RC-FDipôle RC

Charge d'un condensateur à courant constant : identifier $u_C$ et $u_R$ , $C$ par la pente, charge et énergie, durée maximale avant claquage

Idée directrice

Avec un générateur de courant, l'intensité est imposée : $i=I_0$ constante. La charge croît donc proportionnellement au temps, $q=I_0t$ , et la tension aux bornes du condensateur est une droite passant par l'origine, $u_C=\frac{I_0}{C}t$ , tandis que la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série reste constante, $u_R=RI_0$ . La pente de $u_C(t)$ donne $\frac{I_0}{C}$ ; la tension de service du condensateur fixe la durée maximale de la charge.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Le condensateur est chargé à l'aide d'un générateur de courant débitant un courant d'intensité constante $I_0$ » ; « identifier la courbe représentant $u_C(t)$ » ; « déterminer la capacité $C$ » ; « déterminer la durée maximale de la charge »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Courant imposé : $q=I_0t$ , $u_C=\frac{I_0}{C}t$ (droite par l'origine) ; $u_R=RI_0$ (horizontale).
Pente de $u_C(t)$ = $\frac{I_0}{C}$ ; $I_0$ se lit sur $u_R$ si $R$ est connue.
Charge et énergie : $q=Cu_C$ , $E_e=\frac12Cu_C^2=\frac{q^2}{2C}$ ; variante $E_e=\frac{I_0^2}{2C}t^2$ (droite en fonction de $t^2$ ).
Tension de service : $t_{\max}=\frac{CU_{\max}}{I_0}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Appliquer la loi exponentielle $u_C=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ d'un générateur de tension ; confondre les deux courbes ; oublier les puissances de dix ( $\text{k}\Omega$ , $\mu\text{A}$ ) ; croire que la charge s'arrête d'elle-même (avec un générateur de courant, $u_C$ croît sans limite jusqu'au claquage).

Sujet principal

Exercice 1 — condensateur (3 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé, est monté en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=100\ \text{k}\Omega$ et un générateur idéal de courant qui débite un courant d'intensité constante $I_0$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur. Un système d'acquisition enregistre les tensions $u_C(t)$ aux bornes du condensateur et $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique ; on obtient les courbes (1) et (2).

Qu'appelle-t-on générateur idéal de courant ? Exprimer la charge $q(t)$ du condensateur en fonction de $I_0$ et $t$ .
En déduire les expressions de $u_C(t)$ et de $u_R(t)$ .
Identifier, en le justifiant, la courbe qui représente $u_C(t)$ et celle qui représente $u_R(t)$ . En déduire $I_0$ .
Exploiter la courbe de $u_C(t)$ pour déterminer la capacité $C$ .
Calculer la charge et l'énergie emmagasinées par le condensateur à la date $t_1=3\ \text{s}$ .
La tension de service du condensateur est $U_{\max}=10\ \text{V}$ . Déterminer graphiquement, puis par le calcul, la durée maximale de la charge.
À quelle date les deux tensions sont-elles égales ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Un générateur idéal de courant débite une intensité constante $I_0$ quel que soit le circuit qu'il alimente. $i=\frac{dq}{dt}=I_0$ et $q(0)=0$ , donc $q(t)=I_0\,t$ .

2. $u_C=\frac qC=\frac{I_0}{C}\,t$ ; $u_R=Ri=RI_0$ (constante).

3. $u_C$ est une fonction linéaire du temps : c'est la courbe (1), droite passant par l'origine. $u_R$ est constante : c'est la courbe (2). On lit $u_R=2\ \text{V}$ , donc $I_0=\frac{u_R}{R}=\frac{2}{100\times10^3}=\boxed{2{,}0\times10^{-5}\ \text{A}}$ .

4. Idée : la pente de $u_C(t)$ vaut $\frac{I_0}{C}$ . Sur la courbe (1), $u_C=12\ \text{V}$ à $t=6\ \text{s}$ : pente $a=2\ \text{V·s}^{-1}$ . Donc $C=\frac{I_0}{a}=\frac{2\times10^{-5}}{2}=\boxed{1{,}0\times10^{-5}\ \text{F}}$ .

5. $q(t_1)=I_0t_1=6{,}0\times10^{-5}\ \text{C}$ ; $E_e=\frac{q^2}{2C}=\frac{(6\times10^{-5})^2}{2\times10^{-5}}=\boxed{1{,}8\times10^{-4}\ \text{J}}$ (on vérifie : $u_C(t_1)=6\ \text{V}$ et $\frac12Cu_C^2=1{,}8\times10^{-4}\ \text{J}$ ).

6. Graphiquement, la courbe (1) atteint $10\ \text{V}$ à $t=5\ \text{s}$ . Par le calcul : $t_{\max}=\frac{C\,U_{\max}}{I_0}=\frac{10^{-5}\times10}{2\times10^{-5}}=\boxed{5\ \text{s}}$ ; au-delà, le condensateur risque le claquage.

7. $\frac{I_0}{C}t=RI_0$ donne $t=RC=100\times10^3\times10^{-5}=1\ \text{s}$ : c'est l'intersection des deux courbes.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : générateur de courant de $2\ \text{mA}$ et choix de la résistance utilisée (principale 2022) ; générateur de courant de $50\ \mu\text{A}$ avant la bascule sur une bobine (principale 2019) ; charge par générateur de courant pour déterminer $C$ (principale 2024) ; énergie électrique en fonction de $t^2$ (contrôle 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RC-F.1 — énergie électrique

E_e

en fonction de

t^2

: capacité et courant de charge

Entraînement 01 / 03

Drill RC-F.1 — énergie électrique $E_e$ en fonction de $t^2$ : capacité et courant de charge

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un condensateur initialement déchargé, de capacité $C$ , est chargé par un générateur de courant d'intensité constante $I_0$ . Un système d'acquisition suit l'énergie électrique $E_e$ emmagasinée par le condensateur, ce qui permet de tracer la courbe $E_e=f(t^2)$ ci-dessous. On mesure par ailleurs $u_C=12\ \text{V}$ à la date $t=3{,}0\ \text{s}$ .

Exprimer $u_C$ en fonction de $I_0$ , $C$ et $t$ , puis montrer que $E_e=\dfrac{I_0^2}{2C}\,t^2$ .
Déterminer le coefficient directeur $a$ de la droite et montrer que $\dfrac{I_0}{C}=4{,}0\ \text{V·s}^{-1}$ .
En déduire $I_0$ et $C$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $q=I_0t$ donc $u_C=\frac{I_0}{C}t$ , et $E_e=\frac12Cu_C^2=\frac12C\,\frac{I_0^2}{C^2}t^2=\frac{I_0^2}{2C}\,t^2$ : $E_e$ est proportionnelle à $t^2$ , de coefficient $a=\frac{I_0^2}{2C}$ .

2. La droite passe par $(10\ \text{s}^2\,;\,4{,}0\times10^{-4}\ \text{J})$ : $a=\boxed{4{,}0\times10^{-5}\ \text{J·s}^{-2}}$ . $u_C$ est proportionnelle à $t$ : $\frac{I_0}{C}=\frac{12}{3{,}0}=4{,}0\ \text{V·s}^{-1}$ .

3. Idée : $a=\frac{I_0}{2}\cdot\frac{I_0}{C}$ isole $I_0$ . $I_0=\frac{2a}{4{,}0}=\frac{8{,}0\times10^{-5}}{4{,}0}=\boxed{2{,}0\times10^{-5}\ \text{A}}$ et $C=\frac{I_0}{4{,}0}=\boxed{5{,}0\times10^{-6}\ \text{F}}$ .

2 Drill RC-F.2 — quelle résistance a réellement été utilisée ?

Entraînement 02 / 03

Drill RC-F.2 — quelle résistance a réellement été utilisée ?

3 questionsCorrigé masqué

Un générateur de courant débite $I_0=50\ \mu\text{A}$ dans un circuit série formé d'un condensateur de capacité $C=4{,}7\ \mu\text{F}$ initialement déchargé et d'un conducteur ohmique choisi parmi quatre résistances : $10\ \text{k}\Omega$ , $47\ \text{k}\Omega$ , $100\ \text{k}\Omega$ et $220\ \text{k}\Omega$ . Pendant la charge, un voltmètre indique en permanence $5{,}0\ \text{V}$ aux bornes du conducteur ohmique.

Justifier que l'indication du voltmètre reste constante et identifier la résistance utilisée.
Calculer la tension aux bornes du condensateur à $t=2{,}0\ \text{s}$ .
À quelle date la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à celle aux bornes du conducteur ohmique ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. L'intensité est imposée : $u_R=RI_0$ est constante. $R=\frac{5{,}0}{50\times10^{-6}}=\boxed{100\ \text{k}\Omega}$ .

2. $u_C=\frac{I_0}{C}t=\frac{50\times10^{-6}}{4{,}7\times10^{-6}}\times2{,}0\approx\boxed{21\ \text{V}}$ .

3. $\frac{I_0}{C}t=RI_0$ donne $t=RC=100\times10^3\times4{,}7\times10^{-6}=\boxed{0{,}47\ \text{s}}$ .

3 Drill RC-F.3 — courant constant puis dipôle RC :

C

par la pente, puis

\left.\frac{du_C}{dt}\right|_{\tau}=0{,}37\left.\frac{du_C}{dt}\right|_0

Entraînement 03 / 03

Drill RC-F.3 — courant constant puis dipôle RC : $C$ par la pente, puis $\left.\frac{du_C}{dt}\right|_{\tau}=0{,}37\left.\frac{du_C}{dt}\right|_0$

9 questionsCorrigé masqué

Au cours d'une séance de travaux pratiques, on détermine la capacité $C$ d'un condensateur par deux méthodes.

I- Expérience 1. Le condensateur est branché aux bornes d'un générateur de courant qui débite une intensité constante $I_0=10\ \mu\text{A}$ ; un voltmètre mesure la tension $u_C$ à ses bornes. Un interrupteur $K_1$ commande la charge et un interrupteur $K_2$ est monté en parallèle sur le condensateur. À $t=0$ , on ferme $K_1$ ( $K_2$ étant ouvert) et on relève :

$t=0$ : $u_C=0$ ; $t=1{,}5\ \text{s}$ : $u_C=3{,}0\ \text{V}$ ; $t=3{,}0\ \text{s}$ : $u_C=6{,}0\ \text{V}$ ; $t=4{,}5\ \text{s}$ : $u_C=9{,}0\ \text{V}$ .

Vérifier que le condensateur était initialement déchargé.
Charge à courant constant.
1. Donner la relation entre la charge $q(t)$ du condensateur et l'intensité $I_0$ .
2. En déduire que $u_C(t)=\dfrac{I_0}{C}\,t$ .
Déterminer la capacité $C$ à partir des mesures.
Préciser comment, avec le même matériel, on peut décharger le condensateur.

II- Expérience 2. Le condensateur, déchargé, est monté en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=1{,}2\ \text{k}\Omega$ , un interrupteur $K$ et un générateur idéal de tension de f.é.m. $E$ . À $t=0$ , on ferme $K$ ; un dispositif d'acquisition calcule la dérivée $\dfrac{du_C}{dt}$ , en $10^3\ \text{V·s}^{-1}$ :

$t=0$ : $1{,}50$ ; $t=2\ \text{ms}$ : $1{,}07$ ; $t=4\ \text{ms}$ : $0{,}77$ ; $t=6\ \text{ms}$ : $0{,}55$ ; $t=8\ \text{ms}$ : $0{,}40$ ; $t=10\ \text{ms}$ : $0{,}28$ .

Équation différentielle.
1. Montrer que $u_C$ vérifie $\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac1\tau\,u_C=\dfrac E\tau$ , où l'on exprimera $\tau$ en fonction de $R$ et $C$ .
2. En déduire que $\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_{t=0}=\dfrac E\tau$ .
On admet que $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ . Montrer que $\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_{t=\tau}\approx0{,}37\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_{t=0}$ .
En exploitant les mesures, déterminer $\tau$ , puis la f.é.m. $E$ , et retrouver la valeur de $C$ obtenue dans l'expérience 1.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 À $t=0$ , $u_C=0$ donc $q=C\,u_C=0$ : le condensateur était déchargé.

I.2.a $i=\dfrac{dq}{dt}=I_0$ constante et $q(0)=0$ , donc $q(t)=I_0\,t$ .

I.2.b $u_C=\dfrac qC=\dfrac{I_0}{C}\,t$ : la tension est proportionnelle au temps.

I.3 Les mesures sont proportionnelles au temps, de coefficient $\dfrac{I_0}{C}=\dfrac{3{,}0}{1{,}5}=2{,}0\ \text{V·s}^{-1}$ , d'où $C=\dfrac{1{,}0\times10^{-5}}{2{,}0}=\boxed{5{,}0\times10^{-6}\ \text{F}}$ .

I.4 On ouvre $K_1$ et on ferme $K_2$ : le condensateur, court-circuité par $K_2$ , se décharge.

II.1.a D'après la loi des mailles : $E=R\,i+u_C$ avec $i=C\dfrac{du_C}{dt}$ , soit $RC\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E$ . En divisant par $RC$ , on obtient la forme demandée avec $\boxed{\tau=RC}$ .

II.1.b À $t=0$ , $u_C=0$ : l'équation différentielle donne $\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_0=\dfrac E\tau$ .

II.2 $\dfrac{du_C}{dt}=\dfrac E\tau\,e^{-t/\tau}$ ; à $t=\tau$ , $\dfrac E\tau\,e^{-1}\approx0{,}37\,\dfrac E\tau=0{,}37\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_0$ .

II.3 Idée : chercher la date où la dérivée vaut 37 % de sa valeur initiale. $\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_0=1{,}50\times10^3\ \text{V·s}^{-1}$ et $0{,}37\times1{,}50\times10^3\approx0{,}55\times10^3\ \text{V·s}^{-1}$ , valeur relevée à $t=6\ \text{ms}$ : $\boxed{\tau=6{,}0\ \text{ms}}$ . Puis $E=\tau\left.\dfrac{du_C}{dt}\right|_0=6{,}0\times10^{-3}\times1{,}50\times10^3=\boxed{9{,}0\ \text{V}}$ et $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{1{,}2\times10^3}=5{,}0\ \mu\text{F}$ , la valeur de l'expérience 1.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Charge d'un condensateur à courant constant : identifier $u_C$ et $u_R$ , $C$ par la pente, charge et énergie, durée maximale avant claquage

Exercice 1 — condensateur (3 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RC-F.1 — énergie électrique $E_e$ en fonction de $t^2$ : capacité et courant de charge

Drill RC-F.2 — quelle résistance a réellement été utilisée ?

Drill RC-F.3 — courant constant puis dipôle RC : $C$ par la pente, puis $\left.\frac{du_C}{dt}\right|_{\tau}=0{,}37\left.\frac{du_C}{dt}\right|_0$

Relier ce raisonnement au bac

Charge d'un condensateur à courant constant : identifier uCu_CuC​ et uRu_RuR​, CCC par la pente, charge et énergie, durée maximale avant claquage

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Charge d'un condensateur à courant constant : identifier $u_C$ et $u_R$ , $C$ par la pente, charge et énergie, durée maximale avant claquage