphi=0$ : $u$ et $i$ sont en phase, le circuit est résistif ; c'est la résonance d'intensité, $N_2=N_0\approx450\ \text{Hz}$ .

8.b À la résonance $Z=R+r$ et $U=\frac{U_m}{\sqrt2}\approx7{,}07\ \text{V}$ : $I_2=\frac{U}{R+r}\approx\boxed{70{,}7\ \text{mA}}$ . Comme $L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}$ , les tensions de l'inductance et du condensateur se compensent à chaque instant : aux bornes de {bobine, condensateur} il ne reste que $r\,i$ , d'où $U_2=rI_2\approx\boxed{1{,}41\ \text{V}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : circuit inductif et choix de $N_1$ entre deux fréquences lues sur la courbe $I(N)$ (contrôle 2015, section Mathématiques) ; déphasage donné dans le texte et voltmètres, sans oscillogramme (principale 2016, contrôle 2017, section Mathématiques) ; $u$ et $u_C$ visualisées, $I_m=2\pi N_1CU_{Cm}$ (principale 2018, sciences expérimentales) ; voltmètre aux bornes de {résistor, bobine} et Fresnel à l'échelle $1\ \text{cm}\leftrightarrow\sqrt2\ \text{V}$ (principale 2020, sciences expérimentales) ; $N_1=\frac{N_0}{\sqrt2}$ tiré de la construction (principale 2023, section Mathématiques) ; vecteurs de $u_b$ et $u_C$ placés au compas (principale 2023, sciences expérimentales). Trajectoire fréquente de 2015 à 2023, non reposée depuis.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OF-F.1 — circuit inductif : choisir

N_1

entre deux fréquences lues sur la courbe

I(N)

Entraînement 01 / 04

Drill OF-F.1 — circuit inductif : choisir $N_1$ entre deux fréquences lues sur la courbe $I(N)$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un GBF de tension efficace $U=6{,}0\ \text{V}$ et de fréquence $N$ réglable alimente un circuit série formé d'un conducteur ohmique de résistance $R$ , d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , d'un condensateur de capacité $C$ et d'un ampèremètre. En faisant varier $N$ , on relève la courbe $I(N)$ de la figure.

Pour la fréquence du maximum, un voltmètre branché aux bornes du conducteur ohmique indique $U_R=4{,}0\ \text{V}$ . On fixe ensuite $N$ à une valeur $N_1$ égale à l'une des deux fréquences $227\ \text{Hz}$ et $275\ \text{Hz}$ repérées sur la figure ; un oscilloscope montre alors que $u_R(t)$ est en retard d'un huitième de période sur la tension $u(t)$ du GBF.

Lire la fréquence propre $N_0$ et l'intensité efficace $I_0$ à la résonance. En déduire $R$ , puis $r$ .
Écrire la relation entre $L$ , $C$ et $N_0$ .
Pourquoi la courbe $I(N)$ ne permet-elle pas, à elle seule, de trouver $N_1$ ?
Déterminer le déphasage $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ . Justifier que le circuit est inductif et en déduire laquelle des deux fréquences est $N_1$ .
Montrer que $2\pi N_1L-\frac{1}{2\pi N_1C}=60\ \Omega$ , puis déterminer $L$ et $C$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. D'après la courbe, le maximum est atteint pour $N_0=\boxed{250\ \text{Hz}}$ avec $I_0=100\ \text{mA}$ . $R=\frac{U_R}{I_0}=\frac{4{,}0}{0{,}10}=\boxed{40\ \Omega}$ ; à la résonance l'impédance vaut $R+r=\frac{U}{I_0}=60\ \Omega$ , donc $r=\boxed{20\ \Omega}$ .

2. $4\pi^2N_0^2LC=1$ .

3. Graphiquement, les deux fréquences donnent la même intensité (environ $71\ \text{mA}$ ) : elles ont la même impédance, donc la même valeur de $\left|L\omega-\frac{1}{C\omega}\right|$ . Seul le signe de cette différence, c'est-à-dire le signe du déphasage, les distingue.

4. Idée : $u_R$ est l'image de $i$ ; celui qui est en retard fixe le signe. $|\Delta\varphi|=2\pi\times\frac18=\frac{\pi}{4}$ ; $i$ est en retard sur $u$ , donc $\boxed{\Delta\varphi=+\frac{\pi}{4}\ \text{rad}}$ : le circuit est inductif, $L\omega_1>\frac{1}{C\omega_1}$ , ce qui n'a lieu qu'au-dessus de la fréquence propre. Donc $N_1=\boxed{275\ \text{Hz}}$ .

5. $\tan\Delta\varphi=\frac{L\omega_1-\frac{1}{C\omega_1}}{R+r}$ , donc $2\pi N_1L-\frac{1}{2\pi N_1C}=(R+r)\tan\frac{\pi}{4}=60\ \Omega$ . En remplaçant $\frac1C=4\pi^2N_0^2L$ :

L=\frac{60}{2\pi\left(N_1-\frac{N_0^2}{N_1}\right)}

Avec $\frac{N_0^2}{N_1}=\frac{250^2}{275}\approx227\ \text{Hz}$ (on retrouve l'autre fréquence : $N'N''=N_0^2$ ), $L=\frac{60}{2\pi\times47{,}7}\approx\boxed{0{,}20\ \text{H}}$ , puis $C=\frac{1}{4\pi^2N_0^2L}\approx\boxed{2{,}03\ \mu\text{F}}$ .

2 Drill OF-F.2 — déphasage donné et deux voltmètres : circuit capacitif,

r

L

C

sans oscillogramme

Entraînement 02 / 04

Drill OF-F.2 — déphasage donné et deux voltmètres : circuit capacitif, $r$ , $L$ et $C$ sans oscillogramme

5 questionsCorrigé masqué

Un circuit série comprend un conducteur ohmique de résistance $R=30\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ et un condensateur de capacité $C$ , alimentés par un GBF de tension efficace $U=12\ \text{V}$ et de fréquence $N_1=100\ \text{Hz}$ . L'intensité du courant est en avance de $\frac{\pi}{3}$ sur la tension $u(t)$ du GBF. Deux voltmètres indiquent $U_R=4{,}5\ \text{V}$ aux bornes du conducteur ohmique et $U_b=9{,}5\ \text{V}$ aux bornes de la bobine.

Préciser, en le justifiant, si le circuit est capacitif, résistif ou inductif.
Calculer l'intensité efficace $I$ du courant et l'impédance $Z$ du circuit.
Montrer que $r=10\ \Omega$ .
En exploitant l'indication $U_b$ , déterminer $L$ .
Déterminer $C$ . Vérifier que $N_1$ est inférieure à la fréquence propre $N_0$ du circuit.

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1. $i$ est en avance sur $u$ : $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_i=-\frac{\pi}{3}<0$ , le circuit est capacitif.

2. $I=\frac{U_R}{R}=\frac{4{,}5}{30}=\boxed{0{,}15\ \text{A}}$ et $Z=\frac{U}{I}=\frac{12}{0{,}15}=\boxed{80\ \Omega}$ .

3. $\cos\Delta\varphi=\frac{R+r}{Z}$ , donc $R+r=80\times\cos\frac{\pi}{3}=40\ \Omega$ et $r=40-30=10\ \Omega$ .

4. Idée : la bobine est un dipôle $(r,L)$ ; son impédance est l'hypoténuse d'un triangle de côtés $r$ et $L\omega_1$ . $Z_b=\frac{U_b}{I}=\frac{9{,}5}{0{,}15}\approx63{,}3\ \Omega$ , donc $L\omega_1=\sqrt{Z_b^2-r^2}\approx62{,}5\ \Omega$ et, avec $\omega_1=2\pi N_1\approx628\ \text{rad·s}^{-1}$ , $L\approx\boxed{0{,}10\ \text{H}}$ .

5. $\tan|\Delta\varphi|=\frac{\frac{1}{C\omega_1}-L\omega_1}{R+r}$ , donc $\frac{1}{C\omega_1}=62{,}5+40\tan\frac{\pi}{3}\approx131{,}8\ \Omega$ et $C=\frac{1}{131{,}8\times628}\approx\boxed{1{,}21\times10^{-5}\ \text{F}}$ . Alors $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx145\ \text{Hz}>N_1$ : en dessous de la fréquence propre, le circuit est bien capacitif.

3 Drill OF-F.3 — oscillogrammes de

u

et de

u_C

I_m=2\pi N_1CU_{Cm}

\varphi_i

et circuit inductif

Entraînement 03 / 04

Drill OF-F.3 — oscillogrammes de $u$ et de $u_C$ : $I_m=2\pi N_1CU_{Cm}$ , $\varphi_i$ et circuit inductif

5 questionsCorrigé masqué

Un circuit série comprend un conducteur ohmique de résistance $R$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable et un condensateur de capacité $C=2{,}0\ \mu\text{F}$ . Un GBF impose $u(t)=U_m\sin(2\pi N_1t)$ . Un oscilloscope visualise $u(t)$ sur une voie et la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur sur l'autre. On relève sur l'écran : période $T=4{,}0\ \text{ms}$ ; courbe (I) d'amplitude $2{,}0\ \text{V}$ ; courbe (II) d'amplitude $9{,}0\ \text{V}$ , qui passe par zéro en croissant $1{,}5\ \text{ms}$ après la courbe (I).

Justifier que la courbe (II) correspond à $u_C(t)$ . Les amplitudes suffisaient-elles pour le dire ?
Montrer que l'amplitude de $u_C$ est $U_{Cm}=\frac{I_m}{2\pi N_1C}$ . Calculer $N_1$ puis $I_m$ .
Déterminer le déphasage $\varphi_u-\varphi_{u_C}$ , puis la phase initiale $\varphi_i$ de l'intensité. Préciser la nature du circuit.
Calculer l'impédance $Z$ du circuit, puis $R$ .
Déterminer $L$ et vérifier que $N_1$ est supérieure à la fréquence propre du circuit.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $u_C$ est en retard de $\frac{\pi}{2}$ sur $i$ , et $i$ est déphasé de moins de $\frac{\pi}{2}$ par rapport à $u$ : $u_C$ est toujours en retard sur $u$ . La courbe (II) est en retard sur (I) : c'est $u_C(t)$ . L'amplitude ne permettait pas de conclure : à cause de la surtension, $U_{Cm}$ peut dépasser $U_m$ (ici $9{,}0\ \text{V}$ contre $2{,}0\ \text{V}$ ).

2. $u_C=\frac qC$ avec $q=\int i\,dt=\frac{I_m}{\omega_1}\sin\left(\omega_1t+\varphi_i-\frac{\pi}{2}\right)$ , donc $U_{Cm}=\frac{I_m}{C\omega_1}=\frac{I_m}{2\pi N_1C}$ . $N_1=\frac1T=250\ \text{Hz}$ et $I_m=2\pi N_1CU_{Cm}=2\pi\times250\times2{,}0\times10^{-6}\times9{,}0\approx\boxed{28{,}3\ \text{mA}}$ .

3. $\frac{\Delta t}{T}=\frac{1{,}5}{4{,}0}=\frac38$ : $u$ est en avance de $\frac{3\pi}{4}$ sur $u_C$ , $\varphi_u-\varphi_{u_C}=\frac{3\pi}{4}$ . Avec $\varphi_u=0$ : $\varphi_{u_C}=-\frac{3\pi}{4}$ et $\varphi_i=\varphi_{u_C}+\frac{\pi}{2}=\boxed{-\frac{\pi}{4}\ \text{rad}}$ . L'intensité est en retard sur la tension : le circuit est inductif.

4. $Z=\frac{U_m}{I_m}=\frac{2{,}0}{0{,}0283}\approx\boxed{70{,}7\ \Omega}$ et $R=Z\cos\frac{\pi}{4}\approx\boxed{50\ \Omega}$ .

5. $L\omega_1-\frac{1}{C\omega_1}=R\tan\frac{\pi}{4}=50\ \Omega$ , avec $\frac{1}{C\omega_1}=\frac{1}{2\pi\times250\times2{,}0\times10^{-6}}\approx318\ \Omega$ : $L\omega_1\approx368\ \Omega$ et $L=\frac{368}{1571}\approx\boxed{0{,}234\ \text{H}}$ . Alors $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx232\ \text{Hz}<N_1$ : au-dessus de la fréquence propre, le circuit est inductif.

4 Drill OF-F.4 — Fresnel au compas : placer les vecteurs de

u_b

et de

u_C

, puis

r

L

C

Entraînement 04 / 04

Drill OF-F.4 — Fresnel au compas : placer les vecteurs de $u_b$ et de $u_C$ , puis $r$ , $L$ et $C$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un GBF délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace $U=10\ \text{V}$ et de fréquence $N_1=50\ \text{Hz}$ alimente un circuit série formé d'un conducteur ohmique $R=40\ \Omega$ , d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ et d'un condensateur de capacité $C$ . Deux voltmètres indiquent $U_R=5{,}0\ \text{V}$ aux bornes du conducteur ohmique et $U_b=12{,}0\ \text{V}$ aux bornes de la bobine. La figure est une construction de Fresnel inachevée à la fréquence $N_1$ , sur un quadrillage de 1 cm, à l'échelle $1\ \text{cm}\leftrightarrow\sqrt2\ \text{V}$ : $\overrightarrow{OP}$ est associé à $u(t)$ et $\overrightarrow{OQ}$ à $u_R(t)$ .

Calculer l'intensité efficace $I$ . Vérifier les longueurs de $\overrightarrow{OP}$ et de $\overrightarrow{OQ}$ .
Préciser, en le justifiant à partir de la figure, le caractère (capacitif, inductif ou résistif) du circuit.
Compléter la construction en représentant $\overrightarrow{QS}$ associé à $u_b(t)$ et $\overrightarrow{SP}$ associé à $u_C(t)$ . Expliquer comment on place le point $S$ .
En déduire $r$ , $L$ et $C$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $I=\frac{U_R}{R}=\frac{5{,}0}{40}=\boxed{0{,}125\ \text{A}}$ . À l'échelle $1\ \text{cm}\leftrightarrow\sqrt2\ \text{V}$ , une amplitude $U\sqrt2$ est représentée par $U$ centimètres : $OP=10\ \text{cm}$ et $OQ=5\ \text{cm}$ , en accord avec la figure.

2. $\overrightarrow{OQ}$ , associé à $u_R=Ri$ , donne la direction de $\vec I$ : il est sous l'axe, donc $\varphi_i<\varphi_u$ , l'intensité est en retard sur la tension : le circuit est inductif. (Graphiquement $Q(3\,;\,-4)$ : $\cos\Delta\varphi=0{,}6$ .)

3. Idée : $\vec u=\vec u_R+\vec u_b+\vec u_C$ ; on connaît la longueur de $\vec u_b$ (voltmètre) et la direction de $\vec u_C$ (retard de $\frac{\pi}{2}$ sur $\vec I$ ). $S$ est donc à la fois sur le cercle de centre $Q$ et de rayon $12\ \text{cm}$ , et sur la perpendiculaire à $(OQ)$ menée par $P$ . Des deux intersections on garde celle pour laquelle $\overrightarrow{SP}$ est en retard de $\frac{\pi}{2}$ sur $\vec I$ : $S\approx(13{,}2\,;\,2{,}4)$ . L'autre donnerait une tension de condensateur en avance sur l'intensité, ce qui est impossible.

4. La composante de $\overrightarrow{QS}$ sur la direction de $\vec I$ représente $rI$ : elle mesure $1{,}0\ \text{cm}$ , donc $rI=1{,}0\ \text{V}$ et $r=\boxed{8\ \Omega}$ . Sa composante perpendiculaire mesure $12{,}0\ \text{cm}$ : $L\omega_1I\approx12{,}0\ \text{V}$ , $L\omega_1\approx96\ \Omega$ et, avec $\omega_1=100\pi\ \text{rad·s}^{-1}$ , $L\approx\boxed{0{,}30\ \text{H}}$ . $SP\approx4{,}0\ \text{cm}$ : $U_C\approx4{,}0\ \text{V}$ et $C=\frac{I}{\omega_1U_C}=\frac{0{,}125}{314\times4{,}0}\approx\boxed{1{,}0\times10^{-4}\ \text{F}}$ . Contrôle : $L\omega_1-\frac{1}{C\omega_1}\approx96-32=64\ \Omega=\sqrt{Z^2-(R+r)^2}$ avec $Z=\frac UI=80\ \Omega$ .

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Régime forcé à une fréquence $N_1$ : branchements, oscillogrammes $u$ et $u_R$ , nature du circuit, $r$ par $\cos\Delta\varphi$ , Fresnel à l'échelle, puis résonance

Exercice 1 — oscillations électriques forcées (5 points), dans l'esprit des sessions 2015–2023

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OF-F.1 — circuit inductif : choisir $N_1$ entre deux fréquences lues sur la courbe $I(N)$

Drill OF-F.2 — déphasage donné et deux voltmètres : circuit capacitif, $r$ , $L$ et $C$ sans oscillogramme

Drill OF-F.3 — oscillogrammes de $u$ et de $u_C$ : $I_m=2\pi N_1CU_{Cm}$ , $\varphi_i$ et circuit inductif

Drill OF-F.4 — Fresnel au compas : placer les vecteurs de $u_b$ et de $u_C$ , puis $r$ , $L$ et $C$

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Régime forcé à une fréquence N1N_1N1​ : branchements, oscillogrammes uuu et uRu_RuR​, nature du circuit, rrr par cos⁡Δφ\cos\Delta\varphicosΔφ, Fresnel à l'échelle, puis résonance

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Régime forcé à une fréquence $N_1$ : branchements, oscillogrammes $u$ et $u_R$ , nature du circuit, $r$ par $\cos\Delta\varphi$ , Fresnel à l'échelle, puis résonance