RL-DDipôle RL

Établissement du courant RL — τ, r et L depuis chronogrammes

Idée directrice

À la fermeture d'un circuit RL, $u_R(t)=U_0(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau=L/(R+r)$ . On lit $\tau$ à $0{,}63U_0$ , on déduit $r$ du régime permanent, puis $L=(R+r)\tau$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« uR(t) = U0(1 - e-t/τ) »

« L = (Ra + r)·τa »

« 0,63·U0 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Un générateur $E=10\,\mathrm{V}$ alimente une bobine $(L,r)$ en série avec $R_a=240\,\Omega$ (esprit bac 2017 contrôle). On enregistre $u_R(t)$ à l'établissement du courant.

Rappeler $u_R(t)$ et la valeur de $u_R$ à $t=\tau$ .
On lit $U_{0a}=9{,}6\,\mathrm{V}$ et $\tau_a=2{,}0\,\mathrm{ms}$ . Calculer la résistance interne $r$ de la bobine.
En déduire l'inductance $L$ .

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1. Idée : à l'établissement du courant dans un dipôle RL, $i(t)=I_0(1-\e^{-t/\tau})$ et $u_R=R_ai$ . $u_R(t)=U_0\big(1-\e^{-t/\tau}\big)$ avec $U_0=R_aI_0$ . À $t=\tau$ : $u_R(\tau)=U_0(1-\e^{-1})\approx\boxed{0{,}63\,U_0}$ : c'est ainsi qu'on lit $\tau$ sur le chronogramme.

2. Idée : en régime permanent la bobine n'est plus qu'une résistance $r$ ; loi des mailles. $I_0=\dfrac{E}{R_a+r}$ et $U_0=R_aI_0=\dfrac{R_aE}{R_a+r}$ , d'où $r=R_a\Big(\dfrac E{U_0}-1\Big)=240\Big(\dfrac{10}{9{,}6}-1\Big)=\boxed{10\ \Omega}$ .

3. Idée : $\tau=L/R_{\text{totale}}$ . $L=(R_a+r)\,\tau_a=250\times2{,}0\times10^{-3}=\boxed{0{,}50\ \mathrm H}$ . Énergie emmagasinée en régime permanent : $\tfrac12LI_0^2=\tfrac12\times0{,}50\times0{,}040^2=4{,}0\times10^{-4}\ \mathrm J$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill RL-D.1 — Deuxième chronogramme

2 questionsCorrigé masqué

Avec la même bobine ( $r=10\,\Omega$ , $L=0{,}50\,\mathrm{H}$ ) et le même générateur $E=10\,\mathrm{V}$ , on remplace $R_a$ par un second résistor $R_b$ : on mesure en régime permanent $U_{0b}=8{,}0\,\mathrm{V}$ et l'on relève $\tau_b=10\,\mathrm{ms}$ .

Calculer $R_b$ à partir du régime permanent.
Vérifier que la valeur de $\tau_b$ est cohérente avec l'inductance $L$ trouvée dans l'exercice. Pourquoi $\tau_b>\tau_a$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : en régime permanent la bobine n'est plus qu'une résistance $r$ . $U_{0b}=\dfrac{R_bE}{R_b+r}\Rightarrow R_b=\dfrac{rU_{0b}}{E-U_{0b}}=\dfrac{10\times8{,}0}{10-8{,}0}=\boxed{40\,\Omega}$ .

2. Idée : $L$ est une caractéristique de la bobine, $\tau$ dépend du circuit. $\tau_b=\dfrac{L}{R_b+r}=\dfrac{0{,}50}{50}=1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{s}=10\,\mathrm{ms}$ : cohérent avec la lecture. La constante de temps est plus grande qu'avec $R_a$ ( $\tau_a=2{,}0\,\mathrm{ms}$ ) parce que la résistance totale est cinq fois plus petite ( $50\,\Omega$ contre $250\,\Omega$ ) : le courant s'établit plus lentement.

Méthode / Automatismes

Lire $\tau$ à $0{,}63U_0$ sur le chronogramme d'établissement.
Ne pas oublier $r$ dans $\tau=L/(R+r)$ .

Pièges classiques

Utiliser $\tau=RC$ ; prendre $L=R\tau$ en oubliant $r$ .