Oscillations libres non amorties — circuit LC idéal

Idée : en position 2 le générateur est hors circuit ; le condensateur chargé se décharge dans la bobine idéale. Régime d'oscillations libres non amorties, de période propre $T_0=2\pi\sqrt{LC}$. L'équation $LC\,\ddot u_C+u_C=0$ a pour solution $u_C(t)=U_{c\max}\cos(\omega_0t)$ avec $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ : le cosinus convient car $u_C(0)=U_{c\max}$ et $i(0)=C\,\dot u_C(0)=0$. L'énergie totale $\tfrac12CU_{c\max}^2$ se conserve.

1. Idée : loi des mailles avec $u_C=\frac qC$ et $u_L=L\frac{di}{dt}=L\frac{d^2q}{dt^2}$. D'après la loi des mailles, $u_C+u_L=0$, soit :

Avec $q=Q_m\sin(\omega_0t+\varphi)$, $\frac{d^2q}{dt^2}=-\omega_0^2\,q$ : l'équation est vérifiée pour tout $t$ si $\omega_0^2=\frac1{LC}$, soit $\boxed{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$.

2.a Idée : dériver l'énergie et réutiliser l'équation différentielle. $E=\frac{q^2}{2C}+\frac12Li^2$, donc $\frac{dE}{dt}=\frac qC\,i+Li\frac{di}{dt}$, c'est-à-dire $\frac{dE}{dt}=i\left(\frac qC+L\frac{d^2q}{dt^2}\right)=0$ d'après la question 1 : $E$ est constante (aucune résistance, donc aucune perte par effet Joule).

2.b Idée : écrire la conservation entre un instant quelconque et un instant où $i=0$. Quand $i=0$, $q=\pm Q_m$ et $E=\frac{Q_m^2}{2C}$. Donc $\frac{q^2}{2C}+\frac12Li^2=\frac{Q_m^2}{2C}$ et, en multipliant par $\frac2L$ :

soit $i^2=-\omega_0^2q^2+\omega_0^2Q_m^2$ : $i^2$ est une fonction affine de $q^2$, de coefficient directeur $-\omega_0^2<0$. La courbe est donc un segment de droite décroissant, limité à $0\le q^2\le Q_m^2$.

3. Idée : les intersections avec les axes donnent $I_m^2$ et $Q_m^2$, la pente donne $\omega_0^2$. Pour $q^2=0$ : $I_m^2=4\times10^{-4}\ \text{A}^2$, donc $I_m=\boxed{20\ \text{mA}}$. Pour $i^2=0$ : $Q_m^2=16\times10^{-10}\ \text{C}^2$, donc $Q_m=\boxed{40\ \mu\text{C}}$.

Pente : $-\frac{4\times10^{-4}}{16\times10^{-10}}=-2{,}5\times10^{5}\ \text{s}^{-2}=-\omega_0^2$, d'où $\omega_0=\boxed{500\ \text{rad·s}^{-1}}$ (c'est aussi $\frac{I_m}{Q_m}$) et $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}\approx\boxed{12{,}6\ \text{ms}}$.

4. Idée : $\omega_0^2=\frac1{LC}$ avec $C$ connue. $L=\frac{1}{\omega_0^2C}=\frac{1}{2{,}5\times10^{5}\times5{,}0\times10^{-6}}=\boxed{0{,}80\ \text{H}}$.

$E=\frac{Q_m^2}{2C}=\frac{16\times10^{-10}}{2\times5{,}0\times10^{-6}}=\boxed{1{,}6\times10^{-4}\ \text{J}}$ ; on retrouve la même valeur avec $\frac12LI_m^2=\frac12\times0{,}80\times4\times10^{-4}$. Enfin $U_0=\frac{Q_m}{C}=\boxed{8{,}0\ \text{V}}$.

1.a $E=\frac12Cu_C^2+\frac12Li^2$.

1.b Idée : sans résistance, rien n'est dissipé par effet Joule. Avec $i=C\frac{du_C}{dt}$ : $\frac{dE}{dt}=Cu_C\frac{du_C}{dt}+Li\frac{di}{dt}$, soit $\frac{dE}{dt}=i\left(u_C+L\frac{di}{dt}\right)$, et la loi des mailles donne $u_C+L\frac{di}{dt}=0$ : $E$ est constante. À $t=0$, $i=0$ et $u_C=U_0$, donc $\boxed{E=\frac12CU_0^2}$.

2. Idée : égaler l'expression générale de $E$ à sa valeur initiale. $\frac12Cu_C^2+\frac12Li^2=\frac12CU_0^2$, d'où :

$u_C^2$ est une fonction affine de $i^2$, de coefficient directeur $-\frac LC<0$ et d'ordonnée à l'origine $U_0^2$ : la courbe est un segment de droite décroissant.

3. Pour $i^2=0$ : $U_0^2=144\ \text{V}^2$, donc $U_0=\boxed{12\ \text{V}}$. Pour $u_C^2=0$ : $I_m^2=9\times10^{-4}\ \text{A}^2$, donc $I_m=\boxed{30\ \text{mA}}$. Pente : $-\frac{144}{9\times10^{-4}}=-1{,}6\times10^{5}\ \text{V}^2\text{·A}^{-2}$, donc $\frac LC=\boxed{1{,}6\times10^{5}\ \Omega^2}$ (le point $i^2=3\times10^{-4}\ \text{A}^2$, $u_C^2=96\ \text{V}^2$ de la droite le confirme).

4. Idée : $T_0$ donne le produit $LC$, la pente donne le quotient $\frac LC$. $\sqrt{LC}=\frac{T_0}{2\pi}=1{,}0\times10^{-3}\ \text{s}$ et $\sqrt{\frac LC}=400\ \Omega$. En multipliant : $L=10^{-3}\times400=\boxed{0{,}40\ \text{H}}$ ; en divisant : $C=\frac{10^{-3}}{400}=\boxed{2{,}5\ \mu\text{F}}$.

5. $E=\frac12CU_0^2=\frac12\times2{,}5\times10^{-6}\times144=\boxed{1{,}8\times10^{-4}\ \text{J}}$ ; et $\frac12LI_m^2=\frac12\times0{,}40\times9\times10^{-4}=1{,}8\times10^{-4}\ \text{J}$ : l'énergie, entièrement électrique quand $i=0$, est entièrement magnétique quand $u_C=0$.

1. Idée : chaque énergie est proportionnelle à un carré. $E_e=\frac12Cu_C^2$ est une fonction linéaire de $u_C^2$ : droite passant par l'origine, de coefficient directeur $\frac C2$. De même $E_L=\frac12Li^2$ : droite passant par l'origine, de coefficient directeur $\frac L2$.

2. Figure 1 : $\frac C2=\frac{10\times10^{-5}}{400}=2{,}5\times10^{-7}\ \text{J·V}^{-2}$, donc $C=\boxed{0{,}50\ \mu\text{F}}$. Figure 2 : $\frac L2=\frac{10\times10^{-5}}{4\times10^{-4}}=0{,}25\ \text{J·A}^{-2}$, donc $L=\boxed{0{,}50\ \text{H}}$.

3.a Idée : quand une énergie est maximale, l'autre est nulle. Les deux segments s'arrêtent à $10\times10^{-5}\ \text{J}=10^{-4}\ \text{J}$. $E_e$ est maximale quand $|u_C|=U_0$ : alors $i=0$, $E_L=0$ et $E_{e,\max}=E$. De même $E_{L,\max}=E$ quand $u_C=0$. L'énergie électromagnétique $E$ se conservant (pas de résistance), les deux maxima sont égaux : $E=10^{-4}\ \text{J}$.

3.b $U_0^2=400\ \text{V}^2$, donc $U_0=\boxed{20\ \text{V}}$ ; $I_m^2=4\times10^{-4}\ \text{A}^2$, donc $I_m=\boxed{20\ \text{mA}}$.

4. $\sqrt{LC}=\sqrt{0{,}50\times0{,}50\times10^{-6}}=5{,}0\times10^{-4}\ \text{s}$, donc $T_0=2\pi\sqrt{LC}=\pi\ \text{ms}\approx\boxed{3{,}14\ \text{ms}}$ et $\omega_0=2000\ \text{rad·s}^{-1}$ (on vérifie $I_m=\omega_0CU_0=20\ \text{mA}$).

5.a Idée : linéariser $\cos^2$. $E_e=\frac12CU_0^2\cos^2(\omega_0t)=E\cos^2(\omega_0t)$ et $\cos^2a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ :

$E_e$ oscille à la pulsation $2\omega_0$ : sa période vaut $\frac{T_0}{2}\approx1{,}57\ \text{ms}$. Par conservation, $E_L=E-E_e=\frac E2\left(1-\cos(2\omega_0t)\right)$.

5.b Idée : $E_e=E_L$ signifie que chacune vaut $\frac E2$. $E_e=E_L\iff\cos(2\omega_0t)=0\iff2\omega_0t=\frac\pi2+k\pi$, soit $t=\frac{T_0}{8}+k\,\frac{T_0}{4}$ ($k$ entier). Dans $[0,T_0]$ : $t\approx0{,}39$ ; $1{,}18$ ; $1{,}96$ et $2{,}75\ \text{ms}$.

À ces dates $\frac12Cu_C^2=\frac E2=\frac14CU_0^2$, donc $|u_C|=\frac{U_0}{\sqrt2}\approx\boxed{14{,}1\ \text{V}}$ ; de même $|i|=\frac{I_m}{\sqrt2}\approx\boxed{14{,}1\ \text{mA}}$.

1. Idée : mesurer la période entre deux états identiques de la courbe. $U_m=\boxed{6{,}0\ \text{V}}$. La courbe vaut $-3\ \text{V}$ en croissant à $t=0$ puis de nouveau à $t=4\ \text{ms}$ (les maxima sont à $1{,}33$ et $5{,}33\ \text{ms}$) : $T_0=\boxed{4{,}0\ \text{ms}}$. De $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ on tire $L=\frac{T_0^2}{4\pi^2C}$ :

soit $L\approx\boxed{8{,}1\times10^{-2}\ \text{H}}$.

2. Idée : $\sin\varphi$ donne deux angles, le sens de variation à $t=0$ tranche. $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\boxed{500\pi\ \text{rad·s}^{-1}}$. $u_C(0)=U_m\sin\varphi=-3\ \text{V}$, donc $\sin\varphi=-\frac12$ : $\varphi=-\frac\pi6$ ou $\varphi=-\frac{5\pi}{6}$. La courbe croît à $t=0$ : $\frac{du_C}{dt}(0)=U_m\omega_0\cos\varphi>0$, donc $\cos\varphi>0$ et $\varphi=\boxed{-\frac\pi6\ \text{rad}}$.

3. Idée : $q$ a le signe de $u_C$ ; $i=C\frac{du_C}{dt}$ a le signe de la pente. $q(0)=Cu_C(0)=-15\ \mu\text{C}$ : l'armature A porte une charge négative. La pente de $u_C$ est positive à $t=0$, donc $i(0)>0$ : le courant circule dans le sens positif, vers l'armature A. Comme $|u_C|$ diminue (de $3\ \text{V}$ vers $0$), le condensateur se décharge : son énergie passe dans la bobine.

4. $Q_m=CU_m=30\ \mu\text{C}$, donc :

($q$ en C, $t$ en s). En dérivant, $I_m=Q_m\omega_0=30\times10^{-6}\times500\pi\approx4{,}71\times10^{-2}\ \text{A}$ et la phase augmente de $\frac\pi2$ :

($i$ en A). On retrouve $i(0)=I_m\sin\frac\pi3\approx40{,}8\ \text{mA}>0$, conforme à la question 3.

5. Idée : en mode alternatif, l'appareil affiche la valeur efficace, valeur maximale divisée par $\sqrt2$ pour une grandeur sinusoïdale. Ampèremètre : $I=\frac{I_m}{\sqrt2}\approx\boxed{33{,}3\ \text{mA}}$ ; voltmètre : $U=\frac{U_m}{\sqrt2}\approx\boxed{4{,}24\ \text{V}}$.

6. $E=\frac12CU_m^2=\frac12\times5{,}0\times10^{-6}\times36=\boxed{9{,}0\times10^{-5}\ \text{J}}$, valeur égale à $\frac12LI_m^2$ aux arrondis près.