Oscillations libres amorties au format du bac : qualifier, équation différentielle, relation avec $u_R$, $T\approx T_0$, énergie dissipée, effet de $R$

1. $u_C$ oscille autour de $0$ avec une amplitude qui diminue : ce sont des oscillations libres (pas de générateur), amorties, de régime pseudo-périodique. $U_0=u_C(0)=10\ \text{V}$.

2. Loi des mailles : $\frac qC+(R+r)i+L\frac{di}{dt}=0$ avec $i=\frac{dq}{dt}$ : $\boxed{L\frac{d^2q}{dt^2}+(R+r)\frac{dq}{dt}+\frac qC=0}$.

3. Avec $i=\frac{u_R}{R}$ : $u_C+(R+r)\frac{u_R}{R}+\frac LR\frac{du_R}{dt}=0$, soit $u_C=-\left[\left(1+\frac rR\right)u_R+\frac LR\frac{du_R}{dt}\right]$.

4. Deux maxima successifs sont séparés de $2\ \text{ms}$ : $T\approx2\ \text{ms}$. $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ donne $C=\frac{T^2}{4\pi^2L}=\frac{(2\times10^{-3})^2}{4\pi^2\times0{,}10}\approx\boxed{1{,}0\times10^{-6}\ \text{F}}$.

5.a $\frac{dE}{dt}=Li\frac{di}{dt}+\frac qC\,i=i\left(L\frac{di}{dt}+\frac qC\right)=-(R+r)i^2$ d'après la loi des mailles. $\frac{dE}{dt}\le0$ : l'énergie diminue, elle est dissipée par effet Joule dans les résistances.

5.b $E(0)=\frac12CU_0^2=\frac12\times10^{-6}\times10^2=50\ \mu\text{J}$ ; $E(t_1)=\frac12C\,u_C(t_1)^2\approx\frac12\times10^{-6}\times6{,}7^2\approx22\ \mu\text{J}$. Énergie dissipée : $\approx\boxed{28\ \mu\text{J}}$.

5.c Avec $R'<R$, la résistance totale est plus faible : l'amortissement est moins important, $u_C(T)$ est plus grande et l'énergie dissipée pendant la même durée est plus faible.