RC-EDipôle RC

Constante de temps sur graphique — τ = RC

Idée directrice

À partir de l'équation différentielle de la charge/décharge d'un circuit RC, le coefficient directeur d'une droite $\ln$ ou d'une tangente donne $\tau$ . On en déduit $C=\tau/R$ et parfois $E$ via l'ordonnée à l'origine.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« τ = RC »

« par suite τ = 5.10-4 s »

« C = 12,5.10-6 F »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

On étudie la charge d'un condensateur de capacité $C$ à travers un résistor $R$ (esprit corrigé bac 2021 contrôle). Une exploitation graphique donne le coefficient directeur $a=-2{,}0\times 10^3\,\mathrm{s}^{-1}$ et l'ordonnée $b=12\times 10^3\,\mathrm{V\cdot s}^{-1}$ .

Relier $a$ à la constante de temps $\tau$ et calculer $\tau$ .
Sachant $b=E/\tau$ , calculer la f.é.m. $E$ du générateur.
On a $\tau=RC$ et $R=40\,\Omega$ . Calculer la capacité $C$ du condensateur.

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1. Idée : l'équation différentielle de la charge, $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+\dfrac{u_C}{\tau}=\dfrac E\tau$ , est une relation affine entre $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$ et $u_C$ : la droite tracée a pour pente $a=-\dfrac1\tau$ et pour ordonnée à l'origine $b=\dfrac E\tau$ . Donc $\tau=-\dfrac1a=\dfrac{1}{2{,}0\times10^3}=\boxed{5{,}0\times10^{-4}\ \mathrm s}$ .

2. Idée : $b=E/\tau$ . $E=b\,\tau=12\times10^3\times5{,}0\times10^{-4}=\boxed{6{,}0\ \mathrm V}$ . Vérification : la droite coupe l'axe des abscisses en $u_C=-b/a=6\ \mathrm V$ , valeur finale de $u_C$ .

3. Idée : $\tau=RC$ . $C=\dfrac\tau R=\dfrac{5{,}0\times10^{-4}}{40}=\boxed{1{,}25\times10^{-5}\ \mathrm F=12{,}5\ \mu\mathrm F}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill RC-E.1 — Formule τ = RC

1 questionCorrigé masqué

Un circuit RC a $R=40\,\Omega$ et $\tau=5{,}0\times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . Calculer $C$ en $\mu\mathrm{F}$ et indiquer en une phrase le rôle de $\tau$ lors de la charge du condensateur.

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Idée : $\tau=RC$ est le seul paramètre de temps du circuit. $C=\dfrac\tau R=\dfrac{5{,}0\times10^{-4}}{40}=1{,}25\times10^{-5}\ \mathrm F=\boxed{12{,}5\ \mu\mathrm F}$ . La constante de temps fixe la rapidité de la charge : à $t=\tau$ , $u_C=E(1-\e^{-1})\approx0{,}63E$ et $u_R\approx0{,}37E$ ; à $t=5\tau$ la charge est achevée à $99\,\%$ . Doubler $R$ ou $C$ double la durée de charge.

Méthode / Automatismes

Lire $a$ sur le graphe $\dfrac{du}{dt}=f(u)$ : pente négative, $\tau=-1/a$ .
Vérifier les unités : $b$ en V/s donne $E=b\tau$ en volts.

Pièges classiques

Prendre $\tau=|a|$ au lieu de $1/|a|$ ; confondre $C=\tau R$ et $C=\tau/R$ .