OF-GOscillations électriques forcées et résonance

Résonance d'intensité reconnue par un indice puis exploitée : tension aux bornes de {bobine, condensateur}, $r$ , $C$ , $L$ , surtension, énergie constante

Idée directrice

L'énoncé ne dit pas « résonance » : il donne un indice (l'ampèremètre indique une valeur maximale, $u$ et $u_R$ sont en phase, le circuit est résistif). À la résonance d'intensité $LC\omega_0^2=1$ : les tensions aux bornes de la bobine idéale et du condensateur se compensent, l'ensemble {bobine, condensateur} se comporte comme la seule résistance $r$ ( $U_{L,C}=r\,I_0$ ) et le circuit comme $R+r$ ( $U=(R+r)I_0$ ). Les indications des voltmètres suffisent alors à isoler $r$ , puis $C$ par $U_C=\frac{I_0}{C\omega_0}$ , puis $L$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Pour $N=N_1$ , l'ampèremètre indique une valeur maximale » ; « montrer que le circuit est en état de résonance d'intensité » ; « $u_R$ et $u$ sont en phase » ; « la tension aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur} » ; « montrer que l'énergie totale du circuit est constante »

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Reconnaître la résonance d'intensité à son indice : intensité maximale, $u$ et $u_R$ en phase, circuit résistif ( $Z=R+r$ ).
À la résonance : $U=(R+r)I_0$ , $U_R=RI_0$ , et aux bornes de {bobine, condensateur} $U_{L,C}=rI_0$ ; le rapport $\frac{U_R}{U_{L,C}}=\frac Rr$ donne $r$ .
$C$ par $U_C=\frac{I_0}{C\omega_0}$ , puis $L$ par $LC\omega_0^2=1$ ; vérifier $L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}$ .
Énergie : dériver $E=\frac12Li^2+\frac{q^2}{2C}$ , utiliser la loi des mailles ; à la résonance $u=(R+r)i$ donne $\frac{dE}{dt}=0$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Croire que la tension aux bornes de {bobine, condensateur} est nulle à la résonance (elle vaut $rI_0$ car la bobine est résistive) ; confondre valeurs efficaces et maximales dans le calcul de l'énergie ( $I_m=I\sqrt2$ ) ; oublier de convertir $N$ en $\omega=2\pi N$ ; dire que la surtension est une « sur-intensité ».

Sujet principal

Exercice 1 — oscillations électriques forcées (4 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

6 questionsCorrigé masqué

Un circuit comporte en série un générateur basses fréquences (GBF) délivrant une tension sinusoïdale $u(t)=U\sqrt2\sin(2\pi Nt)$ de valeur efficace $U$ constante et de fréquence $N$ réglable, un conducteur ohmique de résistance $R=40\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , un condensateur de capacité $C$ et un ampèremètre de résistance négligeable.

On fait varier $N$ : pour $N=N_1=500\ \text{Hz}$ , l'ampèremètre indique la valeur la plus grande possible $I_1$ . On mesure alors, avec un voltmètre, les tensions efficaces suivantes : aux bornes de $R$ , $U_R=4{,}80\ \text{V}$ ; aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur}, $U_1=0{,}60\ \text{V}$ ; aux bornes du condensateur, $U_C=15{,}0\ \text{V}$ .

État du circuit.
1. Préciser l'état dans lequel se trouve le circuit pour $N=N_1$ . Citer une observation à l'oscilloscope qui le confirmerait.
2. Écrire la relation entre $L$ , $C$ et $N_1$ .
Calculer $I_1$ . Montrer que $U=(R+r)\,I_1$ .
Montrer que la tension efficace aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur} vérifie $U_1=r\,I_1$ . En déduire $r$ , puis la valeur de $U$ .
En exploitant $U_C$ , déterminer la capacité $C$ , puis l'inductance $L$ .
Calculer le facteur de surtension $Q=\dfrac{U_C}{U}$ . Quel risque présente une surtension importante pour le condensateur ?
Énergie du circuit.
1. On note $E=\frac12Li^2+\frac{q^2}{2C}$ l'énergie emmagasinée dans le circuit. Montrer que $\dfrac{dE}{dt}=u\,i-(R+r)\,i^2$ .
2. En déduire qu'à la résonance l'énergie $E$ reste constante, et la calculer.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a L'intensité efficace est maximale : le circuit est en résonance d'intensité ( $N_1=N_0$ , fréquence propre). À l'oscilloscope, la tension $u(t)$ et la tension $u_R(t)$ (image de $i$ ) seraient en phase.

1.b $N_1=N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ , soit $4\pi^2N_1^2LC=1$ .

2. $I_1=\dfrac{U_R}{R}=\dfrac{4{,}80}{40}=\boxed{0{,}120\ \text{A}}$ . À la résonance, l'impédance du circuit se réduit à sa résistance totale : $Z=R+r$ , donc $U=Z\,I_1=(R+r)\,I_1$ .

3. Idée : à la résonance, $L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}$ , les tensions de l'inductance et du condensateur sont opposées à chaque instant. $u_L+u_C=L\frac{di}{dt}+\frac qC$ a pour amplitude $\left(L\omega_0-\frac{1}{C\omega_0}\right)I_{1m}=0$ : aux bornes de {bobine, condensateur} il ne reste que $r\,i$ , d'où $U_1=r\,I_1$ et $r=\dfrac{0{,}60}{0{,}120}=\boxed{5{,}0\ \Omega}$ . Puis $U=(40+5)\times0{,}120=\boxed{5{,}4\ \text{V}}$ .

4. $U_C=\dfrac{I_1}{C\,\omega_1}$ avec $\omega_1=2\pi N_1\approx3{,}14\times10^{3}\ \text{rad·s}^{-1}$ , donc

C=\frac{I_1}{2\pi N_1U_C}\approx\boxed{2{,}55\times10^{-6}\ \text{F}}

( $I_1=0{,}120\ \text{A}$ , $N_1=500\ \text{Hz}$ , $U_C=15{,}0\ \text{V}$ ),

et $L=\dfrac{1}{4\pi^2N_1^2C}\approx\boxed{3{,}98\times10^{-2}\ \text{H}}$ (on vérifie $L\omega_1=\frac{1}{C\omega_1}\approx125\ \Omega$ ).

5. $Q=\dfrac{15{,}0}{5{,}4}\approx\boxed{2{,}8}$ : la tension aux bornes du condensateur est près de trois fois celle du générateur. Une surtension élevée peut dépasser la tension maximale supportée par le condensateur et provoquer son claquage.

6.a $\dfrac{dE}{dt}=Li\dfrac{di}{dt}+\dfrac qC\dfrac{dq}{dt}=i\left(L\dfrac{di}{dt}+\dfrac qC\right)$ (car $i=\frac{dq}{dt}$ ). La loi des mailles donne $u=(R+r)i+L\frac{di}{dt}+\frac qC$ , donc $\dfrac{dE}{dt}=i\left(u-(R+r)i\right)=u\,i-(R+r)\,i^2$ .

6.b À la résonance, $u$ est en phase avec $i$ et $U=(R+r)I_1$ , donc $u=(R+r)\,i$ à chaque instant : $\frac{dE}{dt}=0$ , l'énergie est constante (l'énergie fournie par le générateur compense exactement les pertes par effet Joule). Quand $q=0$ , $i$ est maximale : $E=\frac12L\,I_{1m}^2=\frac12L\left(I_1\sqrt2\right)^2=L\,I_1^2\approx\boxed{5{,}7\times10^{-4}\ \text{J}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : $u_R$ et $u$ en phase à l'oscilloscope, circuit résistif (contrôle 2022, section Mathématiques) ; « montrer que le circuit est en état de résonance d'intensité » (contrôle 2017) ; construction de Fresnel avec la tension aux bornes de {bobine, condensateur} (principale 2020) ; chronogrammes $u_C$ et $u_B$ à la résonance (contrôle 2026) ; énergie totale constante (contrôle 2024).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OF-G.1 —

r=\frac R4

U_R=4\,U_{L,C}

: montrer la résonance, puis

L

I_0

et la surtension

Entraînement 01 / 01

Drill OF-G.1 — $r=\frac R4$ et $U_R=4\,U_{L,C}$ : montrer la résonance, puis $L$ , $I_0$ et la surtension

5 questionsCorrigé masqué

Un circuit série comporte un GBF délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace $U=7{,}5\ \text{V}$ constante et de fréquence $N$ réglable, un conducteur ohmique de résistance $R=60\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r=\frac R4$ , et un condensateur de capacité $C=4{,}0\ \mu\text{F}$ . Deux voltmètres indiquent la tension efficace $U_R$ aux bornes du conducteur ohmique et la tension efficace $U_{L,C}$ aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur}. Pour $N=N_0=205\ \text{Hz}$ , on constate que $U_R=4\,U_{L,C}$ .

Exprimer l'impédance $Z_{L,C}$ de l'ensemble {bobine, condensateur} en fonction de $r$ , $L$ , $C$ et $\omega=2\pi N$ .
Montrer que, pour $N=N_0$ , le circuit est en état de résonance d'intensité.
Écrire la relation entre $L$ , $C$ et $N_0$ , puis en déduire $L$ .
Calculer l'intensité efficace $I_0$ , puis les indications $U_R$ et $U_{L,C}$ des voltmètres.
Calculer la tension efficace $U_C$ aux bornes du condensateur et le facteur de surtension $Q=\dfrac{U_C}{U}$ .

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1. Idée : $r\,i$ est en phase avec $i$ , tandis que $L\frac{di}{dt}+\frac qC$ est en quadrature avec $i$ ; les amplitudes se composent comme les côtés d'un triangle rectangle (construction de Fresnel).

Z_{L,C}=\sqrt{r^2+\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)^2}

2. Idée : comparer $Z_{L,C}$ à $r$ . Le circuit étant série, $U_R=R\,I$ et $U_{L,C}=Z_{L,C}\,I$ avec la même intensité $I$ . $U_R=4\,U_{L,C}$ donne $Z_{L,C}=\frac R4=r$ , donc $L\omega_0-\frac{1}{C\omega_0}=0$ : l'ensemble {bobine, condensateur} se réduit à la résistance $r$ , le circuit est résistif ( $Z=R+r$ ) et l'intensité est maximale : c'est la résonance d'intensité, $N_0$ est la fréquence propre.

3. $4\pi^2N_0^2LC=1$ , d'où $L=\dfrac{1}{4\pi^2\times205^2\times4{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{0{,}15\ \text{H}}$ .

4. $I_0=\dfrac{U}{R+r}=\dfrac{7{,}5}{75}=\boxed{0{,}10\ \text{A}}$ ; $U_R=R\,I_0=6{,}0\ \text{V}$ et $U_{L,C}=r\,I_0=1{,}5\ \text{V}$ , dans le rapport 4 observé.

5. $U_C=\dfrac{I_0}{2\pi N_0C}=\dfrac{0{,}10}{2\pi\times205\times4{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{19\ \text{V}}$ ; $Q=\dfrac{19{,}4}{7{,}5}\approx\boxed{2{,}6}$ : la tension aux bornes du condensateur vaut plus de deux fois et demie celle du générateur.

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