Problème d'électricité en trois expériences : C par une charge à courant constant, L et énergie dissipée par les oscillations libres amorties, r à la résonance — Sciences physiques

Sujet principal

Exercice 1 — électricité (6 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

4 questionsCorrigé masqué

On dispose d'un condensateur de capacité $C$ inconnue, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ inconnues, et d'un conducteur ohmique de résistance $R=20\ \Omega$ .

Expérience 1 — charge à courant constant. Le condensateur, initialement déchargé, est chargé par un générateur de courant qui débite un courant d'intensité constante $I_0=20\ \mu\text{A}$ . On relève la tension $u_C$ à ses bornes :

$t=0$ : $u_C=0$ ; $t=0{,}5\ \text{s}$ : $u_C=2{,}0\ \text{V}$ ; $t=1{,}0\ \text{s}$ : $u_C=4{,}0\ \text{V}$ ; $t=1{,}5\ \text{s}$ : $u_C=6{,}0\ \text{V}$ .

Expérience 2 — oscillations libres. Lorsque $u_C=U_0=6{,}0\ \text{V}$ , on bascule, à une date prise comme nouvelle origine $t=0$ , le condensateur sur la bobine en série avec le conducteur ohmique $R$ . Un oscilloscope visualise $u_R(t)=R\,i(t)$ : la courbe oscille autour de zéro avec une amplitude qui décroît, sa pseudo-période vaut $T\approx9{,}95\ \text{ms}$ et sa tangente à l'origine passe par le point de coordonnées $(1{,}5\ \text{ms}\ ;\ -0{,}36\ \text{V})$ . À la date $t_1=T$ , l'intensité s'annule et $u_C(t_1)=4{,}45\ \text{V}$ .

Expérience 3 — régime forcé. Les mêmes composants $R$ , $(L,r)$ et $C$ sont montés en série avec un GBF de tension efficace $U=2{,}40\ \text{V}$ . En faisant varier la fréquence, on obtient une intensité efficace maximale $I_1=80{,}0\ \text{mA}$ pour $N_1\approx101\ \text{Hz}$ .

Expérience 1.
1. Montrer que $u_C(t)=\dfrac{I_0}{C}\,t$ .
2. Exploiter les mesures pour déterminer $C$ .
3. Retrouver par le calcul la durée au bout de laquelle $u_C$ atteint $U_0$ .
Expérience 2.
1. Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
2. Qualifier les oscillations observées et nommer leur régime. Expliquer la diminution de leur amplitude.
3. En écrivant la loi des mailles à $t=0$ , montrer que $U_0=-\dfrac LR\left(\dfrac{du_R}{dt}\right)_{t=0}$ . En déduire $L$ .
4. Vérifier que la pseudo-période est voisine de la période propre $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ .
5. Calculer l'énergie du circuit à $t=0$ et à $t_1$ . En déduire l'énergie dissipée par effet Joule entre ces deux dates.
Expérience 3.
1. Préciser l'état du circuit pour $N=N_1$ et vérifier que $N_1$ est compatible avec les valeurs de $L$ et $C$ trouvées.
2. Déterminer la résistance $r$ de la bobine.
3. Calculer la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance et commenter.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $q=C\,u_C$ et $i=\dfrac{dq}{dt}=I_0$ constant, donc $q=I_0t$ ( $q(0)=0$ ) et $u_C=\dfrac{I_0}{C}\,t$ .

1.b Les mesures montrent que $u_C$ est proportionnelle à $t$ , de coefficient $\dfrac{4{,}0}{1{,}0}=4{,}0\ \text{V·s}^{-1}=\dfrac{I_0}{C}$ , donc $C=\dfrac{20\times10^{-6}}{4{,}0}=\boxed{5{,}0\times10^{-6}\ \text{F}}$ .

1.c $t=\dfrac{C\,U_0}{I_0}=\dfrac{5\times10^{-6}\times6}{20\times10^{-6}}=1{,}5\ \text{s}$ , en accord avec les mesures.

2.a Loi des mailles : $u_C+(R+r)\,i+L\dfrac{di}{dt}=0$ avec $i=C\dfrac{du_C}{dt}$ :

LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2}+(R+r)\,C\,\frac{du_C}{dt}+u_C=0

2.b Le circuit ne comporte plus de générateur : les oscillations sont libres ; leur amplitude décroît : elles sont amorties, de régime pseudo-périodique. L'amplitude diminue parce que l'énergie est dissipée par effet Joule dans les résistances du circuit ( $R$ et $r$ ).

2.c Idée : à $t=0$ , $i=0$ (continuité dans la bobine) et $u_C=U_0$ . La loi des mailles donne $U_0+L\left(\frac{di}{dt}\right)_0=0$ , et $\frac{du_R}{dt}=R\frac{di}{dt}$ , d'où $U_0=-\dfrac LR\left(\dfrac{du_R}{dt}\right)_0$ . La pente de la tangente est $\dfrac{-0{,}36}{1{,}5\times10^{-3}}=-240\ \text{V·s}^{-1}$ , donc $L=\dfrac{R\,U_0}{240}=\dfrac{20\times6}{240}=\boxed{0{,}50\ \text{H}}$ .

2.d $T_0=2\pi\sqrt{0{,}50\times5\times10^{-6}}\approx9{,}93\ \text{ms}$ , voisine de $T\approx9{,}95\ \text{ms}$ (l'amortissement faible allonge très peu la période).

2.e À $t=0$ , $i=0$ : $E_0=\frac12CU_0^2=\frac12\times5\times10^{-6}\times36=9{,}0\times10^{-5}\ \text{J}$ . À $t_1$ , $i=0$ : $E_1=\frac12C\,u_C(t_1)^2\approx5{,}0\times10^{-5}\ \text{J}$ . Énergie dissipée : $E_0-E_1\approx\boxed{4{,}0\times10^{-5}\ \text{J}}$ .

3.a L'intensité est maximale : résonance d'intensité, $N_1=N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx\dfrac{1}{2\pi\times1{,}58\times10^{-3}}\approx101\ \text{Hz}$ , en accord avec la mesure.

3.b À la résonance, $Z=R+r=\dfrac{U}{I_1}=\dfrac{2{,}40}{0{,}080}=30\ \Omega$ , donc $r=\boxed{10\ \Omega}$ .

3.c $U_C=\dfrac{I_1}{C\,2\pi N_1}\approx\dfrac{0{,}080}{5\times10^{-6}\times632}\approx\boxed{25\ \text{V}}$ , plus de dix fois la tension du générateur : c'est le phénomène de surtension, qui peut détériorer le condensateur.

Variantes rencontrées : générateur de courant de

50\ \mu\text{A}

puis commutateur à deux positions (principale 2019) ; générateur de courant constant de

2\ \text{mA}

(principale 2022) ; charge par générateur de courant pour déterminer

C

, puis bobine

(L,r)

(principale 2024) ; énergie électrique en fonction de

t^2

; oscillations suivies de la résonance (contrôle 2026, Sciences expérimentales et section Mathématiques).

Tu écris. Tu continues.

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Problème d'électricité en trois expériences : CCC par une charge à courant constant, LLL et énergie dissipée par les oscillations libres amorties, rrr à la résonance

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Problème d'électricité en trois expériences : $C$ par une charge à courant constant, $L$ et énergie dissipée par les oscillations libres amorties, $r$ à la résonance