Constante de temps sur graphique — τ = RC

Idée : $\tau=RC$ est le seul paramètre de temps du circuit. $C=\dfrac\tau R=\dfrac{5{,}0\times10^{-4}}{40}=1{,}25\times10^{-5}\ \mathrm F=\boxed{12{,}5\ \mu\mathrm F}$. La constante de temps fixe la rapidité de la charge : à $t=\tau$, $u_C=E(1-\e^{-1})\approx0{,}63E$ et $u_R\approx0{,}37E$ ; à $t=5\tau$ la charge est achevée à $99\,\%$. Doubler $R$ ou $C$ double la durée de charge.

1. Idée : loi des mailles dans le circuit sans générateur, avec $i=C\,\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$ en convention récepteur pour le condensateur. Loi des mailles : $u_C+u_R=0$ avec $u_R=Ri$ et $i=C\,\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$, d'où

Vérification : si $u_C(t)=E\,\e^{-t/\tau}$ alors $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}=-\dfrac{E}{\tau}\e^{-t/\tau}=-\dfrac{u_C}{\tau}$, donc $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+\dfrac{u_C}{\tau}=0$ : l'équation est satisfaite, et $u_C(0)=E$ correspond bien à la tension initiale.

2. Idée : le logarithme transforme l'exponentielle décroissante en droite. Pour $u_C>0$ : $\ln u_C=\ln\!\big(E\,\e^{-t/\tau}\big)=\ln E-\dfrac{t}{\tau}$. C'est une fonction affine de $t$, de pente $a=-\dfrac1\tau$ (en $\mathrm{s^{-1}}$) et d'ordonnée à l'origine $b=\ln E$.

3. Idée : la pente se lit entre deux points de la droite, l'ordonnée à l'origine se lit en $t=0$.

Le piège classique est de lire $\tau=|a|=25$ : la pente est l'inverse de la constante de temps, changé de signe ; $25\ \mathrm{s^{-1}}$ n'est d'ailleurs pas une durée.

4. Idée : $\tau=RC$.

5. Idée : $u_C=E/2$ donne $\e^{-t/\tau}=1/2$ ; toute l'énergie initiale du condensateur finit en chaleur dans $R$. $E\,\e^{-t_{1/2}/\tau}=\dfrac E2\iff t_{1/2}=\tau\ln2=4{,}0\times10^{-2}\times0{,}693\approx\boxed{28\ \mathrm{ms}}$. Le condensateur, chargé sous $E$, contient initialement $E_e=\dfrac12CE^2$ ; en fin de décharge $u_C=0$ et il ne contient plus rien. L'énergie dissipée dans $R$ est donc

Contrôle de cohérence : à $t=60\ \mathrm{ms}=1{,}5\,\tau$, $u_C=8{,}0\times\e^{-1{,}5}\approx1{,}8\ \mathrm{V}$ et $\ln1{,}8\approx0{,}58$, valeur donnée pour le second point.

1. $u_R+u_C=E$ avec $u_R=Ri=RC\frac{du_C}{dt}$ : $\tau\frac{du_C}{dt}+u_C=E$. Avec $u_C=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ : $\tau\cdot\frac E\tau e^{-t/\tau}+E-Ee^{-t/\tau}=E$, et $u_C(0)=0$.

2. $E-u_C=Ee^{-t/\tau}$, donc $\ln(E-u_C)=\ln E-\frac t\tau$ : fonction affine décroissante du temps, d'où une droite de pente $-\frac1\tau$ et d'ordonnée à l'origine $\ln E$.

3. Ordonnée à l'origine $\approx2{,}30=\ln E$, donc $E\approx10\ \text{V}$. Pente : $\frac{0{,}30-2{,}30}{20\times10^{-3}}=-100\ \text{s}^{-1}=-\frac1\tau$, donc $\tau=10\ \text{ms}$ et $C=\frac\tau R=\frac{10^{-2}}{2\times10^3}=\boxed{5{,}0\ \mu\text{F}}$.

1. $\tau\frac{du_C}{dt}+u_C=E$ donne $\frac{du_C}{dt}=-\frac1\tau u_C+\frac E\tau$ : fonction affine décroissante de $u_C$, d'où une droite de pente $-\frac1\tau$ et d'ordonnée à l'origine $\frac E\tau$.

2. La droite coupe l'axe des $u_C$ en $u_C=E=\boxed{12\ \text{V}}$ ; l'ordonnée à l'origine vaut $\frac E\tau=3000\ \text{V·s}^{-1}$, donc $\tau=\frac{12}{3000}=\boxed{4{,}0\ \text{ms}}$ et $C=\frac{\tau}{R}=\frac{4{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^3}=\boxed{4{,}0\ \mu\text{F}}$.

3. En régime permanent $u_C=E$ et $\frac{du_C}{dt}=0$ : c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

1. $Ri+\frac qC=E$, donc $i=\frac ER-\frac{1}{RC}\,q$ : fonction affine décroissante de $q$, d'où une droite.

2. Pour $q=0$ : $i=\frac ER=2{,}0\ \text{mA}$, donc $E=4{,}0\times10^3\times2{,}0\times10^{-3}=\boxed{8{,}0\ \text{V}}$. Pour $i=0$ : $q=Q_0=CE=40\ \mu\text{C}$, donc $C=\frac{40\times10^{-6}}{8{,}0}=\boxed{5{,}0\ \mu\text{F}}$.

3. $\tau=RC=4{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-6}=\boxed{20\ \text{ms}}$ ; c'est aussi l'inverse de la valeur absolue de la pente : $\frac{2{,}0\ \text{mA}}{40\ \mu\text{C}}=50\ \text{s}^{-1}$.

1. Loi des mailles : $E=ri+Ri+u_C$ avec $i=C\frac{du_C}{dt}$, donc $(R+r)C\frac{du_C}{dt}+u_C=E$ : c'est l'équation $\tau\frac{du_C}{dt}+u_C=E$ avec $\tau=(R+r)C$.

2. Idée : la tension d'un condensateur initialement déchargé part de zéro et ne subit pas de discontinuité. La courbe (2) part de $0$ : elle représente $u_C(t)$ (la courbe (1), qui part de $10\ \text{V}$ et tend vers $0$, est $u_R=Ri$). En régime permanent $i=0$ et $u_C=E$ : l'asymptote donne $E=\boxed{12\ \text{V}}$.

3. À $t=0$, $u_C=0$ donc $i(0)=\frac{E}{R+r}$ et $u_R(0)=Ri(0)=\frac{RE}{R+r}$. La courbe (1) donne $u_R(0)=10\ \text{V}$ : $10=\frac{100\times12}{100+r}$, d'où $100+r=120$ et $r=\boxed{20\ \Omega}$.

4. La tangente à l'origine à la courbe (2) coupe l'asymptote $u=E$ à $t=\tau$ : $\tau=\boxed{3{,}0\ \text{ms}}$. $C=\frac{\tau}{R+r}=\frac{3{,}0\times10^{-3}}{120}=\boxed{25\ \mu\text{F}}$.