RC-DDipôle RC

Charge d'un condensateur — identification, τ et C

Idée directrice

Lors de la charge d'un condensateur dans un circuit RC, l'intensité décroît et s'annule en régime permanent (condensateur = interrupteur ouvert). La constante de temps $\tau = R_0 C$ se lit sur le chronogramme ; on en déduit $C$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« dipôle … condensateur »

« τ = 50 ms »

« C = τ / R0 »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Identifier le condensateur : $i\to 0$ en régime permanent ; la bobine au contraire laisse passer un courant constant.
Toujours $\tau = RC$ (ou $R_0 C$ ) avec $R$ en $\Omega$ , $C$ en F, $\tau$ en s.
Sous un générateur de courant $I_0$ , $u_C=(I_0/C)\,t$ est une droite : on lit sa pente $\alpha$ et $C=I_0/\alpha$ (jamais $\alpha/I_0$ ).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre charge et décharge dans l'expression de $u_C$ ; prendre $\tau=L/R$ (dipôle RL).

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit RC est alimenté par un générateur idéal de f.é.m. $E$ à travers un résistor $R_0$ . Un dipôle (D2) est placé en série : on enregistre $u_{R_0}(t)$ pendant la charge du condensateur (esprit corrigé bac 2021 principale).

Justifier que (D2) est un condensateur à partir de l'allure de l'intensité (ou de $u_{R_0}$ ) au cours du temps. Que devient-il en régime permanent ?
On mesure sur le chronogramme $\tau = 50\,\mathrm{ms}$ et $R_0 = 80\,\Omega$ . Calculer la capacité $C$ .
On relève les instants où $u_{R_0}$ vaut $0{,}9E$ puis $0{,}1E$ . Montrer que la durée $t_d$ entre ces deux instants vérifie $t_d = \tau\ln 9 \approx 2{,}2\tau$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $u_{R_0}=R_0\,i$ est l'image du courant ; on regarde ce que fait le courant à $t=0$ et en régime permanent. Le chronogramme montre $u_{R_0}$ maximale à la fermeture puis décroissante jusqu'à zéro : le courant est maximal à $t=0$ (le condensateur déchargé se comporte comme un fil) puis s'annule quand le condensateur est chargé. Ni un conducteur ohmique (courant constant) ni une bobine (courant nul à $t=0$ puis croissant) ne donnent cette allure : $(D_2)$ est un condensateur. En régime permanent $i=0$ : il se comporte comme un interrupteur ouvert et $u_C=E$ .

2. Idée : $\tau=R_0C$ se lit à $37\,\%$ de la valeur initiale de $u_{R_0}$ (ou par la tangente à l'origine). $C=\dfrac{\tau}{R_0}=\dfrac{0{,}050}{80}=\boxed{6{,}25\times10^{-4}\ \mathrm F=625\ \mu\mathrm F}$ .

3. Idée : pendant la charge $u_{R_0}(t)=E\,\e^{-t/\tau}$ ; deux dates, un quotient. $0{,}9E=E\,\e^{-t_1/\tau}$ et $0{,}1E=E\,\e^{-t_2/\tau}$ , donc $\dfrac{u_{R_0}(t_1)}{u_{R_0}(t_2)}=9=\e^{(t_2-t_1)/\tau}$ et

t_d=t_2-t_1=\tau\ln9\approx2{,}2\,\tau\approx0{,}11\ \mathrm s

Cette durée « de $90\,\%$ à $10\,\%$ » ne dépend que de $\tau$ , pas de $E$ : c'est pourquoi elle sert à mesurer la constante de temps.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : résistor en série avec le condensateur — $u_R=RI$ constante et $u_G=(I/C)\,t+RI$ , droite parallèle à $u_C(t)$ ; condensateur déjà chargé sous $U_{C0}$ : $u_C=(I/C)\,t+U_{C0}$ , la pente donne encore $C=I/a$ ; durée avant la tension de claquage $t_{\max}=C\,(U_{\max}-U_{C0})/I$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RC-D.1 — Régime permanent

Entraînement 01 / 03

Drill RC-D.1 — Régime permanent

1 questionCorrigé masqué

En régime permanent d'un circuit RC série alimenté par $E$ , que valent $i$ , $u_C$ et $u_R$ ? Justifier en une phrase chacune (comportement du condensateur).

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Idée : en régime permanent plus rien ne varie, donc $i=C\,\mathrm du_C/\mathrm dt=0$ . $i=0$ : le condensateur chargé est équivalent à un interrupteur ouvert. $u_R=Ri=0$ . La loi des mailles $E=u_R+u_C$ donne alors $u_C=E$ : toute la tension du générateur est aux bornes du condensateur, qui porte la charge $Q=CE$ .

2 Transfert — reconnaître u_C et u_R parmi deux enregistrements de charge, puis en tirer τ, C et l'énergie

Entraînement 02 / 03

Transfert — reconnaître u_C et u_R parmi deux enregistrements de charge, puis en tirer τ, C et l'énergie

6 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Un condensateur de capacité $C$ inconnue, initialement déchargé, est monté en série avec un conducteur ohmique $R=1{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ et un générateur idéal de tension de f.é.m. $E=6{,}0\ \mathrm{V}$ . À $t=0$ on ferme l'interrupteur : c'est la charge du condensateur dans ce circuit RC. Un système d'acquisition enregistre deux tensions, notées courbe (1) et courbe (2), décrites ainsi :

courbe (1) : part de $6{,}0\ \mathrm{V}$ à $t=0$ et décroît vers $0$ ;
courbe (2) : part de $0$ à $t=0$ et croît vers $6{,}0\ \mathrm{V}$ ; elle vaut $3{,}8\ \mathrm{V}$ à la date $t=30\ \mathrm{ms}$ , et sa tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale $u=6{,}0\ \mathrm{V}$ au point d'abscisse $t=30\ \mathrm{ms}$ .

Écrire la loi des mailles. Identifier, en justifiant par le comportement du condensateur à $t=0$ et en régime permanent, laquelle des deux courbes représente $u_C(t)$ et laquelle représente $u_R(t)$ .
Déterminer la constante de temps $\tau$ du circuit par deux lectures indépendantes de la courbe (2). En déduire la capacité $C$ .
À quelle date $t_1$ les deux courbes se croisent-elles ? Que vaut alors chacune des deux tensions ?
Calculer l'énergie emmagasinée dans le condensateur en fin de charge.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

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1. Idée : la loi des mailles relie les deux tensions ; le condensateur déchargé impose $u_C(0)=0$ et, en régime permanent, $i=0$ . Loi des mailles : $E=u_R+u_C$ à tout instant. Le condensateur est initialement déchargé et $u_C$ est une fonction continue du temps (la charge $q=Cu_C$ ne peut pas varier brutalement), donc $u_C(0)=0$ et $u_R(0)=E=6{,}0\ \mathrm{V}$ . En régime permanent le condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert : $i=0$ , $u_R=Ri=0$ et $u_C=E$ . La tension qui part de $0$ et tend vers $E$ est donc $u_C$ : courbe (2) $=u_C(t)$ ; celle qui part de $E$ et tend vers $0$ est courbe (1) $=u_R(t)$ . Contrôle : à chaque instant la somme des deux courbes vaut $6{,}0\ \mathrm{V}$ .

2. Idée : pendant la charge $u_C(t)=E\big(1-\e^{-t/\tau}\big)$ ; deux lectures caractérisent $\tau$ . Première lecture : à $t=\tau$ , $u_C(\tau)=E(1-\e^{-1})\approx0{,}63E=0{,}63\times6{,}0=3{,}8\ \mathrm{V}$ ; la courbe (2) atteint $3{,}8\ \mathrm{V}$ à $t=30\ \mathrm{ms}$ , donc $\tau=30\ \mathrm{ms}$ . Seconde lecture : la tangente à l'origine de $u_C$ a pour pente $\dfrac{E}{\tau}$ (car $u_C'(0)=\dfrac{E}{\tau}$ ) et coupe l'asymptote $u=E$ à l'abscisse $t=\tau$ ; l'énoncé donne $30\ \mathrm{ms}$ . Les deux lectures concordent :

\tau=30\ \mathrm{ms}=3{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{s},\qquad C=\frac{\tau}{R}=\frac{3{,}0\times10^{-2}}{1{,}5\times10^{3}}=\boxed{2{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{F}=20\ \mu\mathrm{F}}

3. Idée : les courbes se croisent quand $u_R=u_C$ ; avec $u_R+u_C=E$ cela impose $u_C=E/2$ . $u_C(t_1)=\dfrac E2\iff1-\e^{-t_1/\tau}=\dfrac12\iff\e^{-t_1/\tau}=\dfrac12\iff t_1=\tau\ln2$ .

t_1=30\times\ln2\approx\boxed{21\ \mathrm{ms}},\qquad u_C(t_1)=u_R(t_1)=\frac{E}{2}=3{,}0\ \mathrm{V}

Ce croisement a lieu avant $\tau$ ( $0{,}69\,\tau$ ), ce qui est cohérent : à $t=\tau$ le condensateur porte déjà $63\ \%$ de $E$ .

4. Idée : l'énergie électrostatique d'un condensateur vaut $E_e=\frac12Cu_C^2$ , et en fin de charge $u_C=E$ .

E_e=\frac12CE^2=\frac12\times2{,}0\times10^{-5}\times(6{,}0)^2=\boxed{3{,}6\times10^{-4}\ \mathrm{J}=0{,}36\ \mathrm{mJ}}

Cette énergie est celle qui sera restituée au circuit lors d'une décharge ultérieure ; pendant la charge, le générateur en a fourni le double, l'autre moitié ayant été dissipée par effet Joule dans $R$ .

3 Drill RC-D.3 — capacité d'un condensateur par la pente sous courant constant

Entraînement 03 / 03

Drill RC-D.3 — capacité d'un condensateur par la pente sous courant constant

3 questionsCorrigé masqué

Un générateur de courant débite un courant constant $I_0=0{,}50\,\mathrm{mA}$ dans un condensateur initialement déchargé, à partir de $t=0$ . La tension $u_C$ à ses bornes est une droite passant par l'origine et par le point $(4{,}0\,\mathrm{s}\,;\,8{,}0\,\mathrm{V})$ .

Montrer que $u_C=\dfrac{I_0}{C}\,t$ en partant de $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ .
En déduire la capacité $C$ du condensateur.
Au bout de combien de temps la tension atteint-elle $12{,}0\,\mathrm{V}$ ? Quelle énergie le condensateur a-t-il alors emmagasinée à $8{,}0\,\mathrm{V}$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : sous courant constant, la charge croît linéairement ; la pente de la droite vaut $I_0/C$ .

1. $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t=I_0$ constant et $q(0)=0$ , donc $q=I_0t$ . Comme $q=Cu_C$ : $u_C=\dfrac{I_0}{C}\,t$ , droite linéaire.

2. Pente $\alpha=\dfrac{8{,}0}{4{,}0}=2{,}0\,\mathrm{V\,s^{-1}}$ . Par identification, $\alpha=I_0/C$ , donc $C=\dfrac{I_0}{\alpha}=\dfrac{0{,}50\times10^{-3}}{2{,}0}=\boxed{2{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{F}}$ . Contrôle d'unité : $\mathrm{A}/(\mathrm{V\,s^{-1}})=\mathrm{C/V}=\mathrm{F}$ .

3. $t=u_C/\alpha=12{,}0/2{,}0=\boxed{6{,}0\,\mathrm{s}}$ . À $8{,}0\,\mathrm{V}$ : $E_C=\tfrac12Cu_C^2=\tfrac12\times2{,}5\times10^{-4}\times8{,}0^2=\boxed{8{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{J}}$ .

Piège : écrire $C=\alpha/I_0$ ; ce quotient a pour unité $\mathrm{F^{-1}}$ .

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Transfert — reconnaître u_C et u_R parmi deux enregistrements de charge, puis en tirer τ, C et l'énergie

Drill RC-D.3 — capacité d'un condensateur par la pente sous courant constant

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