Oscillations libres non amorties — circuit LC idéal

1. Idée : « libre » parle de la cause, « non amorti » des pertes. Régime d'oscillations libres non amorties : libres parce qu'aucun générateur n'entretient le mouvement après la fermeture (le condensateur est la seule source d'énergie) ; non amorties parce que $R=0$, aucune énergie n'est dissipée par effet Joule, l'amplitude reste constante.

2. Idée : formule de Thomson, puis isoler $L$. $T_0=2\pi\sqrt{LC}\Rightarrow L=\dfrac{T_0^2}{4\pi^2C}=\dfrac{(2{,}0\times10^{-3})^2}{4\pi^2\times2{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{5{,}1\times10^{-2}\ \mathrm H}$.

3. Idée : dériver l'énergie et utiliser la loi des mailles. $E=\tfrac12Cu_C^2+\tfrac12Li^2$ donc $\dfrac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=Cu_C\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+Li\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}=i\Big(u_C+L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\Big)$ avec $i=C\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$. Or la loi des mailles s'écrit $u_C+L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}=0$ : $\dfrac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=0$, l'énergie électromagnétique est constante. Quand $u_C=\pm U_0$, $i=0$ et $E=\tfrac12CU_0^2$ ; quand $u_C=0$, $E=\tfrac12LI_m^2$ : l'énergie passe alternativement du condensateur à la bobine avec $I_m=U_0\sqrt{C/L}$.