Pendule élastique forcé par $F(t)=F_m\sin(2\pi Nt)$ : identifier $F(t)$, construction de Fresnel à l'échelle, $X_m(N)$ et $V_m(N)$, résonances d'élongation et de vitesse

1.a Idée : isoler le solide et projeter sur l'axe du mouvement. Système : le solide $(S)$, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids $\vec P$ et la réaction $\vec R$ de la tige (verticales, elles se compensent), la tension du ressort $\vec T=-kx\,\vec i$, la force de frottement $\vec f=-h\vec v$ et la force excitatrice $\vec F$. D'après la deuxième loi de Newton, $\vec P+\vec R+\vec T+\vec f+\vec F=m\vec a$ ; en projection sur l'axe $(O,\vec i)$ : $-kx-h\dfrac{dx}{dt}+F(t)=m\dfrac{d^2x}{dt^2}$, d'où l'équation différentielle $m\dfrac{d^2x}{dt^2}+h\dfrac{dx}{dt}+kx=F(t)$.

1.b Idée : la force excitatrice a une phase initiale nulle. $F(0)=F_m\sin0=0$ et $F$ croît à $t=0$ : sa courbe passe par zéro en croissant à l'origine des dates. C'est le cas de $(C_2)$ ; $(C_1)$ vaut environ $-3{,}5$ à $t=0$, sa phase initiale n'est pas nulle : c'est l'élongation $x(t)$.

1.c D'après les courbes : $X_m=\boxed{4{,}0\ \text{cm}}$ (amplitude de $(C_1)$) et $F_m=5\times10^{-1}\ \text{N}=\boxed{0{,}50\ \text{N}}$. Les deux courbes ont la même période $T_1=0{,}6\ \text{s}$, donc $N_1=\frac{1}{T_1}=\frac53\ \text{Hz}\approx\boxed{1{,}67\ \text{Hz}}$.

Idée : un décalage horaire $\Delta t$ correspond à un déphasage $|\Delta\varphi|=2\pi\frac{\Delta t}{T_1}$. $F$ est maximale à $t=0{,}15\ \text{s}$ et $x$ à $t=0{,}25\ \text{s}$ : l'élongation est en retard de $\Delta t=0{,}10\ \text{s}$ sur la force, et $|\Delta\varphi|=2\pi\times\frac{0{,}10}{0{,}6}=\frac\pi3$. Comme $\varphi_F=0$ et que $x$ est en retard : $\boxed{\varphi_x=-\frac\pi3\ \text{rad}}$. Contrôle : $x(0)=4\sin\left(-\frac\pi3\right)\approx-3{,}46\ \text{cm}$, la valeur lue sur $(C_1)$.

2.a Idée : dériver une fonction sinusoïdale avance sa phase de $\frac\pi2$ ; chaque terme de l'équation devient un vecteur de Fresnel dont la phase se déduit de $\varphi_x$.

• $kx\ \mapsto\ \overrightarrow{OA}\,[kX_m\ ;\ \varphi_x]$ : donné, $8\ \text{cm}$.
• $m\frac{d^2x}{dt^2}\ \mapsto\ \overrightarrow{AB}\,[4\pi^2N_1^2mX_m\ ;\ \varphi_x+\pi]$ : opposé à $\overrightarrow{OA}$, donc $B$ est sur le segment $[OA]$.
• $h\frac{dx}{dt}\ \mapsto\ \overrightarrow{BC}\,[2\pi N_1hX_m\ ;\ \varphi_x+\frac\pi2]$ : perpendiculaire à $(OA)$, en avance de $\frac\pi2$.
• $F\ \mapsto\ \overrightarrow{OC}\,[F_m\ ;\ 0]$ : $5\ \text{cm}$ sur l'axe des phases, et $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$.

On trace $\overrightarrow{OC}$ ($5\ \text{cm}$) sur l'axe des phases ; $B$ est le pied de la perpendiculaire menée de $C$ à la droite $(OA)$. On mesure $OB=5\cos\frac\pi3=2{,}5\ \text{cm}$, donc $AB=8-2{,}5=5{,}5\ \text{cm}$, et $BC=5\sin\frac\pi3\approx4{,}33\ \text{cm}$.

2.b $OA=8\ \text{cm}$ représente $kX_m=0{,}80\ \text{N}$ : $k=\frac{0{,}80}{0{,}040}=\boxed{20\ \text{N·m}^{-1}}$.

$BC\approx4{,}33\ \text{cm}$ représente $2\pi N_1hX_m=0{,}433\ \text{N}$, avec $2\pi N_1X_m=2\pi\times\frac53\times0{,}040\approx0{,}419\ \text{m·s}^{-1}$ : $h=\frac{0{,}433}{0{,}419}\approx\boxed{1{,}03\ \text{kg·s}^{-1}}$.

$AB=5{,}5\ \text{cm}$ représente $4\pi^2N_1^2mX_m=0{,}55\ \text{N}$, avec $4\pi^2N_1^2X_m\approx4{,}39\ \text{m·s}^{-2}$ : $m=\frac{0{,}55}{4{,}39}\approx\boxed{0{,}125\ \text{kg}}$.

3.a Idée : pour $N<N_0$, $k>4\pi^2N^2m$ : le point $B$ reste entre $O$ et $A$ et le triangle $OBC$ est rectangle en $B$. $OB=OA-AB=(k-4\pi^2N^2m)X_m$, $BC=2\pi NhX_m$ et $OC=F_m$. D'après le théorème de Pythagore, $OC^2=OB^2+BC^2$ :

d'où $X_m=\dfrac{F_m}{\sqrt{4\pi^2h^2N^2+(k-4\pi^2N^2m)^2}}$.

3.b Idée : $X_m$ est maximale quand le radicande est minimal ; on le dérive par rapport à $u=N^2$. Posons $D(u)=4\pi^2h^2u+(k-4\pi^2mu)^2$ :

La dérivée s'annule pour $k-4\pi^2mu=\dfrac{h^2}{2m}$, soit $u=\dfrac{k}{4\pi^2m}-\dfrac{h^2}{8\pi^2m^2}$, et $\dfrac{d^2D}{du^2}=32\pi^4m^2>0$ : c'est bien un minimum de $D$, donc un maximum de $X_m$. Avec $N_0^2=\dfrac{k}{4\pi^2m}$ : $N_r^2=N_0^2-\dfrac{h^2}{8\pi^2m^2}$, et $N_r<N_0$. C'est la résonance d'élongation (ou d'amplitude).

3.c Le phénomène n'existe que si $N_r^2>0$, soit $\dfrac{h^2}{8\pi^2m^2}<\dfrac{k}{4\pi^2m}$, c'est-à-dire $h^2<2km$ : $h<h_\ell=\sqrt{2km}$. AN : $h_\ell=\sqrt{2\times20\times0{,}125}=\sqrt5\approx\boxed{2{,}24\ \text{kg·s}^{-1}}$. Ici $h\approx1{,}03\ \text{kg·s}^{-1}<h_\ell$ : la résonance d'élongation peut se produire.

3.d Idée : $v=\frac{dx}{dt}$, donc $V_m=2\pi NX_m$ ; on fait entrer $2\pi N$ sous le radical.

En divisant le numérateur et le dénominateur par $2\pi N>0$ :

Le numérateur est constant : $V_m$ est maximale quand $\frac{k}{2\pi N}=2\pi Nm$, soit $4\pi^2N^2=\frac km$, c'est-à-dire pour $N=N_0$, quel que soit $h$. Alors $\boxed{V_{m0}=\frac{F_m}{h}}$. Sur la construction de Fresnel, $k=4\pi^2N_0^2m$ donne $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\vec0$ : le vecteur associé à $h\frac{dx}{dt}$ se confond avec $\overrightarrow{OC}$, donc $v(t)$ est en phase avec $F(t)$ (et $\varphi_x=-\frac\pi2$).

4.a Idée : comparer les deux courbes aux très basses fréquences. Quand $N\to0$, $X_m\to\frac{F_m}{k}\ne0$ (allongement statique), alors que $V_m=2\pi NX_m\to0$. La courbe (b) part de $2{,}5\ \text{cm}=\frac{0{,}50}{20}\ \text{m}$ et la courbe (a) part de $0$ : (b) représente $X_m(N)$. De plus, le maximum de (b) est à gauche de celui de (a), comme $N_r<N_0$.

4.b D'après la figure 3 : maximum de (b), $\boxed{N_r\approx1{,}78\ \text{Hz}}$ ; maximum de (a), $\boxed{N_0\approx2{,}01\ \text{Hz}}$. Pour $N=N_0$, l'amplitude de la vitesse est maximale : l'oscillateur est le siège de la résonance de vitesse, analogue mécanique de la résonance d'intensité du circuit RLC série ; $v(t)$ et $F(t)$ sont en phase.

4.c Au maximum de (a), $V_{m0}=0{,}484\ \text{m·s}^{-1}$ et $V_{m0}=\frac{F_m}{h}$ : $h=\frac{0{,}50}{0{,}484}\approx\boxed{1{,}03\ \text{kg·s}^{-1}}$. De $N_r^2=N_0^2-\frac{h^2}{8\pi^2m^2}$ on tire :

avec $N_0^2-N_r^2=2{,}01^2-1{,}78^2\approx0{,}872\ \text{Hz}^2$ et $2\pi\sqrt{2\times0{,}872}\approx8{,}30$ : $m=\frac{1{,}033}{8{,}296}\approx0{,}1245\approx\boxed{0{,}125\ \text{kg}}$. Puis $k=4\pi^2N_0^2m\approx39{,}5\times4{,}04\times0{,}1245\approx\boxed{19{,}9\ \text{N·m}^{-1}}$. Aux erreurs de lecture près, on retrouve les valeurs de la question 2.b.

4.d Idée : le frottement n'intervient pas dans $X_m(0)=\frac{F_m}{k}$, mais il abaisse et décale le maximum. Aux très basses fréquences, $X_m\to\frac{F_m}{k}=2{,}5\ \text{cm}$ : même point de départ. Comme $h'<h_\ell$, la résonance d'élongation subsiste, mais $N_r'^2=N_0^2-\frac{h'^2}{8\pi^2m^2}$ diminue : le maximum se produit à plus basse fréquence ($N_r'\approx1{,}41\ \text{Hz}$). Pour toute fréquence non nulle, le terme $4\pi^2h^2N^2$ du radicande augmente, donc $X_m$ diminue : la courbe passe en dessous de (b) et son maximum est plus bas (environ $2{,}87\ \text{cm}$ d'après la relation de 3.a) ; la résonance est floue. Si le coefficient de frottement dépasse $h_\ell$, $N_r$ n'existe plus : $X_m$ décroît constamment depuis $\frac{F_m}{k}$, il n'y a plus de résonance d'élongation (la résonance de vitesse, elle, reste à $N_0$).