Oscillations libres amorties — circuit RLC

1. Mise en équation : pour l'oscillateur LC idéal, la période propre vaut $T_0=2\pi\sqrt{LC}$.

2. Initialement, toute l'énergie électromagnétique est électrique :

3. À l'intensité maximale, la conservation de l'énergie donne $\frac12 LI_m^2=E$, donc

Lorsque $u_C=0$, la charge $q=Cu_C$ est nulle : la partie électrique $q^2/(2C)$ s'annule et l'énergie est purement magnétique, égale à $LI_m^2/2$.

1. Les rapports de deux amplitudes successives sont identiques : $U_0/U_1=10{,}0/5{,}00=2$ et $U_1/U_2=5{,}00/2{,}50=2$. Les trois points appartiennent donc à une même enveloppe exponentielle.

2. Le décrément logarithmique et le coefficient d'amortissement valent :

3. La relation littérale $\alpha=R/(2L)$ donne :

Le rapport constant entre crêtes confirme une décroissance exponentielle : le circuit est libre, amorti et pseudo-périodique.

1. Mise en équation : la frontière entre les régimes est $\alpha=\omega_0$, avec $\alpha=R/(2L)$ et $\omega_0=1/\sqrt{LC}$. On obtient donc $R_c=2\sqrt{L/C}$.

2. $R_1=50\,\Omega<R_c$ : régime pseudo-périodique. $R_2=200\,\Omega=R_c$ : régime critique. $R_3=400\,\Omega>R_c$ : régime apériodique.

3. Une pseudo-période ne se mesure que lorsque la réponse oscille : c'est donc le circuit de résistance $R_1=50\,\Omega$. Les deux autres réponses reviennent vers zéro sans oscillation.

1. La période propre donne $LC=(T_0/2\pi)^2$. À la limite critique, $R_c=2\sqrt{L/C}$, donc $L/C=(R_c/2)^2$.

2. En multipliant puis en divisant ces deux relations :

3. Comme $R=250\,\Omega<R_c=400\,\Omega$, le régime est pseudo-périodique : la réponse oscille et une pseudo-période reste mesurable à l'oscilloscope.

Idée : quand $u_C=0$, toute l'énergie est magnétique et $i=C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ se lit sur la pente.

1. $T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0{,}40\times0{,}50\times10^{-6}}=\boxed{2{,}81\times10^{-3}\,\mathrm{s}}$.

2. À $t=0$ : $u_C=10\,\mathrm{V}$, $i=0$ : énergie purement électrique $E(0)=\tfrac12Cu_C^2=\tfrac12\times0{,}50\times10^{-6}\times10^2=\boxed{2{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{J}}$. À $t_1$ : $u_C=0$, énergie purement magnétique, avec $i=C\,\alpha=0{,}50\times10^{-6}\times(-2{,}0\times10^{4})=-1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{A}$ : $E(t_1)=\tfrac12Li^2=\tfrac12\times0{,}40\times(1{,}0\times10^{-2})^2=\boxed{2{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{J}}$.

3. $|\Delta E|=2{,}5\times10^{-5}-2{,}0\times10^{-5}=\boxed{5{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{J}}$, dissipés par effet Joule dans la résistance totale du circuit ($\mathrm{d}E/\mathrm{d}t=-(R+r)i^2<0$).

I.1.a Idée : loi des mailles, avec $u_B=L\frac{di}{dt}+ri$ et $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_C}{dt}$. D'après la loi des mailles, $u_C+u_B+u_{R_0}=0$, soit $u_C+L\frac{di}{dt}+(R_0+r)\,i=0$. En remplaçant $i$ par $C\frac{du_C}{dt}$ et en divisant par $LC$ :

I.1.b Le circuit ne renferme aucun générateur : les oscillations de $u_C(t)$ sont libres. Leur amplitude décroît au cours du temps (de $6{,}0\ \text{V}$ à $t=0$ à environ $3{,}6\ \text{V}$ vers $t=10\ \text{ms}$) : elles sont amorties. La cause de l'amortissement est la résistance totale $R_0+r$ du circuit, dans laquelle une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule.

I.2.a Idée : mesurer la durée de plusieurs pseudo-périodes pour gagner en précision. Sur la figure 1, le cinquième maximum qui suit celui de $t=0$ est atteint vers $t\approx9{,}9\ \text{ms}$ : cinq pseudo-périodes durent environ $10\ \text{ms}$, d'où $T=\boxed{2{,}0\ \text{ms}}$.

I.2.b Idée : $T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}$, donc $T^2=4\pi^2LC$.

On obtient $C\approx2{,}0\times10^{-7}\ \text{F}$, soit $\boxed{C\approx0{,}20\ \mu\text{F}}$.

II.1.a Idée : un A.O.P idéal n'absorbe aucun courant par ses entrées. La loi des nœuds appliquée en E donne $i=i_1+i_+$, avec $i_+=0$ car l'A.O.P est idéal : $\boxed{i=i_1}$.

II.1.b Idée : en régime linéaire, la tension d'entrée $\varepsilon=u_{EN}$ est nulle. Dans la maille (E, S, N) : $u_{ES}+u_{SN}+u_{NE}=0$, avec $u_{ES}=R_1i_1$, $u_{SN}=R_1i'_1$ et $u_{NE}=-\varepsilon=0$. Donc $R_1i_1+R_1i'_1=0$, soit $\boxed{i'_1=-i_1}$.

II.2.a D'après la loi d'Ohm, $u_2=R_2\,i_2$. Au point N, $i'_1=i_2+i_-$ avec $i_-=0$, donc $i_2=i'_1=-i_1=-i$. Par suite $\boxed{u_2=-R_2\,i}$.

II.2.b $u_{EM}=u_{EN}+u_{NM}=\varepsilon+u_2$ avec $\varepsilon=0$, d'où $\boxed{u_{EM}=-R_2\,i}$. Un conducteur ohmique vérifie, en convention récepteur, $u=R\,i$ avec $R>0$ ; le dipôle (D) vérifie la même relation avec le coefficient $-R_2<0$ : il se comporte comme un conducteur ohmique de résistance négative $-R_2$, d'où son appellation.

II.3.a Idée : même loi des mailles qu'en I.1.a, avec en plus la tension $u_{EM}=-R_2\,i$. $u_C+L\frac{di}{dt}+(R_0+r)\,i-R_2\,i=0$, d'où, avec $i=C\frac{du_C}{dt}$ :

II.3.b Idée : les oscillations sont non amorties lorsque le terme d'amortissement (en $\frac{du_C}{dt}$) disparaît. Il faut $R_0+r-R_2=0$, soit $R_{2,0}=R_0+r=\boxed{50\ \Omega}$. L'équation devient $\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}u_C=0$ : celle d'un circuit LC idéal, dont les solutions sont sinusoïdales de période propre $T_0=2\pi\sqrt{LC}$.

soit $T_0\approx\boxed{1{,}99\ \text{ms}}$.

II.3.c Idée : dériver $\mathcal{E}$, puis remplacer $\frac{d^2u_C}{dt^2}$ grâce à l'équation différentielle. Avec $i=C\frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt}=C\frac{d^2u_C}{dt^2}$ :

Or, d'après II.3.a, $u_C+LC\frac{d^2u_C}{dt^2}=-(R_0+r-R_2)\,C\frac{du_C}{dt}=-(R_0+r-R_2)\,i$, donc $\boxed{\frac{d\mathcal{E}}{dt}=-(R_0+r-R_2)\,i^2}$. Pour $R_2=R_{2,0}=R_0+r$, $\frac{d\mathcal{E}}{dt}=0$ : l'énergie électromagnétique se conserve et garde sa valeur initiale ($u_C=U_0$ et $i=0$ à $t=0$) :

soit $\mathcal{E}=\boxed{3{,}6\times10^{-6}\ \text{J}}$.

II.4.a Sur la figure 3, l'amplitude de $u_C(t)$ reste égale à $6{,}0\ \text{V}$ : les oscillations sont non amorties. Le sixième maximum qui suit celui de $t=0$ est atteint vers $t\approx11{,}9\ \text{ms}$, soit une période d'environ $2{,}0\ \text{ms}$, en accord avec $T_0\approx1{,}99\ \text{ms}$.

II.4.b Idée : la puissance reçue par (D) est $u_{EM}\,i=-R_2\,i^2<0$ : (D) fournit de l'énergie au reste du circuit. Le dipôle (D) fournit à chaque instant la puissance $R_2\,i^2$, qui compense exactement les pertes par effet Joule $(R_0+r)\,i^2$ lorsque $R_2=R_0+r$ : il sert à entretenir les oscillations. Les oscillations de $u_C(t)$ sont donc des oscillations entretenues, sinusoïdales de période $T_0$.

II.4.c Le dipôle (D) ne contient que des conducteurs ohmiques et l'A.O.P : l'énergie qu'il fournit au circuit provient de l'alimentation de l'A.O.P, c'est-à-dire de ses tensions de polarisation.

II.5 Idée : c'est le signe de la résistance totale équivalente $R_0+r-R_2$ qui décide de l'amortissement. Pour $R_2=30\ \Omega$ : $R_0+r-R_2=20\ \Omega>0$. L'équation est celle d'un circuit RLC libre de résistance totale $20\ \Omega$ : le dipôle (D) ne compense qu'une partie des pertes par effet Joule, les oscillations de $u_C(t)$ restent amorties (régime pseudo-périodique), mais l'amortissement est plus faible que dans la partie I, où la résistance totale valait $50\ \Omega$.