OM-HOscillations mécaniques

Pendule élastique au format Sport : sens de l'écart, $T_0$ et $\varphi_x$ lus sur $x(t)$ , $m$ , $E_0=\frac12kd^2$ , vitesse en $O$ , masselotte, puis régimes amortis et énergie perdue

Idée directrice

Au bac Sport, le pendule élastique horizontal est souvent l'exercice 1 de physique (6,25 à 7 points) — à chaque session de contrôle depuis 2023 — et il est guidé : l'équation différentielle est souvent donnée et tout se lit sur un enregistrement. Sur $x(t)$ , le signe de $x(0)$ donne le sens de l'écart et sa valeur absolue la distance $d$ (lâcher sans vitesse : $d=X_m$ ) ; le nombre d'oscillations dans l'intervalle gradué donne $T_0$ , et $x(0)=X_m\sin\varphi_x$ la phase. Viennent ensuite $m=\frac{kT_0^2}{4\pi^2}$ (ou $k$ ), l'énergie $E_0=\frac12kd^2$ qui devient toute cinétique en $O$ , l'effet d'une masselotte ( $T_0^2$ proportionnelle à la masse) et, dans une seconde partie, les frottements : nommer le régime de chaque courbe et calculer l'énergie mécanique aux extrémums, où $v=0$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« préciser, en le justifiant, si le solide (S), à l'instant $t_0=0$ , est écarté dans le sens positif des élongations ou dans le sens négatif » ; « Ce pendule élastique représente un oscillateur libre non amorti » ; « vérifier que la pulsation propre est $\omega_0=\sqrt{K/m}$ » ; « On attache au solide (S) une masselotte de masse $m'$ » ; « Préciser si le régime correspondant aux oscillations de (S) est périodique, pseudo-périodique ou apériodique » ; « Préciser si le système est conservatif ou non. Justifier »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Sur $x(t)$ : le signe de $x(0)$ donne le sens de l'écart ; lâcher sans vitesse → $d=|x(0)|=X_m$ ; compter $n$ oscillations complètes sur l'intervalle gradué : $T_0=\frac{\Delta t}{n}$ .
Phase : $\sin\varphi_x=\frac{x(0)}{X_m}$ ; $x(0)=-X_m$ → $\varphi_x=-\frac\pi2$ ; $x(0)=+X_m$ → $+\frac\pi2$ ; départ de $O$ vers les $x>0$ → $0$ .
$\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\sqrt{\frac km}$ : $m=\frac{kT_0^2}{4\pi^2}$ ou $k=\frac{4\pi^2m}{T_0^2}$ ; masselotte : $m'=m\left(\frac{T_0'^2}{T_0^2}-1\right)$ .
Énergie : $E=\frac12mv^2+\frac12kx^2$ ; $E_0=\frac12kd^2$ après un lâcher sans vitesse ; au passage par $O$ , $|v|=d\,\omega_0$ .
Frottements : amplitude décroissante → pseudo-périodique ( $T$ à peine supérieure à $T_0$ ) ; retour sans oscillation → apériodique (plus grand $h$ ) ; aux extrémums, $v=0$ et $E=\frac12kx^2$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre pour $d$ la distance entre les deux positions extrêmes ( $12$ cm au lieu de $6$ ) ; compter les maximums au lieu des oscillations complètes, ou oublier que l'axe des temps est gradué en multiples de $\pi$ ; donner $\varphi_x=+\frac\pi2$ alors que l'écart est dans le sens négatif ; écrire $T_0'=2\pi\sqrt{m'/k}$ en oubliant la masse du solide ; calculer $E_1$ par $\frac12kx^2$ à un instant où $v\ne0$ ; attribuer la courbe apériodique au plus petit coefficient $h$ .

Sujet principal

Exercice 1 — pendule élastique (7 points), dans l'esprit des sessions 2020–2026 (section Sport)

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide $(S)$ , supposé ponctuel, de masse $m$ inconnue, est attaché à l'une des extrémités d'un ressort $(R)$ à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur $k=24\ \text{N·m}^{-1}$ ; l'autre extrémité du ressort est fixe. $(S)$ se déplace sur un banc horizontal, suivant un axe $(x'x)$ . La position de son centre d'inertie $G$ est repérée par son abscisse $x$ dans un repère $(O,\vec i)$ supposé galiléen, où $O$ est la position de $G$ à l'équilibre ; on note $\vec v=v\,\vec i$ le vecteur vitesse de $G$ . Le plan horizontal passant par $G$ est pris comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur.

I. Les frottements sont négligeables. On écarte $(S)$ de sa position d'équilibre d'une distance $d$ , puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant $t_0=0$ . Un dispositif d'acquisition enregistre l'élongation $x(t)$ de $G$ (figure 1).

Étude dynamique.
1. Représenter les forces qui s'exercent sur $(S)$ à un instant où $x>0$ .
2. Ce pendule élastique est un oscillateur libre non amorti. Justifier chacune de ces deux appellations.
3. L'équation différentielle du mouvement s'écrit $\dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{k}{m}\,x=0$ . Sachant que $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ en est solution, vérifier que la pulsation propre est $\omega_0=\sqrt{\dfrac km}$ .
En exploitant la courbe de la figure 1 :
1. préciser, en le justifiant, si $(S)$ a été écarté, à l'instant $t_0=0$ , dans le sens positif ou dans le sens négatif des élongations ;
2. en déduire la valeur de $d$ ;
3. déterminer l'amplitude $X_m$ , la période propre $T_0$ et la phase initiale $\varphi_x$ ;
4. calculer la pulsation propre $\omega_0$ , puis préciser la nature du mouvement de $G$ .
Exprimer la masse $m$ du solide en fonction de $k$ et de $T_0$ , puis calculer sa valeur.
Étude énergétique du système {solide $(S)$ , ressort $(R)$ , Terre}.
1. Préciser, en le justifiant, si ce système est conservatif.
2. Exprimer son énergie mécanique $E$ à un instant $t$ en fonction de $m$ , $k$ , $x$ et $v$ .
3. Montrer qu'à l'instant $t_0=0$ , l'énergie mécanique s'écrit $E_0=\frac12kd^2$ , puis calculer $E_0$ .
4. En déduire la date du premier passage de $G$ par la position d'équilibre et la valeur de sa vitesse à cet instant.
On fixe sur $(S)$ une masselotte de masse $m'$ ; la période propre de l'oscillateur devient $T_0'=0{,}90\ \text{s}$ .
1. Exprimer $T_0'$ en fonction de $m$ , $m'$ et $k$ .
2. Montrer que $m'=m\left(\dfrac{T_0'^2}{T_0^2}-1\right)$ , puis calculer $m'$ .
II. Les frottements ne sont plus négligeables. On retire la masselotte ; $(S)$ est soumis à une force de frottement visqueux $\vec f=-h\vec v$ . Pour deux valeurs $h_1<h_2$ du coefficient $h$ , on refait l'expérience (même écart initial, lâcher sans vitesse) : on obtient les courbes (1) et (2) de la figure 2 ci-dessous.
1. Préciser, pour chaque courbe, le régime des oscillations (pseudo-périodique ou apériodique) et si les oscillations sont faiblement ou fortement amorties.
2. Attribuer, en le justifiant, chaque courbe à son coefficient de frottement.
3. Deux minimums de la courbe (1), atteints aux dates $t_1$ (repérée sur la figure 2) et $t_2$ , sont séparés par quatre pseudo-périodes : $t_2-t_1=3{,}15\ \text{s}$ . Calculer la pseudo-période $T$ et la comparer à $T_0$ .
Pour la courbe (1) :
1. déterminer l'énergie mécanique $E_0$ du système à l'instant $t_0=0$ et son énergie mécanique $E_1$ à la date $t_1$ ;
2. en déduire l'énergie perdue entre $t_0$ et $t_1$ ; le système est-il conservatif ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Système : le solide $(S)$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il est soumis à son poids $\vec P$ (vertical, vers le bas), à la réaction $\vec R$ du banc (verticale, vers le haut, puisqu'il n'y a pas de frottement) et à la tension du ressort $\vec T=-kx\,\vec i$ , horizontale : pour $x>0$ , elle est dirigée vers $O$ , suivant $-\vec i$ .

1.b Libre : une fois lâché, $(S)$ n'est soumis à aucune action extérieure qui entretienne son mouvement ; il oscille à sa fréquence propre. Non amorti : les frottements étant négligeables, l'amplitude reste constante — la figure 1 garde la même amplitude de $6\ \text{cm}$ .

1.c Idée : reporter la solution dans l'équation. $\frac{dx}{dt}=\omega_0X_m\cos(\omega_0t+\varphi_x)$ et $\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)=-\omega_0^2x$ . L'équation différentielle devient $\left(\frac km-\omega_0^2\right)x=0$ à chaque instant ; $x$ n'étant pas identiquement nul, $\omega_0^2=\frac km$ , soit $\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac km}}$ .

2.a À $t_0=0$ , la courbe part de $x(0)=-6\ \text{cm}<0$ : $(S)$ a été écarté dans le sens négatif des élongations.

2.b Lâché sans vitesse, $(S)$ part d'une position extrême : $d=|x(0)|=\boxed{6\ \text{cm}}$ .

2.c D'après la courbe : $X_m=\boxed{6\ \text{cm}}$ . On compte quatre oscillations complètes entre $0$ et $\pi$ s, donc $T_0=\frac{\pi}{4}\ \text{s}$ , soit $\boxed{T_0\approx0{,}785\ \text{s}}$ . Idée : la valeur de $x(0)$ fixe la phase. $x(0)=X_m\sin\varphi_x=-X_m$ , donc $\sin\varphi_x=-1$ et $\boxed{\varphi_x=-\frac{\pi}{2}\ \text{rad}}$ .

2.d $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\frac{2\pi}{\pi/4}=\boxed{8\ \text{rad·s}^{-1}}$ . L'élongation $x(t)=6\sin\left(8t-\frac{\pi}{2}\right)$ (en cm) est une fonction sinusoïdale du temps : le mouvement de $G$ est rectiligne sinusoïdal.

3. $\omega_0^2=\frac km=\frac{4\pi^2}{T_0^2}$ , d'où $m=\frac{kT_0^2}{4\pi^2}$ . AN : $m=\frac{k}{\omega_0^2}=\frac{24}{64}=\boxed{0{,}375\ \text{kg}}$ .

4.a Oui. Les frottements sont négligés ; $\vec P$ et $\vec R$ , perpendiculaires au déplacement, ne travaillent pas, et la seule force qui travaille, la tension du ressort, est conservative : l'énergie mécanique se conserve, ce que confirme l'amplitude constante de la figure 1.

4.b $E=E_c+E_{pe}+E_{pp}$ avec $E_{pp}=0$ : $\boxed{E=\frac12mv^2+\frac12kx^2}$ .

4.c À $t_0=0$ : $v=0$ (lâcher sans vitesse) et $x=-d$ , donc $E_0=\frac12k(-d)^2=\frac12kd^2$ . AN : $E_0=\frac12\times24\times0{,}06^2=\boxed{4{,}32\times10^{-2}\ \text{J}}$ .

4.d Idée : parti d'une position extrême, $G$ atteint $O$ au bout d'un quart de période ; en $O$ , $E_{pe}=0$ et toute l'énergie est cinétique. Premier passage : $t=\frac{T_0}{4}=\frac{\pi}{16}\approx\boxed{0{,}20\ \text{s}}$ . Conservation de l'énergie : $\frac12mv^2=E_0$ , d'où

|v|=\sqrt{\frac{2E_0}{m}}=\sqrt{\frac{8{,}64\times10^{-2}}{0{,}375}}

soit $\boxed{|v|=0{,}48\ \text{m·s}^{-1}}$ (on retrouve $d\,\omega_0=0{,}06\times8$ ). Venant de $x=-d$ , $G$ se déplace alors dans le sens de $\vec i$ : $v=+0{,}48\ \text{m·s}^{-1}$ .

5.a La masse oscillante devient $m+m'$ : $\boxed{T_0'=2\pi\sqrt{\frac{m+m'}{k}}}$ .

5.b $\frac{T_0'^2}{T_0^2}=\frac{m+m'}{m}=1+\frac{m'}{m}$ , d'où $m'=m\left(\frac{T_0'^2}{T_0^2}-1\right)$ . AN : $T_0^2=\frac{\pi^2}{16}\approx0{,}617\ \text{s}^2$ et $\frac{T_0'^2}{T_0^2}=\frac{0{,}81}{0{,}617}\approx1{,}313$ , donc $m'\approx0{,}375\times0{,}313$ , soit $\boxed{m'\approx0{,}117\ \text{kg}}$ .

6.a Courbe (1) : $G$ oscille de part et d'autre de $O$ avec une amplitude qui décroît — régime pseudo-périodique, oscillations faiblement amorties. Courbe (2) : $G$ revient à $O$ sans le dépasser, sans osciller — régime apériodique, oscillations fortement amorties.

6.b Idée : plus le frottement est fort, plus l'énergie est dissipée vite. Le régime apériodique correspond au frottement le plus fort : la courbe (2) correspond à $h_2$ et la courbe (1) à $h_1$ .

6.c $T=\frac{t_2-t_1}{4}=\frac{3{,}15}{4}\approx\boxed{0{,}79\ \text{s}}$ , pour $T_0=\frac\pi4\approx0{,}785\ \text{s}$ : la pseudo-période est très légèrement supérieure à la période propre (écart d'environ $0{,}3\ \%$ ) ; pour un faible amortissement, $T\approx T_0$ .

7.a Idée : aux extrémums de $x(t)$ , la tangente est horizontale, donc $v=0$ et $E=\frac12kx^2$ . À $t_0=0$ : $E_0=\frac12kd^2=4{,}32\times10^{-2}\ \text{J}$ . À $t_1$ , on lit $x(t_1)=-4\ \text{cm}$ : $E_1=\frac12\times24\times0{,}04^2=\boxed{1{,}92\times10^{-2}\ \text{J}}$ .

7.b Énergie perdue : $E_0-E_1=\boxed{2{,}40\times10^{-2}\ \text{J}}$ , dissipée par les frottements (en chaleur). L'énergie mécanique diminue au cours du temps : le système n'est pas conservatif.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : écart dans le sens négatif lu sur $x(t)$ (cinq oscillations entre $0$ et $\pi$ s), $E_0=\frac12kd^2$ , vitesse au premier passage par $O$ et masselotte $m'$ (contrôle 2024) ; solide lancé depuis $O$ avec $v_0>0$ , $x=0{,}04\sin(10t)$ donné, puis courbes $E_c$ , $E_p$ et $E$ superposées (contrôle 2023) ; lecture de $X_{\max}$ , $T_0$ , $K$ et $\varphi_x$ sur $x(t)$ avec une vitesse initiale non nulle, puis régime pseudo-périodique, comparaison de $T$ et $T_0$ et $\Delta E$ entre deux maximums (contrôle 2026) ; courbe $E(x)$ → $k$ puis $m$ , puis régime et $E_0$ , $E_1$ sur un enregistrement amorti (principale 2020) ; $T_0$ par la durée de 8 oscillations, $k$ et $X_{\max}$ , puis courbes apériodique et pseudo-périodique et $E_1=\frac12mv_1^2$ (principale 2022). Dans ces épreuves Sport, l'équation différentielle est souvent donnée et aucun décrément logarithmique n'est demandé.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OM-H.1 — solide lancé depuis

O

: identifier

E_c

E_p

E

sur un même graphe, puis

k

v_0

Entraînement 01 / 03

Drill OM-H.1 — solide lancé depuis $O$ : identifier $E_c$ , $E_p$ et $E$ sur un même graphe, puis $k$ et $v_0$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un pendule élastique horizontal est formé d'un solide $(S)$ de masse $m=400\ \text{g}$ et d'un ressort de raideur $k$ , de masse négligeable ; les frottements sont négligeables. $G$ est repéré par son abscisse $x$ sur un axe $(O,\vec i)$ horizontal, $O$ étant sa position d'équilibre ; le plan horizontal passant par $G$ est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur. À $t=0$ , $(S)$ est lancé depuis $O$ avec une vitesse $v_0>0$ ; son élongation s'écrit alors $x(t)=0{,}05\sin(10t)$ ( $x$ en m, $t$ en s).

Déterminer la pulsation propre $\omega_0$ , la période propre $T_0$ , l'amplitude $X_m$ et la phase initiale $\varphi_x$ . En déduire la raideur $k$ du ressort.
Un système d'acquisition fournit les courbes $C_1$ , $C_2$ et $C_3$ de la figure : l'énergie cinétique $E_c$ du solide, l'énergie potentielle élastique $E_p$ et l'énergie mécanique $E$ du système {solide, ressort, Terre}. Indiquer, en le justifiant, l'énergie représentée par chaque courbe.
Exprimer $E$ en fonction de $m$ , $k$ , $x$ et $v$ , puis l'énergie $E_0$ à $t=0$ en fonction de $m$ et $v_0$ .
Déterminer $v_0$ à l'aide de la figure, puis vérifier cette valeur à partir de l'équation horaire.
Relever la période des courbes $C_1$ et $C_2$ et la comparer à $T_0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Par identification avec $x=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ : $\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}$ , $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}63\ \text{s}$ , $X_m=0{,}05\ \text{m}=5\ \text{cm}$ et $\varphi_x=0$ (départ de $O$ vers les $x>0$ ). Puis $k=m\omega_0^2=0{,}40\times100=\boxed{40\ \text{N·m}^{-1}}$ .

2. Idée : à $t=0$ , $G$ est en $O$ , où $E_p=0$ et où la vitesse est maximale. D'après les courbes : $C_3$ est constante, c'est l'énergie mécanique $E$ , conservée en l'absence de frottement. $C_1$ part de $0$ : c'est $E_p=\frac12kx^2$ , nulle en $x=0$ . $C_2$ part de sa valeur maximale : c'est $E_c$ .

3. $E=\frac12mv^2+\frac12kx^2$ . À $t=0$ , $x=0$ et $v=v_0$ : $E_0=\frac12mv_0^2$ .

4. D'après la courbe $C_3$ , $E=5{,}0\times10^{-2}\ \text{J}=E_0$ , d'où $v_0=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{0{,}10}{0{,}40}}=\boxed{0{,}50\ \text{m·s}^{-1}}$ . Vérification : $v=\frac{dx}{dt}=0{,}5\cos(10t)$ , donc $v(0)=X_m\omega_0=0{,}50\ \text{m·s}^{-1}$ .

5. $C_2$ repasse par son maximum à $t=0$ , puis vers $0{,}31\ \text{s}$ et $0{,}63\ \text{s}$ : la période des énergies vaut $\frac{\pi}{10}\approx0{,}31\ \text{s}=\frac{T_0}{2}$ . $E_c$ et $E_p$ s'échangent deux fois par période d'oscillation.

2 Drill OM-H.2 — courbe

E=f(x)

: du palier d'énergie mécanique à

k

, puis à

m

Entraînement 02 / 03

Drill OM-H.2 — courbe $E=f(x)$ : du palier d'énergie mécanique à $k$ , puis à $m$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide $(S)$ de masse $m$ , fixé à un ressort horizontal de raideur $k$ , oscille sans frottement de part et d'autre de sa position d'équilibre $O$ . Son élongation s'écrit $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_0)$ , avec $\omega_0=20\ \text{rad·s}^{-1}$ , et sa vitesse $v(t)=\omega_0X_m\cos(\omega_0t+\varphi_0)$ . Le plan horizontal passant par $G$ est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur. La figure donne l'énergie mécanique $E$ du système { $(S)$ , ressort, Terre} en fonction de l'élongation $x$ .

Exprimer l'énergie potentielle $E_p$ du système en fonction de $k$ et $x$ , puis en fonction de $k$ , $X_m$ et $\sin^2(\omega_0t+\varphi_0)$ .
Exprimer l'énergie cinétique $E_c$ de $(S)$ en fonction de $m$ , $\omega_0$ , $X_m$ et $\cos^2(\omega_0t+\varphi_0)$ .
En déduire que $E=\frac12kX_m^2$ . L'allure de la courbe est-elle en accord avec ce résultat ?
Déterminer graphiquement $E$ et $X_m$ . En déduire la raideur $k$ .
Calculer la masse $m$ du solide, puis sa vitesse maximale $V_m$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $E_{pp}=0$ , donc $E_p=\frac12kx^2=\frac12kX_m^2\sin^2(\omega_0t+\varphi_0)$ .

2. $E_c=\frac12mv^2=\frac12m\omega_0^2X_m^2\cos^2(\omega_0t+\varphi_0)$ .

3. Idée : $\omega_0^2=\frac km$ , donc $m\omega_0^2=k$ . En notant $\theta=\omega_0t+\varphi_0$ : $E=E_c+E_p=\frac12kX_m^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)$ , soit $E=\frac12kX_m^2$ : $E$ ne dépend ni du temps ni de $x$ . La courbe est bien un segment horizontal.

4. Graphiquement, le palier vaut $E=2{,}7\times10^{-2}\ \text{J}$ et le segment s'arrête en $x=\pm3\ \text{cm}$ : $G$ ne dépasse jamais les positions extrêmes, donc $X_m=3\ \text{cm}$ . Alors

k=\frac{2E}{X_m^2}=\frac{5{,}4\times10^{-2}}{9\times10^{-4}}

soit $\boxed{k=60\ \text{N·m}^{-1}}$ .

5. $m=\frac{k}{\omega_0^2}=\frac{60}{400}=\boxed{0{,}15\ \text{kg}}$ et $V_m=\omega_0X_m=20\times0{,}03=\boxed{0{,}60\ \text{m·s}^{-1}}$ (on retrouve $\sqrt{2E/m}$ ).

3 Drill OM-H.3 —

T_0

par la durée de 8 oscillations, puis

E_1=\frac12mv_1^2

au passage par

O

Entraînement 03 / 03

Drill OM-H.3 — $T_0$ par la durée de 8 oscillations, puis $E_1=\frac12mv_1^2$ au passage par $O$

4 questionsCorrigé masqué

Un solide $(S)$ de masse $m=160\ \text{g}$ est attaché à un ressort horizontal de raideur $k$ , de masse négligeable. À $t=0$ , on écarte $(S)$ de $a=4\ \text{cm}$ de sa position d'équilibre $O$ , dans le sens des élongations positives, et on l'abandonne sans vitesse initiale. Les frottements sont d'abord négligeables : la mesure de la durée de 8 oscillations donne $\Delta t=4{,}02\ \text{s}$ . Le plan horizontal passant par $G$ est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur.

Calculer la période propre $T_0$ de l'oscillateur.
Sachant que $\omega_0=\sqrt{\dfrac km}$ , exprimer $k$ en fonction de $m$ et de $T_0$ , puis calculer $k$ .
L'équation horaire du mouvement de $G$ est $x(t)=X_{\max}\sin\left(\omega_0t+\dfrac\pi2\right)$ .
1. Préciser la nature du mouvement.
2. Déterminer $X_{\max}$ à l'aide des conditions initiales.
3. Déterminer la date du premier passage de $G$ par $O$ et la valeur algébrique de sa vitesse à cet instant.
On soumet maintenant $(S)$ à des frottements et on refait la même expérience. À une date $t_1$ , $G$ passe par $O$ avec une vitesse de valeur $\|\vec v_1\|=0{,}30\ \text{m·s}^{-1}$ .
1. Écrire l'expression de l'énergie mécanique $E$ du système {Terre, ressort, $(S)$ } en fonction de $x$ , $m$ , $k$ et $v$ .
2. Calculer les énergies mécaniques $E_0$ à $t=0$ et $E_1$ à la date $t_1$ .
3. Préciser, en le justifiant, si le système est conservatif.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $T_0=\frac{\Delta t}{8}=\frac{4{,}02}{8}\approx\boxed{0{,}50\ \text{s}}$ ( $0{,}5025$ s).

2. $\omega_0^2=\frac km=\frac{4\pi^2}{T_0^2}$ , d'où $k=\frac{4\pi^2m}{T_0^2}$ . AN : $k=\frac{4\pi^2\times0{,}160}{0{,}5025^2}\approx\boxed{25\ \text{N·m}^{-1}}$ .

3.a $x(t)$ est une fonction sinusoïdale du temps : le mouvement est rectiligne sinusoïdal.

3.b À $t=0$ : $x(0)=X_{\max}\sin\frac\pi2=X_{\max}$ , et $x(0)=+a$ (écart dans le sens positif), donc $\boxed{X_{\max}=4\ \text{cm}}$ .

3.c Idée : partant d'une position extrême, $G$ atteint $O$ au bout d'un quart de période. $t=\frac{T_0}{4}\approx\boxed{0{,}126\ \text{s}}$ . Avec $v(t)=\omega_0X_{\max}\cos\left(\omega_0t+\frac\pi2\right)$ et $\omega_0t=\frac\pi2$ : $v=\omega_0X_{\max}\cos\pi=-\omega_0X_{\max}$ . Comme $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\approx12{,}5\ \text{rad·s}^{-1}$ , $\boxed{v\approx-0{,}50\ \text{m·s}^{-1}}$ : $G$ se dirige vers les élongations négatives.

4.a $E=\frac12mv^2+\frac12kx^2$ .

4.b À $t=0$ , $v=0$ et $x=a$ : $E_0=\frac12ka^2=\frac12\times25\times0{,}04^2=\boxed{2{,}0\times10^{-2}\ \text{J}}$ . À $t_1$ , $x=0$ : $E_1=\frac12mv_1^2=\frac12\times0{,}160\times0{,}30^2=\boxed{7{,}2\times10^{-3}\ \text{J}}$ .

4.c $E_1<E_0$ : entre $0$ et $t_1$ , l'énergie mécanique a diminué de $1{,}28\times10^{-2}\ \text{J}$ , dissipée par les frottements ; le système n'est pas conservatif.

Relier ce raisonnement au bac

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Pendule élastique au format Sport : sens de l'écart, $T_0$ et $\varphi_x$ lus sur $x(t)$ , $m$ , $E_0=\frac12kd^2$ , vitesse en $O$ , masselotte, puis régimes amortis et énergie perdue

Exercice 1 — pendule élastique (7 points), dans l'esprit des sessions 2020–2026 (section Sport)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OM-H.1 — solide lancé depuis $O$ : identifier $E_c$ , $E_p$ et $E$ sur un même graphe, puis $k$ et $v_0$

Drill OM-H.2 — courbe $E=f(x)$ : du palier d'énergie mécanique à $k$ , puis à $m$

Drill OM-H.3 — $T_0$ par la durée de 8 oscillations, puis $E_1=\frac12mv_1^2$ au passage par $O$

Relier ce raisonnement au bac

Pendule élastique au format Sport : sens de l'écart, T0T_0T0​ et φx\varphi_xφx​ lus sur x(t)x(t)x(t), mmm, E0=12kd2E_0=\frac12kd^2E0​=21​kd2, vitesse en OOO, masselotte, puis régimes amortis et énergie perdue

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Pendule élastique au format Sport : sens de l'écart, $T_0$ et $\varphi_x$ lus sur $x(t)$ , $m$ , $E_0=\frac12kd^2$ , vitesse en $O$ , masselotte, puis régimes amortis et énergie perdue