RL-EDipôle RL

Bobine purement inductive — u_B(t), τ, L et énergie (bac 2021 contrôle)

Idée directrice

Sur un circuit RL série à bobine pure ( $r=0$ ), $u_B(t)=L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=E\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau=L/R$ . On lit $E$ et $\tau$ sur le chronogramme de $u_B$ , on déduit $L=\tau R$ et l'énergie magnétique $\tfrac12 L I_0^2$ en régime permanent.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« bobine purement inductive »

« uBM(t) = E e^{-t/τ} »

« L = τ R1 = 0,1 H »

« EL = ½ L I0² »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Pour une bobine pure, $u_B(0)=E$ et $u_B(\tau)=E/e\approx0{,}37E$ — lire $\tau$ sur $u_B$ , pas sur $u_R$ .
Si $u_B(\infty)=0$ , alors $r=0$ et $\tau=L/R$ (sans $r$ ).
Énergie magnétique : toujours $\tfrac12 L I_0^2$ en régime permanent.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire $\tau$ à $0{,}63E$ sur $u_B$ (c'est la lecture de $u_R$ ou de $i$ ) ; écrire $\tau=L/(R+r)$ alors que $r=0$ a été prouvé ; confondre $u_B(0)$ et $u_R(0)$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Un générateur idéal de f.é.m. $E$ alimente, à la fermeture de $K$ ( $t=0$ ), un circuit RL série formé d'une bobine $(L,r)$ et d'un résistor $R_1=50\,\Omega$ (esprit bac 2021 contrôle). On visualise la tension $u_B(t)$ aux bornes de la bobine. En régime permanent, $u_B=0$ ; à $t=0^+$ , $u_B(0)=5{,}5\,\mathrm{V}$ . La courbe atteint environ $0{,}37\,u_B(0)$ à $t=2{,}0\,\mathrm{ms}$ .

Interpréter le retard à l'établissement du courant : nommer le phénomène et en déduire le rôle de la bobine.
En régime permanent, justifier que $r=0$ (bobine purement inductive) et en déduire $E$ .
Écrire l'équation différentielle de $i(t)$ (loi des mailles) et rappeler $u_B(t)=E\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau=L/R_1$ .
Lire $\tau$ sur le chronogramme, calculer l'inductance $L$ , l'intensité finale $I_0$ et l'énergie magnétique $E_L$ emmagasinée en régime permanent.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. À la fermeture, la bobine s'oppose à l'établissement du courant par un courant d'auto-induction (loi de Lenz) : le courant ne saute pas.

2. En régime permanent, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ donc $u_B=ri=0$ sur la courbe $\Rightarrow r=0\,\Omega$ : bobine purement inductive. Or $u_B(0)=E$ pour une bobine pure $\Rightarrow E=5{,}5\,\mathrm{V}$ .

3. Loi des mailles : $E=R_1 i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ , soit $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\dfrac{R_1}{L}i=\dfrac{E}{L}$ . Solution $i(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau=L/R_1$ et $I_0=E/R_1$ . Alors $u_B(t)=L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=E\,e^{-t/\tau}$ .

4. À $t=\tau$ , $u_B(\tau)=E/e\approx0{,}37E$ : la lecture $t=2{,}0\,\mathrm{ms}$ donne $\tau=2{,}0\,\mathrm{ms}$ . $L=\tau R_1=2{,}0\times10^{-3}\times50=\mathbf{0{,}10\,H}$ . $I_0=E/R_1=5{,}5/50=\mathbf{0{,}11\,A}$ . $E_L=\tfrac12 L I_0^2=\tfrac12\times0{,}10\times(0{,}11)^2=\mathbf{6{,}05\times10^{-4}\,J}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-E.1 — Ouverture du circuit et énergie de la bobine

Entraînement 01 / 01

Drill RL-E.1 — Ouverture du circuit et énergie de la bobine

2 questionsCorrigé masqué

Même bobine pure ( $L=0{,}10\,\mathrm{H}$ , $r=0$ ) du montage précédent, parcourue en régime permanent par $I_0=0{,}11\,\mathrm{A}$ . On ouvre l'interrupteur $K$ : le courant diminue. Une diode est placée de façon à laisser passer le courant d'auto-induction créé par la bobine.

Expliquer, par la loi de Lenz, pourquoi la bobine s'oppose à la diminution de $i$ et quel est le sens du courant dans la diode.
Quelle énergie alimente le courant dans la diode juste après l'ouverture ? Calculer sa valeur numérique.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. À l'ouverture, $i$ tend à diminuer : la bobine crée une f.é.m. d'auto-induction qui s'oppose à cette diminution (Lenz). Le courant induit a donc le même sens que $I_0$ avant ouverture; la diode est polarisée dans ce sens passant.

2. C'est l'énergie magnétique emmagasinée par la bobine en régime permanent qui alimente ce courant : $E_L=\tfrac12 L I_0^2=\tfrac12\times0{,}10\times(0{,}11)^2=\mathbf{6{,}05\times10^{-4}\,J}$ . Sans résistance série imposée après ouverture, cette énergie se dissipe dans le circuit de la diode et les pertes de la bobine.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.