OM-FOscillations mécaniques

Pendule élastique libre lu sur une courbe d'énergie, puis amorti : $T_0$ , $k$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ , phase initiale, régimes et énergie perdue

Idée directrice

Pour le pendule élastique horizontal non amorti, l'énergie mécanique $E=\frac12kX_m^2=\frac12mV_m^2$ est constante ; $E_c$ et $E_p$ s'échangent en oscillant deux fois plus vite que l'élongation (période $\frac{T_0}{2}$ ). On identifie la courbe par son sens de variation au départ (le solide s'approche de $O$ : $E_c$ croît), puis on y lit $T_0$ , $E$ , les conditions initiales et la phase. Avec frottements, on classe les enregistrements par amortissement croissant et l'énergie perdue se déduit des élongations aux instants où $v=0$ : $\frac{E_1}{E_0}=\left(\frac{x_1}{x_0}\right)^2$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Établir l'expression de $T_0$ en fonction de $k$ et $m$ » ; « Préciser en le justifiant, à quelle forme d'énergie correspond la courbe » ; « Justifier que le système {(R), (S)} est conservatif » ; « Attribuer à chaque enregistrement la valeur du coefficient de frottement qui lui correspond » ; « Déterminer la valeur de la phase initiale »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Équation différentielle par le théorème du centre d'inertie ; $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ .
Identifier la courbe : le solide s'approche de $O$ → $E_c$ croît et $E_p$ décroît ; il s'en éloigne → l'inverse.
Les énergies ont pour période $\frac{T_0}{2}$ ; $E=E_{c,\max}=E_{p,\max}=\frac12kX_m^2=\frac12mV_m^2$ .
Valeur initiale de l'énergie → $|x_0|$ et $|v_0|$ ; phase : $\sin\varphi_x=\frac{x_0}{X_m}$ et signe de $\cos\varphi_x$ = signe de $v_0$ .
Amortissement : plus $h$ est grand, plus l'amplitude décroît vite ; au-delà, régime apériodique ; énergie perdue $=\frac12k(x_0^2-x_1^2)$ entre deux instants où $v=0$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire $T_0$ directement sur la courbe d'énergie (c'est $\frac{T_0}{2}$ ) ; identifier la courbe par sa seule valeur initiale ; garder la mauvaise des deux solutions de $\sin\varphi_x=\dots$ ; confondre énergie perdue et énergie restante ; oublier les mJ.

Sujet principal

Exercice 2 — oscillations mécaniques libres (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le pendule élastique horizontal étudié est constitué d'un solide $(S)$ de masse $m=160\ \text{g}$ , attaché à un ressort à spires non jointives de raideur $k$ et de masse négligeable ; $(S)$ coulisse le long d'une tige horizontale. À l'équilibre, le centre d'inertie $G$ de $(S)$ coïncide avec l'origine $O$ d'un repère $(O,\vec i)$ horizontal ; on note $x(t)$ l'élongation et $v(t)$ la vitesse de $G$ . On prendra $\pi^2=10$ .

Expérience 1 — les frottements sont négligeables. On écarte $(S)$ jusqu'au point d'abscisse $x_0<0$ et on le lance à l'instant $t=0$ avec une vitesse $v_0>0$ . La solution de l'équation du mouvement est de la forme $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ . Un dispositif approprié enregistre l'évolution au cours du temps de l'une des formes d'énergie : l'énergie cinétique $E_c$ du solide ou l'énergie potentielle élastique $E_p$ du système {solide, ressort} (figure 1).

Étude dynamique.
1. En appliquant le théorème du centre d'inertie, établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ .
2. En déduire l'expression de la période propre $T_0$ en fonction de $k$ et $m$ .
Étude énergétique.
1. Justifier que le système {solide, ressort} est conservatif.
2. Montrer que $E_c=\frac12kX_m^2-\frac12kx^2$ .
En exploitant la courbe de la figure 1 :
1. préciser, en le justifiant, à quelle forme d'énergie elle correspond ;
2. justifier que sa période vaut $\frac{T_0}{2}$ ; en déduire $T_0$ puis la raideur $k$ ;
3. relever l'énergie mécanique $E$ ; en déduire l'amplitude $X_m$ et la vitesse maximale $V_m$ ;
4. déterminer $x_0$ et $v_0$ ;
5. déterminer la phase initiale $\varphi_x$ .
Expérience 2 — on fixe à $(S)$ une palette de masse négligeable qui plonge dans un liquide visqueux : $(S)$ est soumis à une force de frottement $\vec f=-h\vec v$ . Pour trois valeurs $h_1=0{,}23\ \text{kg·s}^{-1}$ , $h_2=0{,}8\ \text{kg·s}^{-1}$ et $h_3=8\ \text{kg·s}^{-1}$ , on écarte $(S)$ jusqu'à l'abscisse $4\ \text{cm}$ et on le lâche sans vitesse initiale. On obtient les enregistrements (a), (b) et (c) de la figure 2 ci-dessous.
1. Attribuer à chaque enregistrement la valeur du coefficient de frottement qui lui correspond, et nommer le régime de chacun.
2. Pour $h_1$ , on relève $x_0'=4{,}0\ \text{cm}$ à $t=0$ et $x_1'=3{,}0\ \text{cm}$ une pseudo-période $T$ plus tard ; à ces deux instants la vitesse est nulle. Montrer que $\frac{E_1}{E_0}=\left(\frac{x_1'}{x_0'}\right)^2$ . Calculer l'énergie perdue par le système pendant cette pseudo-période et préciser sous quelle forme elle est transférée.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Système : le solide $(S)$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids $\vec P$ , la réaction $\vec R$ de la tige (verticale, pas de frottement) et la tension du ressort $\vec T=-kx\,\vec i$ . Théorème du centre d'inertie : $\vec P+\vec R+\vec T=m\vec a$ ; projection sur $(O,\vec i)$ : $-kx=m\ddot x$ , soit $\boxed{\ddot x+\frac km\,x=0}$ .

1.b Idée : reporter la solution dans l'équation. $\ddot x=-\omega_0^2x$ , donc $\omega_0^2=\frac km$ et $\boxed{T_0=2\pi\sqrt{\frac mk}}$ .

2.a Les frottements sont négligés ; $\vec P$ et $\vec R$ sont perpendiculaires au déplacement et ne travaillent pas. Seule la tension du ressort, force conservative, travaille : l'énergie mécanique $E=\frac12mv^2+\frac12kx^2$ se conserve, le système est conservatif.

2.b Aux positions extrêmes $x=\pm X_m$ et $v=0$ , donc $E=\frac12kX_m^2$ . D'où $E_c=E-\frac12kx^2=\frac12kX_m^2-\frac12kx^2$ .

3.a Idée : la valeur initiale ne suffit pas, le sens de variation au départ tranche. À $t=0$ , $x_0<0$ et $v_0>0$ : $G$ se dirige vers $O$ , $|x|$ diminue, donc $E_p=\frac12kx^2$ diminue et $E_c$ augmente. La courbe croît à partir de $t=0$ : elle représente $\boxed{E_c(t)}$ .

3.b Idée : $E_c=\frac12mV_m^2\cos^2(\omega_0t+\varphi_x)=\frac E2\left[1+\cos(2\omega_0t+2\varphi_x)\right]$ a pour pulsation $2\omega_0$ , donc pour période $\frac{T_0}{2}$ . Deux maxima successifs sont lus à $0{,}05\ \text{s}$ et $0{,}25\ \text{s}$ : $\frac{T_0}{2}=0{,}2\ \text{s}$ et $\boxed{T_0=0{,}4\ \text{s}}$ .

k=\frac{4\pi^2m}{T_0^2}=\frac{4\times10\times0{,}16}{0{,}16}

soit $\boxed{k=40\ \text{N·m}^{-1}}$ .

3.c Au passage par $O$ , $E_p=0$ : le maximum de $E_c$ est l'énergie mécanique, $E=50\ \text{mJ}$ . $X_m=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{0{,}1}{40}}$ , soit $\boxed{X_m=5{,}0\times10^{-2}\ \text{m}}$ ; $V_m=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{0{,}1}{0{,}16}}$ , soit $\boxed{V_m\approx0{,}79\ \text{m·s}^{-1}}$ (on retrouve $V_m=\omega_0X_m$ ).

3.d On lit $E_c(0)=25\ \text{mJ}$ . Donc $\frac12kx_0^2=E-E_c(0)=25\ \text{mJ}$ et $|x_0|=\sqrt{\frac{0{,}05}{40}}\approx3{,}5\times10^{-2}\ \text{m}$ ; comme $x_0<0$ : $\boxed{x_0\approx-3{,}5\ \text{cm}}$ . De $\frac12mv_0^2=25\ \text{mJ}$ : $|v_0|=\sqrt{\frac{0{,}05}{0{,}16}}\approx0{,}56\ \text{m·s}^{-1}$ ; comme $v_0>0$ : $\boxed{v_0\approx+0{,}56\ \text{m·s}^{-1}}$ .

3.e Idée : le sinus donne deux angles, le signe de $v_0$ choisit. $x(0)=X_m\sin\varphi_x=x_0$ , d'où $\sin\varphi_x=-\frac{\sqrt2}{2}$ : $\varphi_x=-\frac{\pi}{4}$ ou $-\frac{3\pi}{4}$ . Or $v(0)=X_m\omega_0\cos\varphi_x>0$ impose $\cos\varphi_x>0$ : $\boxed{\varphi_x=-\frac{\pi}{4}\ \text{rad}}$ .

4.a Idée : plus $h$ est grand, plus l'amortissement est fort. L'enregistrement (c), dont l'amplitude décroît lentement, correspond à $h_1$ ; (a), dont les oscillations s'éteignent en quelques pseudo-périodes, à $h_2$ ; (b), qui revient à l'équilibre sans osciller, à $h_3$ . Régimes : (a) et (c) pseudo-périodiques, (b) apériodique.

4.b À ces deux instants $v=0$ , donc $E=\frac12kx^2$ : $E_0=\frac12kx_0'^2$ et $E_1=\frac12kx_1'^2$ , d'où $\frac{E_1}{E_0}=\left(\frac{x_1'}{x_0'}\right)^2$ . $E_0=\frac12\times40\times0{,}04^2=32\ \text{mJ}$ et $E_1=\frac12\times40\times0{,}03^2=18\ \text{mJ}$ : l'énergie perdue vaut $\boxed{14\ \text{mJ}}$ . Elle est transférée au liquide et à la palette sous forme de chaleur (énergie thermique), par le travail des frottements.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : courbes $E_c(t)$ et $E_p(t)$ superposées, puis trois valeurs de $h$ (contrôle 2023, Sciences expérimentales) ; $E_c=f(x^2)$ et $E_c(t)$ (contrôle 2024, Sciences expérimentales) ; courbe d'énergie et mesureur de vitesse en $O$ (contrôle 2025, Mathématiques) ; $E_c=f(x)$ et $E_c=f(v)$ (principale 2026, Mathématiques) ; $E_{pe}(t)$ (principale 2017, Mathématiques) ; trois valeurs de $h$ et régimes (principale 2019, Sciences expérimentales).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OM-F.1 — phase initiale par le signe de

v_0

et date du

n

-ième passage par

O

Entraînement 01 / 04

Drill OM-F.1 — phase initiale par le signe de $v_0$ et date du $n$ -ième passage par $O$

3 questionsCorrigé masqué

Un oscillateur élastique non amorti a pour élongation $x(t)=X_m\sin\left(\omega_0t+\varphi_x\right)$ avec $X_m=3\ \text{cm}$ et $\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}$ . À $t=0$ , le solide passe par l'abscisse $x_0=-1{,}5\ \text{cm}$ en se déplaçant dans le sens positif.

Déterminer $\varphi_x$ .
Déterminer la date $t_1$ du premier passage du solide par $O$ , puis le sens de son mouvement à cet instant.
Montrer que la date du $n$ -ième passage par $O$ est $t_n=\dfrac{\frac{\pi}{6}+(n-1)\pi}{10}$ et calculer $t_3$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\sin\varphi_x=\frac{x_0}{X_m}=-\frac12$ et $v_0=X_m\omega_0\cos\varphi_x>0$ donc $\cos\varphi_x>0$ : $\varphi_x=-\frac{\pi}{6}\ \text{rad}$ .

2. $x=0\iff10t-\frac{\pi}{6}=k\pi$ ; le premier instant positif est $t_1=\frac{\pi}{60}\approx0{,}052\ \text{s}$ . Le solide, parti de $x_0<0$ dans le sens positif, traverse $O$ dans le sens positif.

3. Les passages par $O$ correspondent à $10t-\frac{\pi}{6}=(n-1)\pi$ , $n\ge1$ , d'où $t_n=\frac{\frac{\pi}{6}+(n-1)\pi}{10}$ . $t_3=\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi}{10}=\frac{13\pi}{60}\approx\boxed{0{,}68\ \text{s}}$ .

2 Drill OM-F.2 —

E_c

en fonction de

x

et de

v

: identifier les courbes, en tirer

k

m

N_0

\varphi_x

Entraînement 02 / 04

Drill OM-F.2 — $E_c$ en fonction de $x$ et de $v$ : identifier les courbes, en tirer $k$ , $m$ , $N_0$ et $\varphi_x$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un pendule élastique horizontal non amorti est formé d'un solide de masse $m$ et d'un ressort de raideur $k$ . L'élongation de son centre d'inertie $G$ est $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ et sa vitesse $v(t)$ ; $X_m$ et $V_m$ désignent leurs valeurs maximales. Un système d'acquisition trace l'énergie cinétique $E_c$ du solide en fonction de $x$ et en fonction de $v$ : ce sont les courbes (I) et (II) de la figure, tracées sur le même axe horizontal avec deux échelles.

Exprimer $E_c$ en fonction de $x$ (avec $k$ et $X_m$ ), puis en fonction de $v$ . En déduire, en le justifiant, la courbe qui traduit $E_c=f(x)$ .
Relever, en le justifiant, $X_m$ , $V_m$ et l'énergie mécanique $E$ .
En déduire $k$ , $m$ et la fréquence propre $N_0$ .
À $t=0$ , $E_c=20\ \text{mJ}$ ; $G$ se trouve du côté des $x$ positifs et se dirige vers $O$ . Déterminer $x_0$ et $v_0$ , puis $\varphi_x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. L'énergie mécanique se conserve et vaut $\frac12kX_m^2$ : $E_c=\frac12kX_m^2-\frac12kx^2$ , parabole tournée vers le bas, maximale en $x=0$ et nulle en $x=\pm X_m$ : c'est la courbe (I). $E_c=\frac12mv^2$ est une parabole tournée vers le haut, nulle en $v=0$ : c'est la courbe (II).

2. Idée : chaque courbe donne une valeur maximale. $E_c$ s'annule aux positions extrêmes : (I) coupe l'axe en $\pm4$ , donc $\boxed{X_m=4{,}0\times10^{-2}\ \text{m}}$ . Le maximum de (I), atteint en $O$ , est $\boxed{E=40\ \text{mJ}}$ . Sur (II), $E_c=E$ pour $v=\pm4\times10^{-1}\ \text{m·s}^{-1}$ : $\boxed{V_m=0{,}40\ \text{m·s}^{-1}}$ .

3. $k=\frac{2E}{X_m^2}=\frac{0{,}08}{16\times10^{-4}}=\boxed{50\ \text{N·m}^{-1}}$ ; $m=\frac{2E}{V_m^2}=\frac{0{,}08}{0{,}16}=\boxed{0{,}50\ \text{kg}}$ . $\omega_0=\sqrt{\frac km}=10\ \text{rad·s}^{-1}$ et $N_0=\frac{\omega_0}{2\pi}\approx\boxed{1{,}6\ \text{Hz}}$ (on vérifie $V_m=\omega_0X_m$ ).

4. $\frac12kx_0^2=E-E_c(0)=20\ \text{mJ}$ , d'où $|x_0|=\sqrt{\frac{0{,}04}{50}}\approx2{,}8\times10^{-2}\ \text{m}$ ; $G$ est du côté positif : $x_0\approx+2{,}8\ \text{cm}$ . $|v_0|=\sqrt{\frac{0{,}04}{0{,}5}}\approx0{,}28\ \text{m·s}^{-1}$ ; $G$ va de $x>0$ vers $O$ : $v_0\approx-0{,}28\ \text{m·s}^{-1}$ . Idée : le sinus donne deux angles, le signe de $v_0$ choisit. $\sin\varphi_x=\frac{x_0}{X_m}=\frac{\sqrt2}{2}$ et $\cos\varphi_x$ a le signe de $v_0$ , négatif : $\boxed{\varphi_x=\frac{3\pi}{4}\ \text{rad}}$ .

3 Drill OM-F.3 — courbe

E_{pe}(t)

: l'identifier, l'exprimer, en tirer

m

X_m

x_0

v_0

\varphi_x

Entraînement 03 / 04

Drill OM-F.3 — courbe $E_{pe}(t)$ : l'identifier, l'exprimer, en tirer $m$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ et $\varphi_x$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide de masse $m$ est attaché à un ressort horizontal de raideur $k=20\ \text{N·m}^{-1}$ ; les frottements sont négligeables et l'élongation de son centre d'inertie $G$ est $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ . À $t=0$ , $G$ est en $x_0>0$ et se dirige vers la position d'équilibre $O$ . La figure donne l'évolution au cours du temps d'une forme d'énergie : l'énergie cinétique $E_c$ du solide ou l'énergie potentielle élastique $E_{pe}$ du système {solide, ressort}. On prendra $\pi^2=10$ .

Justifier qu'il s'agit de $E_{pe}(t)$ .
Montrer que $E_{pe}(t)=\frac14kX_m^2\left[1-\cos(2\omega_0t+2\varphi_x)\right]$ ; en déduire la période de $E_{pe}$ .
En exploitant la courbe, déterminer $\omega_0$ , la masse $m$ et l'amplitude $X_m$ .
Déterminer $x_0$ et $v_0$ , puis la phase initiale $\varphi_x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $G$ part de $x_0>0$ vers $O$ : $|x|$ diminue, donc $E_{pe}=\frac12kx^2$ décroît au départ, tandis que $E_c$ croîtrait. La courbe décroît à partir de $t=0$ : c'est $E_{pe}(t)$ .

2. $E_{pe}=\frac12kX_m^2\sin^2(\omega_0t+\varphi_x)$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}$ , d'où l'expression demandée. Sa pulsation est $2\omega_0$ : sa période est $\frac{T_0}{2}$ .

3. Deux maxima successifs sont séparés de $0{,}2\ \text{s}$ (vers $0{,}167\ \text{s}$ et $0{,}367\ \text{s}$ ) : $\frac{T_0}{2}=0{,}2\ \text{s}$ , $T_0=0{,}4\ \text{s}$ et $\boxed{\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=5\pi\approx15{,}8\ \text{rad·s}^{-1}}$ . $m=\frac{k}{\omega_0^2}=\frac{20}{250}=\boxed{0{,}08\ \text{kg}}$ . Le maximum $E_{pe,\max}=E=36\ \text{mJ}=\frac12kX_m^2$ donne $X_m=\sqrt{\frac{0{,}072}{20}}=\boxed{6{,}0\times10^{-2}\ \text{m}}$ .

4. $E_{pe}(0)=27\ \text{mJ}$ : $x_0=\sqrt{\frac{0{,}054}{20}}\approx\boxed{5{,}2\times10^{-2}\ \text{m}}$ ( $x_0>0$ ). $E_c(0)=E-E_{pe}(0)=9\ \text{mJ}$ : $|v_0|=\sqrt{\frac{0{,}018}{0{,}08}}\approx0{,}47\ \text{m·s}^{-1}$ et, $G$ allant vers $O$ depuis $x>0$ , $\boxed{v_0\approx-0{,}47\ \text{m·s}^{-1}}$ . Idée : le signe de $v_0$ choisit entre les deux solutions. $\sin\varphi_x=\frac{x_0}{X_m}=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\cos\varphi_x<0$ : $\boxed{\varphi_x=\frac{2\pi}{3}\ \text{rad}}$ .

4 Drill OM-F.4 — courbe d'énergie et mesureur de vitesse en

O

m

d'abord, puis

k

X_m

x_0

v_0

\varphi_x

Entraînement 04 / 04

Drill OM-F.4 — courbe d'énergie et mesureur de vitesse en $O$ : $m$ d'abord, puis $k$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ et $\varphi_x$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide $(S)$ de masse $m$ inconnue, attaché à un ressort horizontal de raideur $k$ inconnue, oscille sans frottement ; l'élongation de son centre d'inertie $G$ est $x(t)=X_m\sin(\omega_0t+\varphi_x)$ . À $t=0$ , $G$ passe par un point d'abscisse $x_0<0$ en s'éloignant de la position d'équilibre $O$ . Un mesureur de vitesse placé en $O$ affiche $0{,}5\ \text{m·s}^{-1}$ . La figure donne l'évolution au cours du temps de l'une des formes d'énergie : cinétique du solide ou potentielle élastique du système {solide, ressort}. On prendra $\pi^2=10$ .

Préciser, en le justifiant, à quelle forme d'énergie correspond la courbe.
Que représente l'indication du mesureur de vitesse ? En déduire la masse $m$ .
Déterminer la période propre $T_0$ , puis la raideur $k$ et l'amplitude $X_m$ .
Déterminer $x_0$ et $v_0$ , puis la phase initiale $\varphi_x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $G$ s'éloigne de $O$ : sa vitesse diminue, donc $E_c$ décroît au départ tandis que $E_p$ croîtrait. La courbe décroît à partir de $t=0$ : c'est l'énergie cinétique $E_c(t)$ .

2. Idée : en $O$ , $E_p=0$ et toute l'énergie est cinétique. Le mesureur donne la vitesse maximale $V_m=0{,}5\ \text{m·s}^{-1}$ , atteinte quand $E_c=E=40\ \text{mJ}$ (maximum de la courbe). $m=\frac{2E}{V_m^2}=\frac{0{,}08}{0{,}25}=\boxed{0{,}32\ \text{kg}}$ .

3. Deux maxima successifs de $E_c$ (vers $0{,}267\ \text{s}$ et $0{,}667\ \text{s}$ ) sont séparés de $\frac{T_0}{2}=0{,}4\ \text{s}$ : $\boxed{T_0=0{,}8\ \text{s}}$ . $k=\frac{4\pi^2m}{T_0^2}=\frac{40\times0{,}32}{0{,}64}=\boxed{20\ \text{N·m}^{-1}}$ et $X_m=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{0{,}08}{20}}\approx\boxed{6{,}3\times10^{-2}\ \text{m}}$ .

4. $E_c(0)=10\ \text{mJ}$ : $|v_0|=\sqrt{\frac{0{,}02}{0{,}32}}=0{,}25\ \text{m·s}^{-1}$ ; parti de $x_0<0$ en s'éloignant de $O$ , $G$ se déplace dans le sens négatif : $\boxed{v_0=-0{,}25\ \text{m·s}^{-1}}$ . $\frac12kx_0^2=E-E_c(0)=30\ \text{mJ}$ : $x_0=-\sqrt{\frac{0{,}06}{20}}\approx\boxed{-5{,}5\times10^{-2}\ \text{m}}$ . Idée : le sinus donne deux angles, le signe de $v_0$ choisit. $\sin\varphi_x=\frac{x_0}{X_m}=-\frac{\sqrt3}{2}$ et $\cos\varphi_x<0$ : $\boxed{\varphi_x=-\frac{2\pi}{3}\ \text{rad}}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Pendule élastique libre lu sur une courbe d'énergie, puis amorti : $T_0$ , $k$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ , phase initiale, régimes et énergie perdue

Exercice 2 — oscillations mécaniques libres (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OM-F.1 — phase initiale par le signe de $v_0$ et date du $n$ -ième passage par $O$

Drill OM-F.2 — $E_c$ en fonction de $x$ et de $v$ : identifier les courbes, en tirer $k$ , $m$ , $N_0$ et $\varphi_x$

Drill OM-F.3 — courbe $E_{pe}(t)$ : l'identifier, l'exprimer, en tirer $m$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ et $\varphi_x$

Drill OM-F.4 — courbe d'énergie et mesureur de vitesse en $O$ : $m$ d'abord, puis $k$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ et $\varphi_x$

Relier ce raisonnement au bac

Pendule élastique libre lu sur une courbe d'énergie, puis amorti : T0T_0T0​, kkk, XmX_mXm​, x0x_0x0​, v0v_0v0​, phase initiale, régimes et énergie perdue

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Pendule élastique libre lu sur une courbe d'énergie, puis amorti : $T_0$ , $k$ , $X_m$ , $x_0$ , $v_0$ , phase initiale, régimes et énergie perdue