OL-EOscillations électriques libres (LC, RLC)

Bilan énergétique d'un RLC libre amorti — T, L et dE/dt (bac 2015 techniques)

Idée directrice

Après charge d'un condensateur, la bascule vers une bobine forme un circuit RLC siège d'oscillations libres amorties (régime pseudo-périodique). On lit la pseudo-période $T$ , on l'assimile à la période propre $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ pour trouver $L$ , puis on montre que l'énergie électromagnétique totale $E_t$ décroît par effet Joule ( $\mathrm{d}E_t/\mathrm{d}t=-R i^2$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« libres et amorties »

« T = 9,46 ms »

« L = 1 H »

« dEt/dt = −R i² »

« perte d'énergie par effet Joule »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Un condensateur de capacité $C=2{,}27\,\mu\mathrm{F}$ est d'abord chargé, puis basculé (interrupteurs $K_1$ ouvert, $K_2$ fermé à $t=0$ ) sur une bobine d'inductance $L$ en série avec un résistor $R_2$ (esprit bac 2015 session principale, section techniques). L'oscilloscope enregistre $u_C(t)$ : oscillations libres d'enveloppe décroissante. On mesure cinq pseudo-périodes sur $47{,}3\,\mathrm{ms}$ .

Qualifier le régime d'oscillations (libre / forcée ; amorti / non amorti ; pseudo-périodique ou non). Justifier sans calcul.
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ . En admettant $T\approx T_0$ (période propre du circuit LC), calculer l'inductance $L$ .
Rappeler les énergies électrique $E_c=\tfrac12 C u_C^2$ et magnétique $E_m=\tfrac12 L i^2$ . Écrire $E_t=E_c+E_m$ .
À partir de la loi des mailles $u_C+R_2 i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ et de $i=C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ , montrer que $\mathrm{d}E_t/\mathrm{d}t=-R_2 i^2$ . En déduire pourquoi l'enveloppe des oscillations libres amorties décroît.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Oscillations libres amorties en régime pseudo-périodique. Libres : plus de générateur dans la maille après bascule (pas d'excitateur extérieur). Amorties / pseudo-périodiques : l'enveloppe de $u_C$ décroît d'une pseudo-période à la suivante (pertes par effet Joule dans $R_2$ ). Ce n'est ni un régime forcé (pas de GBF), ni des oscillations non amorties du circuit LC idéal.

2. Cinq pseudo-périodes sur

47{,}3\,\mathrm{ms}

T=\dfrac{47{,}3}{5}=\mathbf{9{,}46\,ms}

. En admettant

T\approx T_0

(période propre),

T_0=2\pi\sqrt{LC}\quad\Rightarrow\quad L=\dfrac{T^2}{4\pi^2 C}

L=\dfrac{(9{,}46\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 2{,}27\times 10^{-6}}\approx\mathbf{1{,}0\,H}

3. Énergie électrique du condensateur $E_c=\tfrac12 C u_C^2$ ; énergie magnétique de la bobine $E_m=\tfrac12 L i^2$ ; énergie électromagnétique totale $E_t=E_c+E_m$ .

4. D'après la loi des mailles : $u_C+R_2 i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ . En dérivant $E_t$ et en utilisant $i=C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ , on obtient $\mathrm{d}E_t/\mathrm{d}t=-R_2 i^2\le 0$ . Donc $E_t$ décroît au cours du temps : la diminution de l'enveloppe des oscillations libres amorties est due à une perte d'énergie par effet Joule dans $R_2$ . Le système n'est pas conservatif tant que $R_2\neq 0$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill OL-E.1 — Ratio d'énergies E2/E1 sur deux pseudo-périodes

2 questionsCorrigé masqué

Même type de montage RLC libre (bac 2019 techniques, expérience 3) : après bascule, le circuit est le siège d'oscillations libres amorties en régime pseudo-périodique. On lit $2T=12\,\mathrm{ms}$ sur l'oscillogramme de $u_C(t)$ . Aux instants $t=0$ et $t=2T$ , le courant est nul et toute l'énergie électromagnétique est dans le condensateur, avec $U(0)=6{,}0\,\mathrm{V}$ et $U(2T)=5{,}0\,\mathrm{V}$ . On donne $C=2{,}083\,\mu\mathrm{F}$ .

Nommer le régime (libre, amorti, pseudo-périodique) et calculer la pseudo-période $T$ . En admettant $T\approx T_0$ (période propre), vérifier que $L\approx 0{,}43\,\mathrm{H}$ .
Calculer $E_1=E(0)$ et $E_2=E(2T)$ , puis le rapport $E_2/E_1$ . Conclure sur l'évolution de l'énergie et nommer la cause de la perte (résistors $R$ et $r$ de la bobine).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Régime pseudo-périodique : oscillations libres amorties.

2T=12\,\mathrm{ms}\Rightarrow T=\mathbf{6{,}0\,ms}

. Avec

T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}

L=\dfrac{T^2}{4\pi^2 C}=\dfrac{(6{,}0\times 10^{-3})^2}{4\pi^2\times 2{,}083\times 10^{-6}}\approx\mathbf{0{,}43\,H}

. Ce n'est pas une résonance forcée : pas d'excitateur sinusoïdal extérieur.

2. À

t=0

t=2T

i=0

: l'énergie électromagnétique est entièrement électrostatique,

E_1=\tfrac12 C\,[U(0)]^2=\tfrac12 C\times 6^2\,,\qquad E_2=\tfrac12 C\times 5^2\,.

\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{25}{36}\approx\mathbf{0{,}69}<1

donc

E_2<E_1

: l'énergie diminue au cours du temps. La perte vient de la dissipation par effet Joule dans les résistances

R

r

de la bobine. L'enveloppe des oscillations libres amorties suit cette perte d'énergie électromagnétique.

Méthode / Automatismes

Toujours nommer le couple libre/forcé + amorti/non amorti avant tout calcul de $T$ ou $T_0$ .
En régime pseudo-périodique faiblement amorti : $T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}$ pour tirer $L$ ou $C$ .
Le signe de $\mathrm{d}E_t/\mathrm{d}t=-Ri^2$ prouve l'amortissement sans lire l'enveloppe.

Pièges classiques

Parler de résonance ou d'impédance (chapitre OF) alors qu'il n'y a plus de générateur ; confondre période propre $T_0$ et pseudo-période $T$ sans l'hypothèse $T\approx T_0$ ; oublier que $E_t$ diminue même si $L$ et $C$ sont constants.