RC-CDipôle RC

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer $\tau$ et déterminer $C$ ou $R$

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est d'utiliser un oscillogramme de la réponse à un échelon de tension (charge) pour lire graphiquement $\tau$ — soit par la tangente à l'origine, soit par la valeur à $0{,}63\,E$ — puis d'en déduire la capacité $C$ ou la résistance $R$ inconnue, et de discuter qualitativement l'influence de chaque paramètre sur la forme de la courbe.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ » ; « En déduire la valeur de $C$ » ; « Vérifier la concordance des deux méthodes » ; « Décrire l'influence d'une augmentation de $R$ sur la charge »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Deux méthodes graphiques pour lire $\tau$ : (1) tangente en $t=0$ jusqu'à l'asymptote ( $t=\tau$ ) ; (2) lire l'abscisse pour $u_C = 0{,}63\,E$ . Utiliser les deux pour vérification.
L'asymptote vaut toujours $E$ (la tension du générateur), indépendamment de $R$ et de $C$ .
Pour déterminer $C$ ou $R$ : $C = \tau/R$ ou $R = \tau/C$ . Vérifier les unités ( $\Omega\cdot\text{F} = \text{s}$ ).
En $t = 5\tau$ , le condensateur est chargé à $99{,}3\,\%$ : c'est le critère pratique de charge complète.
Résistances en série pour calculer $\tau$ : $\tau = (R_1 + R_2 + \ldots)\,C$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Piège classique : lire $t$ sur l'oscillogramme sans tenir compte de l'échelle de la division (ex. $1\,\text{div} = 1\,\text{ms}$ ou $2\,\text{ms}$ ). Toujours convertir la lecture en unités SI avant de calculer. Autre piège : confondre $\tau$ (temps caractéristique) avec le temps de charge «complète» — le condensateur n'est jamais chargé à $100\,\%$ en temps fini, on parle conventionnellement de $5\tau$ .

Sujet principal

Exercice — charge RC et lecture d'oscillogramme

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On étudie la charge d'un condensateur $C$ inconnu à travers une résistance $R = 2{,}0\,\text{k}\Omega$ alimentée par un générateur de tension continue $E = 8{,}0\,\text{V}$ . Un oscilloscope, connecté aux bornes du condensateur, fournit la courbe $u_C(t)$ ci-dessous (échelles : $1\,\text{div} = 1{,}0\,\text{ms}$ en temps, $1\,\text{div} = 2{,}0\,\text{V}$ en tension).

La figure montre la courbe expérimentale, l'asymptote $u_C = E$ , la tangente à l'origine et une construction à $63\,\%$ de $E$ . Les lectures de temps se font sur l'axe des abscisses de la figure.

Rappeler l'expression de $u_C(t)$ lors d'une charge depuis $u_C(0) = 0$ , et donner l'expression de $\tau$ .
1. Écrire $u_C(t)$ en fonction de $E$ , $t$ et $\tau$ .
2. Exprimer $\tau$ en fonction de $R$ et $C$ .
Méthode 1 — tangente à l'origine. Sur la figure, lire l'abscisse $t_1$ où la tangente à l'origine coupe l'asymptote $u_C = E$ .
1. Montrer que ce point d'intersection définit $\tau$ (donc $t_1 = \tau$ ).
2. En déduire la valeur de $C$ .
Méthode 2 — valeur à $63\,\%$ . On sait que $u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$ .
1. Calculer $0{,}63\,E$ numériquement, puis lire sur la figure l'abscisse $t^*$ où $u_C$ atteint cette valeur. En déduire $\tau$ .
2. Les deux méthodes concordent-elles ?
On remplace $C$ par un condensateur de capacité $C' = 2C$ , toutes choses égales par ailleurs. Décrire qualitativement les modifications observées sur l'oscillogramme (allure, asymptote, vitesse de charge).
On revient au condensateur $C$ initial et on ajoute une résistance $r = 500\,\Omega$ en série avec $R$ . Calculer la nouvelle constante de temps $\tau'$ et la comparer à $\tau$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.(a) Idée : solution de l'équation différentielle de charge avec $u_C(0)=0$ .

u_C(t) = E\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

1.(b) $\tau = RC$ .

2.(a) Idée : la pente de la tangente en $t=0$ vaut $E/\tau$ , donc la droite tangente est $u = (E/\tau)\,t$ . Elle atteint $E$ quand $t = \tau$ .
La figure montre la tangente en $t=0$ coupant l'asymptote $u_C = 8{,}0\,\text{V}$ en $t_1 = 4{,}0\,\text{ms}$ . Or cette intersection est en $t=\tau$ . Donc $t_1 = \tau$ .

2.(b) $\tau = t_1 = 4{,}0\,\text{ms}$ (lecture de la figure).

C = \frac{\tau}{R} = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{3}} = \boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}

3.(a) $0{,}63\times E = 0{,}63\times8{,}0 = 5{,}04\,\text{V} \approx 5{,}0\,\text{V}$ . Sur la figure, la construction $63\,\%$ place le point $u_C \approx 5{,}0\,\text{V}$ à $t^* = 4{,}0\,\text{ms}$ , ce qui confirme $\tau = 4{,}0\,\text{ms}$ .

3.(b) Les deux méthodes (tangente à l'origine et construction $63\,\%$ ), toutes deux lues sur la même figure, donnent $\tau = 4{,}0\,\text{ms}$ : elles concordent.

4. Idée : $\tau' = RC' = 2RC = 2\tau$ , donc la charge est deux fois plus lente. L'asymptote reste $u_C = E = 8{,}0\,\text{V}$ (elle ne dépend pas de $C$ ) ; la courbe monte moins vite ; au bout d'un temps $5\tau$ , le condensateur est pratiquement chargé.

5. Idée : les résistances en série s'additionnent.

\tau' = (R + r)\,C = (2{,}0\times10^3 + 500)\times2{,}0\times10^{-6} = \boxed{5{,}0\,\text{ms}}

$\tau' > \tau$ : la charge est plus lente.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : l'oscilloscope est connecté aux bornes de $R$ plutôt que de $C$ (la courbe est alors décroissante, $u_R(t) = E\,e^{-t/\tau}$ , et la méthode de lecture est la même) ; on donne la fréquence d'un signal créneau et on demande de vérifier que la demi-période est grande devant $\tau$ pour que la charge soit complète ; on demande de calculer $C$ connaissant $R$ et la valeur de $u_C$ à un instant $t_0$ donné.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RC-C.1 — identifier

u_C

u_R

Entraînement 01 / 04

Drill RC-C.1 — identifier $u_C$ et $u_R$

3 questionsCorrigé masqué

Un dipôle RC série, alimenté par un échelon $E=6{,}0\,\text{V}$ , comporte $R=2{,}0\,\text{k}\Omega$ et un condensateur initialement déchargé. Deux chronogrammes sont relevés : la courbe A part de $0\,\text{V}$ et tend vers $6{,}0\,\text{V}$ ; la courbe B part de $6{,}0\,\text{V}$ et tend vers $0\,\text{V}$ . À $t=4{,}0\,\text{ms}$ , A vaut $3{,}79\,\text{V}$ et B vaut $2{,}21\,\text{V}$ .

Identifier $u_C(t)$ et $u_R(t)$ parmi A et B en utilisant les états initial et permanent.
Montrer que l'instant fourni est la constante de temps.
En déduire la capacité $C$ et vérifier la loi des mailles à cet instant.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Identification. Initialement déchargé, le condensateur impose $u_C(0)=0$ ; en régime permanent il se comporte comme un interrupteur ouvert et $u_C\to E$ . Donc A représente $u_C$ . La tension $u_R=E-u_C$ part de $E$ et tend vers zéro : B représente $u_R$ .

2. Lecture caractéristique. Pour la charge, $u_C(\tau)=E(1-e^{-1})=0{,}632E=3{,}79\,\text{V}$ et $u_R(\tau)=Ee^{-1}=2{,}21\,\text{V}$ . L'instant $4{,}0\,\text{ms}$ est donc $\tau$ .

3. Application numérique. $C=\tau/R=4{,}0\times10^{-3}/(2{,}0\times10^3)=\boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}$ . À cet instant, $u_C+u_R=3{,}79+2{,}21=6{,}00\,\text{V}=E$ : la loi des mailles est vérifiée.

2 Drill RC-C.2 — confronter deux mesures de

\tau

Entraînement 02 / 04

Drill RC-C.2 — confronter deux mesures de $\tau$

3 questionsCorrigé masqué

Lors de la charge d'un condensateur à travers $R=1{,}50\,\text{k}\Omega$ , deux lectures indépendantes du même chronogramme donnent $\tau_{\mathrm{tan}}=2{,}9\,\text{ms}$ par la tangente à l'origine et $\tau_{63}=3{,}1\,\text{ms}$ au niveau $0{,}63E$ . On adopte la moyenne comme estimation de $\tau$ .

Calculer l'estimation retenue de $\tau$ , puis la capacité $C$ .
Calculer l'écart relatif entre les deux lectures, rapporté à leur moyenne.
Dire si les mesures sont compatibles avec une tolérance expérimentale de $10\,\%$ et préciser ce que changerait un doublement de $R$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Estimation. La moyenne vaut $\tau=(2{,}9+3{,}1)/2=\boxed{3{,}0\,\text{ms}}$ . La constante de temps vérifie $\tau=RC$ , donc $C=3{,}0\times10^{-3}/(1{,}50\times10^3)=\boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}$ .

2. Dispersion. L'écart relatif est $|3{,}1-2{,}9|/3{,}0=0{,}0667$ , soit $\boxed{6{,}7\,\%}$ .

3. Interprétation. Comme $6{,}7\,\%<10\,\%$ , les deux méthodes sont compatibles dans la tolérance annoncée. Si $R$ double à capacité inchangée, $\tau=RC$ double : les deux constructions doivent alors donner environ $6{,}0\,\text{ms}$ , tandis que l'asymptote $E$ reste inchangée.

3 Drill RC-C.3 — GBF en créneaux : lire

E

\tau

T

, justifier que le condensateur atteint sa charge maximale

Entraînement 03 / 04

Drill RC-C.3 — GBF en créneaux : lire $E$ , $\tau$ et $T$ , justifier que le condensateur atteint sa charge maximale

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un générateur basse fréquence (GBF) à masse flottante délivre une tension $u_G$ en créneaux de période $T$ : $u_G=E$ pendant la première moitié de chaque période et $u_G=0$ pendant la seconde moitié. Il est branché en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=400\ \Omega$ et un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé : la borne positive du GBF est reliée au point $A$ , le conducteur ohmique est placé entre $A$ et $B$ , le condensateur entre $B$ et $M$ , et le point $M$ est relié à l'autre borne du GBF ainsi qu'à la masse de l'oscilloscope. La voie $Y_1$ visualise $u_{AM}$ , la voie $Y_2$ visualise $u_{BM}$ . On met le GBF en marche à la date $t=0$ , au début d'une demi-période où $u_G=E$ .

Réglages de l'oscilloscope : sensibilité verticale $1\ \text{V/div}$ sur les deux voies, balayage horizontal $2\ \text{ms/div}$ ; les deux voies ont la même ligne de référence, repérée 0 sur la figure.

On admet que, pendant la première demi-période ( $0\le t<\frac T2$ ), $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$ .

Identifier, en le justifiant, la courbe qui représente $u_G(t)$ et celle qui représente $u_C(t)$ .
Charge du condensateur.
1. Vérifier que $u_C(\tau)\approx0{,}63\,E$ .
2. En exploitant l'oscillogramme, déterminer $E$ puis la constante de temps $\tau$ . En déduire la valeur de $C$ .
Réglage de la période.
1. Déterminer la période $T$ du créneau et la fréquence $N$ du GBF.
2. Comparer $T$ à $\tau$ . On admet que la charge est pratiquement terminée au bout d'une durée $5\tau$ : justifier que ce réglage du GBF laisse au condensateur le temps d'atteindre sa charge maximale.
Pendant la seconde moitié de la période, $u_G=0$ .
1. Justifier que le condensateur se décharge alors à travers le conducteur ohmique.
2. On admet que, pour $\frac T2\le t<T$ , $u_C(t)=u_C\!\left(\frac T2\right)e^{-(t-T/2)/\tau}$ . Calculer $u_C$ à la date $\frac T2+\tau$ et vérifier le résultat sur l'oscillogramme.
3. Que vaut pratiquement $u_C$ à la date $T$ ? En déduire que l'oscillogramme se reproduit à l'identique d'une période à l'autre.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un créneau passe brusquement d'un niveau constant à l'autre, alors que la tension aux bornes d'un condensateur varie sans discontinuité. La courbe (1) saute de 0 à un niveau constant, s'y maintient, puis revient brusquement à 0 : c'est la tension en créneaux $u_G=u_{AM}$ (voie $Y_1$ ). La courbe (2) varie continûment, croît puis décroît : c'est $u_C=u_{BM}$ (voie $Y_2$ ).

2.a Pour $t=\tau$ : $u_C(\tau)=E\left(1-e^{-1}\right)=0{,}632\,E\approx0{,}63\,E$ .

2.b Idée : le niveau haut du créneau donne $E$ ; $\tau$ est la date à laquelle $u_C$ atteint $0{,}63\,E$ . D'après l'oscillogramme, le niveau haut de la courbe (1) est à 6 divisions du repère 0 : $E=6\times1=\boxed{6{,}0\ \text{V}}$ . Le niveau $0{,}63\,E\approx3{,}8\ \text{V}$ correspond à 3,8 divisions ; la courbe (2) l'atteint à 1 division de l'origine, d'où $\tau=1\times2=\boxed{2{,}0\ \text{ms}}$ . Comme $\tau=RC$ :

C=\frac{\tau}{R}=\frac{2{,}0\times10^{-3}}{400}=\boxed{5{,}0\ \mu\text{F}}

3.a Le front descendant de la courbe (1) se trouve à 5 divisions : $\frac T2=5\times2=10\ \text{ms}$ (le front montant suivant est bien à 10 divisions). La période est le double de cette durée : $T=\boxed{20\ \text{ms}}$ , et la fréquence du GBF vaut $N=\frac1T=\boxed{50\ \text{Hz}}$ .

3.b Idée : la charge ne dure qu'une demi-période ; elle est complète si $\frac T2\ge5\tau$ . $\frac T\tau=\frac{20}{2{,}0}=10$ , soit $T=10\,\tau$ : la phase de charge dure $\frac T2=5\tau$ , durée au bout de laquelle $u_C=E\left(1-e^{-5}\right)\approx0{,}993\,E$ . Le condensateur a donc le temps d'atteindre pratiquement sa charge maximale $Q_0=CE$ avant que le GBF ne repasse à 0 : sur l'oscillogramme, la courbe (2) se confond pratiquement avec le niveau haut de la courbe (1) juste avant 5 divisions.

4.a Idée : loi des mailles avec $u_G=0$ . En orientant le courant de $A$ vers $B$ : $u_R+u_C=u_G=0$ , d'où $i=-\frac{u_C}{R}<0$ . Le courant circule en sens inverse de celui de la charge : le condensateur se décharge à travers le conducteur ohmique et $u_C$ décroît vers 0.

4.b La charge étant complète, $u_C\!\left(\frac T2\right)\approx E=6{,}0\ \text{V}$ , donc :

u_C\!\left(\tfrac T2+\tau\right)\approx E\,e^{-1}\approx\boxed{2{,}2\ \text{V}}

Graphiquement, à la date $\frac T2+\tau=12\ \text{ms}$ , soit 6 divisions, la courbe (2) est à 2,2 divisions du repère 0, c'est-à-dire $2{,}2\ \text{V}$ : la lecture confirme le calcul.

4.c La date $T$ se situe $5\tau$ après le début de la décharge : $u_C(T)\approx E\,e^{-5}\approx0{,}04\ \text{V}$ , pratiquement nul. Le condensateur est pratiquement déchargé quand le créneau suivant commence ; chaque période repart des conditions de $t=0$ ( $u_C\approx0$ ), de sorte que la charge et la décharge se répètent à l'identique.

4 Drill RC-C.4 — GBF en créneaux : charge incomplète, réglages à modifier et valeurs limites de

N

et de

R

Entraînement 04 / 04

Drill RC-C.4 — GBF en créneaux : charge incomplète, réglages à modifier et valeurs limites de $N$ et de $R$

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Pour mesurer la capacité $C$ d'un condensateur, on le monte en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=2{,}5\ \text{k}\Omega$ , un interrupteur $K$ et un GBF qui délivre une tension en créneaux : $E=8{,}0\ \text{V}$ pendant une demi-période et $0$ pendant l'autre. La fréquence du GBF est réglée à une valeur $N_1$ . Le condensateur étant initialement déchargé, on ferme $K$ ; un oscilloscope à mémoire enregistre la tension $u_C$ aux bornes du condensateur pendant la première période. L'origine des dates est l'instant où commence la charge.

Réglages de l'oscilloscope : sensibilité verticale $2\ \text{V/div}$ , sensibilité horizontale $2\ \text{ms/div}$ . La droite $(\Delta)$ est la tangente à la courbe à l'origine des dates.

Phase de charge.
1. Laquelle des parties (1) et (2) de la courbe correspond à la charge du condensateur ? Justifier.
2. Montrer qu'à la fin de la phase de charge, le condensateur n'a pas atteint sa charge maximale.
Exploitation de l'oscillogramme.
1. Déterminer la fréquence $N_1$ du GBF.
2. Déterminer la constante de temps $\tau$ du dipôle $RC$ à l'aide de la tangente $(\Delta)$ . En déduire $C$ .
3. Calculer $u_C$ à la fin de la charge avec les valeurs trouvées et comparer à la lecture faite en 1.b.
Pour que le condensateur atteigne sa charge maximale, on envisage de modifier un seul réglage à la fois : diminuer $E$ ; diminuer la fréquence $N$ du GBF ; diminuer la résistance $R$ ; diminuer la sensibilité horizontale de l'oscilloscope. On admet que la charge maximale est atteinte au bout d'une durée $\theta=5\tau$ .
1. Montrer que deux de ces modifications sont sans effet et indiquer les deux qui conviennent.
2. Pour chacune des deux modifications qui conviennent, calculer la valeur limite de la grandeur modifiée, les autres réglages restant inchangés.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : pendant la charge, le GBF impose $E$ et $u_C$ croît. La partie (1), croissante, correspond à la charge ( $u_G=E$ ) ; la partie (2), décroissante, correspond à la décharge dans le conducteur ohmique lorsque le GBF délivre 0.

1.b D'après l'oscillogramme, à la fin de la partie (1) la courbe est à environ 3,5 divisions du repère 0, soit $u_C\approx3{,}5\times2=7\ \text{V}$ , inférieur à $E=8{,}0\ \text{V}$ , et elle n'a pas atteint de palier horizontal. La charge $q=Cu_C$ reste inférieure à la charge maximale $CE$ : le condensateur n'est pas complètement chargé.

2.a La partie (1) s'étend sur 5 divisions : $\frac{T_1}2=5\times2=10\ \text{ms}$ , d'où $T_1=20\ \text{ms}$ et $N_1=\frac1{T_1}=\boxed{50\ \text{Hz}}$ .

2.b Idée : la tangente à l'origine, d'équation $u=\frac E\tau\,t$ , coupe la droite $u=E$ à la date $\tau$ . L'asymptote à utiliser est la droite $u=E$ , pas le maximum atteint en fin de charge, puisque la charge est incomplète. La droite $u=E=8{,}0\ \text{V}$ est à $\frac{8{,}0}{2}=4$ divisions au-dessus du repère 0 ; graphiquement, $(\Delta)$ la coupe à 2,5 divisions de l'origine : $\tau=2{,}5\times2=\boxed{5{,}0\ \text{ms}}$ . Comme $\tau=RC$ :

C=\frac{\tau}{R}=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{2{,}5\times10^{3}}=\boxed{2{,}0\ \mu\text{F}}

2.c La charge dure $\frac{T_1}2=10\ \text{ms}=2\tau$ :

u_C=8{,}0\left(1-e^{-2}\right)\approx6{,}9\ \text{V}

Cette valeur s'accorde avec la lecture de 1.b (environ 3,5 divisions, soit 7 V) : une demi-période de $2\tau$ ne laisse atteindre que $86\,\%$ de $E$ , alors qu'une charge pratiquement complète demande $5\tau$ .

3.a Idée : seul compte le rapport entre la durée de la charge, $\frac1{2N}$ , et la constante de temps $\tau=RC$ .

Diminuer $E$ est sans effet : $\frac{u_C}{E}=1-e^{-t/\tau}$ ne dépend pas de $E$ , le condensateur atteindrait la même fraction ( $86\,\%$ ) de sa charge maximale à la fin de la demi-période.
Diminuer la sensibilité horizontale est sans effet : ce réglage ne change que l'étalement de la courbe sur l'écran, pas le circuit.
Diminuer $N$ convient : la demi-période $\frac1{2N}$ s'allonge.
Diminuer $R$ convient : $\tau=RC$ diminue, donc la durée $5\tau$ nécessaire à la charge aussi.

3.b Idée : la charge est complète si la demi-période dure au moins $5\tau$ , soit $\frac1{2N}\ge5RC$ . En ne modifiant que $N$ ( $\tau=5{,}0\ \text{ms}$ inchangée) :

N\le\frac{1}{10\,\tau}=\frac{1}{10\times5{,}0\times10^{-3}}

N_{\max}=\boxed{20\ \text{Hz}}

En ne modifiant que $R$ ( $N_1=50\ \text{Hz}$ et $C=2{,}0\ \mu\text{F}$ inchangés) :

R\le\frac{1}{10\,N_1C}=\frac{1}{10\times50\times2{,}0\times10^{-6}}

R_{\max}=\boxed{1{,}0\ \text{k}\Omega}

Avec $R=R_{\max}$ , la constante de temps devient $\tau'=R_{\max}C=2{,}0\ \text{ms}$ et $5\tau'=10\ \text{ms}$ égale exactement la demi-période ; avec $N=N_{\max}$ , la demi-période passe à $25\ \text{ms}=5\tau$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer $\tau$ et déterminer $C$ ou $R$

Exercice — charge RC et lecture d'oscillogramme

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RC-C.1 — identifier $u_C$ et $u_R$

Drill RC-C.2 — confronter deux mesures de $\tau$

Drill RC-C.3 — GBF en créneaux : lire $E$ , $\tau$ et $T$ , justifier que le condensateur atteint sa charge maximale

Drill RC-C.4 — GBF en créneaux : charge incomplète, réglages à modifier et valeurs limites de $N$ et de $R$

Relier ce raisonnement au bac

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer τ\tauτ et déterminer CCC ou RRR

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer $\tau$ et déterminer $C$ ou $R$