Oscillations mécaniques forcées au format Techniques : lire $F(t)$ et $x(t)$, compléter la construction de Fresnel, résonance de vitesse ($F=h\,v$, $N=N_0$) et coefficient $h$

1.a L'excitateur est le dispositif qui exerce la force $\vec F(t)$ et impose sa fréquence $N$ ; le résonateur est le pendule élastique {ressort, solide $(S)$}.

1.b Sur la figure 1, $F(t)$ et $x(t)$ ont la même période, $0{,}8\ \text{s}$ : $(S)$ oscille à la fréquence imposée par l'excitateur et non à sa fréquence propre. Les oscillations sont forcées.

2.a Idée : $F(t)=F_m\sin(2\pi Nt)$ est nulle et croissante à $t=0$. La courbe $(C_1)$ part de $0$ en croissant : elle représente $F(t)$ ; $(C_2)$, qui vaut $-2\ \text{cm}$ à $t=0$, représente $x(t)$.

2.b D'après les courbes : la période vaut $T_1=0{,}8\ \text{s}$, donc $N_1=\frac1{T_1}=\boxed{1{,}25\ \text{Hz}}$ ; $F_m=9\times10^{-1}\ \text{N}=\boxed{0{,}90\ \text{N}}$ ; $\boxed{X_{m1}=4\ \text{cm}}$.

2.c Idée : la valeur initiale donne le sinus, le sens de variation donne le signe du cosinus. $x(0)=X_{m1}\sin\varphi_{x1}=-2\ \text{cm}$, donc $\sin\varphi_{x1}=-\frac12$ ; $x$ croît à $t=0$, donc $\cos\varphi_{x1}>0$ : $\boxed{\varphi_{x1}=-\frac\pi6\ \text{rad}}$. Ainsi $\varphi_F-\varphi_{x1}=\frac\pi6>0$ : l'élongation est en retard de $\frac\pi6$ sur la force (son maximum arrive $\frac{T_1}{12}\approx0{,}07\ \text{s}$ plus tard).

3.a Idée : à chaque terme sinusoïdal de l'équation différentielle (1), de fréquence $N_1$, on associe un vecteur de Fresnel. $Y(t)=(k-4\pi^2mN_1^2)\,x(t)$ : $\overrightarrow{OA}$, de longueur $(k-4\pi^2mN_1^2)X_{m1}$, est porté par la direction de phase $\varphi_{x1}$. $h\frac{dx}{dt}$ est en avance de $\frac\pi2$ sur $x$ : $\overrightarrow{AB}$, de longueur $2\pi N_1hX_{m1}$, est perpendiculaire à $\overrightarrow{OA}$, tourné d'un quart de tour dans le sens positif. $F(t)$ a une phase nulle : $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$, de longueur $F_m$, est porté par l'axe origine des phases. On trace donc en $A$ la perpendiculaire à $(OA)$ : elle coupe l'axe origine des phases en $B$.

3.b Dans le triangle $OAB$, rectangle en $A$ et d'angle $\frac\pi6$ en $O$ : $OB=\frac{OA}{\cos(\pi/6)}=\frac{3{,}9}{0{,}866}\approx4{,}5\ \text{cm}$ (même mesure à la règle), soit, à l'échelle $1$ cm $\leftrightarrow0{,}2$ N, $F_m=0{,}90\ \text{N}$ : c'est l'amplitude lue sur $(C_1)$.

3.c $AB=OA\tan\frac\pi6\approx2{,}25\ \text{cm}$, soit $2\pi N_1hX_{m1}=0{,}45\ \text{N}$ :

donc $\boxed{h\approx1{,}43\ \text{kg·s}^{-1}}$. Et $OA=3{,}9\ \text{cm}$ : $(k-4\pi^2mN_1^2)X_{m1}=0{,}78\ \text{N}$, d'où $k-4\pi^2mN_1^2=\frac{0{,}78}{0{,}04}=19{,}5\ \text{N·m}^{-1}$ et $4\pi^2mN_1^2=32-19{,}5=12{,}5\ \text{N·m}^{-1}$ :

soit $\boxed{m\approx0{,}20\ \text{kg}}$ ($0{,}203$ kg).

4.a D'après la figure 3 : période $T_2=0{,}5\ \text{s}$, donc $\boxed{N_2=2\ \text{Hz}}$. $F$ est nulle et croissante à $t=0$ ($\varphi_F=0$) et $x(0)=-X_{m2}$ ($\varphi_{x2}=-\frac\pi2$) : $\boxed{\varphi_F-\varphi_{x2}=\frac\pi2}$ — $F$ et $x$ sont en quadrature, $F$ en avance d'un quart de période ($0{,}125\ \text{s}$).

4.b Idée : $h\frac{dx}{dt}$ est en avance de $\frac\pi2$ sur $x$, donc ici en phase avec $F$. Dans la construction de Fresnel, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont alors tous deux portés par l'axe origine des phases, alors que $\overrightarrow{OA}$ est porté par la direction de $x$, perpendiculaire à cet axe : la relation $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}$ impose $\overrightarrow{OA}=\vec 0$. Donc $Y(t)=0$ à chaque instant, soit $k-4\pi^2mN_2^2=0$ et $N_2=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac km}=N_0$. La vitesse $v=\frac{dx}{dt}$ est en phase avec $F$ : c'est la résonance de vitesse. Vérification : $N_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{32}{0{,}203}}\approx2{,}0\ \text{Hz}=N_2$.

4.c Avec $Y=0$, l'équation (1) se réduit à $F(t)=h\frac{dx}{dt}$. En amplitudes : $F_m=h\times2\pi N_2X_{m2}$, soit $h=\frac{F_m}{2\pi N_2X_{m2}}$. D'après la figure 3, $F_m=0{,}90\ \text{N}$ et $X_{m2}=5\ \text{cm}$ :

soit $\boxed{h\approx1{,}43\ \text{kg·s}^{-1}}$, la même valeur qu'à la question 3 ; l'amplitude de la vitesse vaut alors $V_{m0}=2\pi N_2X_{m2}\approx0{,}63\ \text{m·s}^{-1}$.

5.a Idée : plus le frottement est grand, plus le maximum de $X_m$ est bas et décalé vers les basses fréquences. La courbe (a), au maximum le plus élevé, correspond au plus petit coefficient, $h\approx1{,}43\ \text{kg·s}^{-1}$ ; la courbe (b) correspond à $h'=2{,}5\ \text{kg·s}^{-1}$. Sur (a), on lit $\boxed{N_r\approx1{,}83\ \text{Hz}}$. Comme $\frac{h^2}{8\pi^2m^2}>0$, $N_r^2<N_0^2$ et $N_r<N_0=2\ \text{Hz}$ ; la relation donne d'ailleurs $N_r^2\approx4-0{,}63$, soit $N_r\approx1{,}83\ \text{Hz}$.

5.b Dans l'analogie, $x\leftrightarrow q$ et $F\leftrightarrow u$, donc la vitesse $v=\frac{dx}{dt}$ est l'analogue de l'intensité $i=\frac{dq}{dt}$. La résonance de vitesse ($v$ en phase avec $F$, $N=N_0$, $V_m=\frac{F_m}{h}$) est l'analogue de la résonance d'intensité d'un circuit $RLC$ série ($i$ en phase avec $u$, $I_m=\frac{U_m}{R}$).