RL-GDipôle RL

L'exercice d'identification de trois dipôles : chronogrammes, résistance, condensateur (temps de descente), bobine (τ, r, L, énergie)

Idée directrice

Le premier exercice de physique (6 à 7 points) part souvent de chronogrammes de la tension aux bornes d'un même conducteur ohmique $R_0$ placé successivement en série avec trois dipôles inconnus : la tension constante dès $t=0$ trahit le conducteur ohmique, la tension qui décroît de $E$ vers $0$ le condensateur, celle qui s'établit progressivement la bobine (auto-induction). Chaque dipôle livre ensuite sa grandeur caractéristique par la constante de temps lue sur la courbe ( $\tau=R_0C$ , $\tau'=L/(R_0+r)$ ), et l'exercice se clôt sur un calcul d'énergie.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On se propose d'identifier la nature de chacun de ces dipôles » ; « justifier que le dipôle … est le conducteur ohmique » ; « établir l'équation différentielle régissant … » ; « nommer le phénomène physique qui se manifeste dans la bobine à la fermeture de l'interrupteur » ; « déduire la valeur de l'inductance $L$ ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Identifier par le comportement aux deux instants clés : $t=0$ (condensateur déchargé = fil, bobine = interrupteur ouvert) et $t\to\infty$ (condensateur = interrupteur ouvert, bobine = fil de résistance $r$ ).
Constante de temps : tangente à l'origine ∩ asymptote, ou $63\,\%$ / $37\,\%$ de la valeur finale ; toujours dire la méthode.
Temps de descente $90\,\%\to10\,\%$ : $t_d=\tau\ln9\approx2{,}2\tau$ — se démontre en deux lignes avec deux logarithmes.
Bobine : $u_{R_0}(\infty)$ donne $R_0+r$ , puis $L=\tau'(R_0+r)$ ; ne pas oublier $r$ dans la constante de temps.
Énergie de la bobine à une fraction $p$ du maximum : $i=\sqrt p\,I_{\max}$ , puis résoudre en $t$ avec un logarithme.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre $\tau'=L/R_0$ en oubliant la résistance interne ; lire $\tau$ à $50\,\%$ de la valeur finale au lieu de $63\,\%$ ; écrire l'énergie à $90{,}3\,\%$ quand le courant est à $90{,}3\,\%$ (c'est le carré qui compte) ; attribuer la décroissance de $u_{R_0}$ à la bobine (c'est le condensateur qui coupe le courant en régime permanent).

Sujet principal

Exercice 1 — dipôles RC et RL (6,75 points), dans l’esprit de la session 2021

6 questionsCorrigé masqué

Trois dipôles $(D_1)$ , $(D_2)$ et $(D_3)$ sont, dans un ordre inconnu : un condensateur déchargé de capacité $C$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ , et un conducteur ohmique de résistance $R$ . On monte en série un générateur idéal de f.é.m. $E=5\,\text{V}$ , un conducteur ohmique de résistance $R_0=80\,\Omega$ , un interrupteur $K$ et l'un des dipôles ; on ferme $K$ à $t=0$ et l'on enregistre la tension $u_{R_0}(t)=R_0\,i(t)$ , image de l'intensité du courant pendant son établissement. On obtient trois chronogrammes :

$(\mathcal C_1)$ : $u_{R_0}$ vaut $5\,\text{V}$ à $t=0$ puis décroît vers $0$ ; elle passe par $4{,}5\,\text{V}$ à $t_1$ et par $0{,}5\,\text{V}$ à $t_2$ , avec $t_2-t_1=22\,\text{ms}$ ;
$(\mathcal C_2)$ : $u_{R_0}$ est nulle à $t=0$ , croît puis se stabilise à $4{,}0\,\text{V}$ ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale à l'instant $t=5\,\text{ms}$ ;
$(\mathcal C_3)$ : $u_{R_0}$ vaut $2{,}0\,\text{V}$ dès $t=0$ et reste constante.

1. Justifier que $(D_3)$ est le conducteur ohmique de résistance $R$ .
2. Déterminer la valeur de $R$ .
On s'intéresse au dipôle $(D_1)$ .
1. Justifier que $(D_1)$ est le condensateur.
2. Établir l'équation différentielle régissant $u_{R_0}(t)$ dans ce circuit et vérifier que $u_{R_0}(t)=E\,\e^{-t/\tau}$ en est solution, avec $\tau=R_0C$ .
3. On appelle temps de descente $t_d=t_2-t_1$ la durée entre les instants où la tension vaut $90\,\%$ puis $10\,\%$ de sa valeur maximale. Montrer que $t_d=\tau\ln 9\approx2{,}2\,\tau$ , puis déduire $\tau$ et $C$ .
On s'intéresse au dipôle $(D_2)$ . La tension s'écrit $u_{R_0}(t)=\dfrac{R_0E}{R_0+r}\big(1-\e^{-t/\tau'}\big)$ avec $\tau'=\dfrac{L}{R_0+r}$ .
1. Nommer le phénomène physique qui se manifeste dans la bobine à la fermeture de l'interrupteur $K$ .
2. Relever la valeur de $\tau'$ en décrivant la méthode utilisée.
3. Déterminer la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine, puis déduire la valeur de l'inductance $L$ .
4. Déterminer l'instant $t_e$ pour lequel l'énergie emmagasinée par la bobine est égale à $90{,}3\,\%$ de l'énergie maximale qu'elle peut emmagasiner.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : sans condensateur ni bobine, le régime est permanent dès $t=0$ . Dans un circuit purement résistif, $i=\dfrac{E}{R_0+R}$ est constant dès la fermeture : $u_{R_0}$ constante dès $t=0$ , c'est $(\mathcal C_3)$ , donc $(D_3)$ est le conducteur ohmique.

1.b $u_{R_0}=\dfrac{R_0E}{R_0+R}$ donne $R_0+R=\dfrac{R_0E}{u_{R_0}}=\dfrac{80\times5}{2{,}0}=200\,\Omega$ , soit $\boxed{R=120\,\Omega}$ .

2.a Idée : un condensateur déchargé se comporte comme un fil à $t=0$ puis bloque le courant. À $t=0$ , $u_C=0$ donc $u_{R_0}=E=5\,\text{V}$ ; en régime permanent le courant s'annule ( $u_{R_0}\to0$ ). C'est $(\mathcal C_1)$ : $(D_1)$ est le condensateur.

2.b Idée : loi des mailles, puis $i=C\,\dfrac{\dd u_C}{\dd t}$ . $E=u_{R_0}+u_C$ avec $u_{R_0}=R_0i$ et $i=C\dfrac{\dd u_C}{\dd t}$ . En dérivant la loi des mailles ( $E$ constante) : $0=\dfrac{\dd u_{R_0}}{\dd t}+\dfrac{\dd u_C}{\dd t}=\dfrac{\dd u_{R_0}}{\dd t}+\dfrac{u_{R_0}}{R_0C}$ , soit

\frac{\dd u_{R_0}}{\dd t}+\frac{u_{R_0}}{\tau}=0,\qquad\tau=R_0C

Avec $u_{R_0}=E\e^{-t/\tau}$ : $\dfrac{\dd u_{R_0}}{\dd t}=-\dfrac{E}{\tau}\e^{-t/\tau}$ et $-\dfrac{E}{\tau}\e^{-t/\tau}+\dfrac{E}{\tau}\e^{-t/\tau}=0$ ; de plus $u_{R_0}(0)=E$ : c'est la solution.

2.c $E\e^{-t_1/\tau}=0{,}9E\Rightarrow t_1=\tau\ln\dfrac{10}{9}$ ; $E\e^{-t_2/\tau}=0{,}1E\Rightarrow t_2=\tau\ln10$ . D'où $t_d=t_2-t_1=\tau\big(\ln10-\ln\tfrac{10}{9}\big)=\tau\ln9\approx2{,}2\,\tau$ . Avec $t_d=22\,\text{ms}$ : $\tau=\dfrac{22}{\ln9}\approx10\,\text{ms}$ et

C=\frac{\tau}{R_0}=\frac{10\times10^{-3}}{80}=\boxed{1{,}25\times10^{-4}\,\text{F}=125\,\mu\text{F}}

3.a L'auto-induction : la bobine s'oppose à l'établissement du courant (f.é.m. induite $-L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ ), d'où la montée progressive de $u_{R_0}$ sur $(\mathcal C_2)$ .

3.b Idée : la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t=\tau'$ . Sur $(\mathcal C_2)$ cette intersection est à $5\,\text{ms}$ : $\tau'=5\,\text{ms}$ (autre lecture : $u_{R_0}(\tau')=0{,}63\times4{,}0=2{,}5\,\text{V}$ ).

3.c En régime permanent, $u_{R_0}(\infty)=\dfrac{R_0E}{R_0+r}=4{,}0\,\text{V}$ , donc $R_0+r=\dfrac{80\times5}{4{,}0}=100\,\Omega$ et $r=20\,\Omega$ . Puis $L=\tau'(R_0+r)=5\times10^{-3}\times100=\boxed{0{,}50\,\text{H}}$ .

3.d Idée : $E_L=\tfrac12Li^2$ ; l'énergie est à $90{,}3\,\%$ du maximum quand $i$ est à $\sqrt{0{,}903}=0{,}950$ de $I_{\max}$ . $i(t)=I_{\max}\big(1-\e^{-t/\tau'}\big)$ , donc $1-\e^{-t_e/\tau'}=0{,}95\iff\e^{-t_e/\tau'}=0{,}05\iff t_e=\tau'\ln20\approx3\,\tau'$ :

t_e=5\times10^{-3}\times\ln20\approx\boxed{15\,\text{ms}}

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-G.1 — lire la constante de temps d’une bobine de deux façons

Entraînement 01 / 05

Drill RL-G.1 — lire la constante de temps d’une bobine de deux façons

3 questionsCorrigé masqué

Une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r=10\,\Omega$ est montée en série avec un conducteur ohmique $R_0=90\,\Omega$ et un générateur idéal $E=6\,\text{V}$ . À la fermeture du circuit, l'intensité s'établit selon $i(t)=I_{\max}\big(1-\e^{-t/\tau}\big)$ ; on lit $i(4\,\text{ms})=37{,}8\,\text{mA}$ et l'intensité finale $I_{\max}=60\,\text{mA}$ .

Vérifier la valeur de $I_{\max}$ à partir de $E$ , $R_0$ et $r$ .
Montrer que $t=4\,\text{ms}$ correspond à $t=\tau$ et en déduire $L$ .
Calculer l'énergie maximale emmagasinée par la bobine et la durée au bout de laquelle l'intensité atteint $99\,\%$ de $I_{\max}$ .

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1. En régime permanent la bobine se comporte comme sa résistance : $I_{\max}=\dfrac{E}{R_0+r}=\dfrac{6}{100}=60\,\text{mA}$ .

2. $\dfrac{37{,}8}{60}=0{,}63=1-\e^{-1}$ : c'est la valeur atteinte à $t=\tau$ , donc $\tau=4\,\text{ms}$ et $L=\tau(R_0+r)=4\times10^{-3}\times100=0{,}40\,\text{H}$ .

3. $E_{L,\max}=\tfrac12LI_{\max}^2=\tfrac12\times0{,}40\times(0{,}060)^2=7{,}2\times10^{-4}\,\text{J}$ . $1-\e^{-t/\tau}=0{,}99\iff t=\tau\ln100\approx4{,}6\,\tau\approx18\,\text{ms}$ (le « $5\tau$ » usuel donne $99{,}3\,\%$ ).

2 Drill RL-G.2 — équation différentielle de l’établissement du courant dans une bobine

Entraînement 02 / 05

Drill RL-G.2 — équation différentielle de l’établissement du courant dans une bobine

3 questionsCorrigé masqué

Une bobine d'inductance $L=0{,}30\,\text{H}$ et de résistance $r$ est en série avec un conducteur ohmique $R_0$ et un générateur idéal $E=6\,\text{V}$ ; on note $R_0+r=60\,\Omega$ . On ferme l'interrupteur à $t=0$ ; l'intensité $i(t)$ s'établit progressivement dans la bobine.

En nommant la loi utilisée, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ et la mettre sous la forme $\dfrac{\dd i}{\dd t}+\dfrac{i}{\tau}=\dfrac{E}{L}$ ; exprimer la constante de temps $\tau$ de ce circuit RL et la calculer.
Vérifier que $i(t)=I_{\max}\big(1-\e^{-t/\tau}\big)$ est solution et exprimer $I_{\max}$ .
Calculer la pente de la tangente à l'origine de $i(t)$ et interpréter le rôle de l'inductance dans l'établissement du courant.

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1. Idée : loi des mailles avec la f.é.m. d'auto-induction. $E=(R_0+r)\,i+L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ , soit $\dfrac{\dd i}{\dd t}+\dfrac{R_0+r}{L}\,i=\dfrac{E}{L}$ : $\tau=\dfrac{L}{R_0+r}=\dfrac{0{,}30}{60}=5{,}0\,\text{ms}$ .

2. $\dfrac{\dd i}{\dd t}=\dfrac{I_{\max}}{\tau}\e^{-t/\tau}$ ; en reportant : $\dfrac{I_{\max}}{\tau}\e^{-t/\tau}+\dfrac{I_{\max}}{\tau}\big(1-\e^{-t/\tau}\big)=\dfrac{I_{\max}}{\tau}=\dfrac{E}{L}$ , d'où $I_{\max}=\dfrac{E\tau}{L}=\dfrac{E}{R_0+r}=0{,}10\,\text{A}$ ; et $i(0)=0$ : condition initiale respectée (la bobine s'oppose à la discontinuité du courant).

3. $\Big(\dfrac{\dd i}{\dd t}\Big)_{t=0}=\dfrac{I_{\max}}{\tau}=\dfrac{E}{L}=20\,\text{A}\cdot\text{s}^{-1}$ : plus l'inductance est grande, plus la pente initiale est faible et plus l'établissement du courant est lent (auto-induction).

3 Drill RL-G.3 — montage à deux branches et deux ampèremètres : le condensateur par le régime permanent, puis bobine et conducteur ohmique en série

Entraînement 03 / 05

Drill RL-G.3 — montage à deux branches et deux ampèremètres : le condensateur par le régime permanent, puis bobine et conducteur ohmique en série

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On dispose de trois dipôles $D_1$ , $D_2$ et $D_3$ : l'un est un condensateur de capacité $C$ , un autre une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , le troisième un conducteur ohmique de résistance $R$ . Dans la branche principale du montage sont placés en série un générateur idéal de tension de f.é.m. $E=9{,}0\ \text{V}$ , un conducteur ohmique de résistance $R_0=50\ \Omega$ , un interrupteur $K$ et un ampèremètre $(A_1)$ . Cette branche alimente deux branches en dérivation : l'une comporte un interrupteur $K_1$ et le dipôle $D_1$ ; l'autre un interrupteur $K_2$ , les dipôles $D_2$ et $D_3$ en série et un ampèremètre $(A_2)$ . Les ampèremètres ont une résistance négligeable.

Expérience 1 : on ferme $K_1$ et $K_2$ , puis $K$ . Une fois le régime permanent établi, les deux ampèremètres indiquent la même valeur.

Expérience 2 : $K$ est fermé, $K_1$ et $K_2$ ouverts, et le dipôle $D_1$ est initialement déchargé. À l'instant $t=0$ , on ferme $K_1$ et un oscilloscope à mémoire enregistre $u_{D_1}(t)$ (figure 1, où $(\Delta)$ est la tangente à la courbe à l'origine).

Expérience 3 : $K$ est fermé, $K_1$ et $K_2$ ouverts. À l'instant $t=0$ , on ferme $K_2$ et l'on enregistre $u_{D_2}(t)$ et $u_{D_3}(t)$ (figure 2). Le régime permanent n'est pratiquement atteint qu'au bout de $\Delta t\approx5\tau_2=10\ \text{ms}$ , où $\tau_2$ est la constante de temps du circuit étudié.

En exploitant l'expérience 1, justifier que le dipôle $D_1$ est le condensateur.
Expérience 2.
1. Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau_1$ du circuit étudié.
2. En déduire la capacité $C$ .
Expérience 3.
1. Préciser pourquoi l'établissement du régime permanent n'est pas instantané.
2. Identifier, parmi $D_2$ et $D_3$ , le conducteur ohmique. Justifier.
Grandeurs de la branche $D_2$ – $D_3$ .
1. Déterminer l'intensité $I$ du courant en régime permanent, puis les valeurs de $R$ et de $r$ .
2. En déduire l'inductance $L$ de la bobine.
Quelle valeur commune indiquaient les deux ampèremètres dans l'expérience 1 ?

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1. Idée : en régime permanent, un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert, une bobine comme un conducteur ohmique de résistance $r$ . $(A_1)$ mesure l'intensité de la branche principale, $(A_2)$ celle de la branche $D_2$ – $D_3$ . D'après la loi des nœuds, des indications égales imposent une intensité nulle dans la branche de $D_1$ en régime permanent : seul un condensateur chargé bloque ainsi le courant continu. $D_1$ est donc le condensateur.

2.a Idée : la tangente à l'origine coupe l'asymptote $u=E$ à l'instant $t=\tau_1$ . Sur la figure 1, $(\Delta)$ atteint $9\ \text{V}$ à $\boxed{\tau_1=0{,}20\ \text{ms}}$ (contrôle : $u_{D_1}(\tau_1)=0{,}63\,E\approx5{,}7\ \text{V}$ ).

2.b Le condensateur se charge à travers $R_0$ : $\tau_1=R_0C$ , d'où $C=\dfrac{\tau_1}{R_0}$ :

C=\dfrac{2{,}0\times10^{-4}}{50}=\boxed{4{,}0\ \mu\text{F}}

3.a La branche contient la bobine : par auto-induction, elle s'oppose à l'établissement du courant (loi de Lenz), d'où un régime transitoire de durée voisine de $5\tau_2$ .

3.b Idée : à $t=0$ , l'intensité est encore nulle. La tension d'un conducteur ohmique, $u=R\,i$ , est alors nulle, et $u_{R_0}(0)=0$ : la bobine supporte toute la tension $E$ . Sur la figure 2, $u_{D_3}$ part de $0$ et $u_{D_2}$ de $9\ \text{V}$ : $\boxed{D_3\text{ est le conducteur ohmique}}$ et $D_2$ la bobine.

4.a En régime permanent, on lit $u_{D_3}=R\,I=5{,}0\ \text{V}$ et $u_{D_2}=r\,I=1{,}5\ \text{V}$ . La loi des mailles donne $u_{R_0}=E-5{,}0-1{,}5=2{,}5\ \text{V}$ , donc $I=\dfrac{2{,}5}{50}=\boxed{0{,}050\ \text{A}}$ . D'où $R=\dfrac{5{,}0}{0{,}050}=\boxed{100\ \Omega}$ et $r=\dfrac{1{,}5}{0{,}050}=\boxed{30\ \Omega}$ .

4.b $\tau_2=\dfrac{\Delta t}5=2{,}0\ \text{ms}$ et $\tau_2=\dfrac{L}{R_0+R+r}$ , avec la résistance totale du circuit $R_0+R+r=180\ \Omega$ :

L=2{,}0\times10^{-3}\times180=\boxed{0{,}36\ \text{H}}

5. La branche de $D_1$ ne conduisant plus en régime permanent, le circuit se réduit à celui de l'expérience 3 : les deux ampèremètres indiquaient $I=\dfrac{E}{R_0+R+r}=\dfrac{9{,}0}{180}=\boxed{50\ \text{mA}}$ .

4 Drill RL-G.4 — commutateur à deux positions : condensateur ou bobine, par l'intensité en régime permanent, puis

C

r

L

Entraînement 04 / 05

Drill RL-G.4 — commutateur à deux positions : condensateur ou bobine, par l'intensité en régime permanent, puis $C$ , $r$ et $L$

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un générateur idéal de tension de f.é.m. $E=12\ \text{V}$ , un résistor de résistance $R=250\ \Omega$ et un commutateur $K$ à deux positions forment un circuit dans lequel le dipôle $D_1$ est en série avec $R$ quand $K$ est en position (1), et le dipôle $D_2$ quand $K$ est en position (2). L'un de ces dipôles est un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé, l'autre une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ non nulle.

Expérience 1 : à $t=0$ , on place $K$ en position (1) ; un oscilloscope bicourbe visualise la tension aux bornes du générateur et la tension $u_{D_1}(t)$ (figure 1). Expérience 2 : à $t=0$ , on place $K$ en position (2) et l'on visualise la tension aux bornes du générateur et la tension $u_R(t)$ aux bornes du résistor (figure 2). Sur chaque figure, la tangente à l'origine est tracée en pointillés.

Expérience 1.
1. En appliquant la loi des mailles, exprimer la tension $u_R(t)$ aux bornes du résistor en fonction de $E$ et de $u_{D_1}(t)$ .
2. En exploitant la figure 1, montrer que l'intensité du courant s'annule lorsque le régime permanent est atteint.
3. En déduire, en le justifiant, la nature de $D_1$ et celle de $D_2$ .
La constante de temps du dipôle RC vaut $\tau_1=RC$ .
1. Déterminer graphiquement $\tau_1$ .
2. En déduire la capacité $C$ .
Expérience 2. On note $I_2$ l'intensité du courant et $U_{D_2}$ la tension aux bornes de $D_2$ en régime permanent.
1. Montrer que $u_R(t)$ vérifie $\dfrac{du_R}{dt}+\dfrac{1}{\tau_2}\,u_R=\dfrac RL\,E$ , avec $\tau_2=\dfrac{L}{R+r}$ .
2. Expliquer pourquoi $u_R$ ne tend pas vers $E$ , puis déterminer $I_2$ , $U_{D_2}$ et $\tau_2$ .
3. En déduire $r$ et $L$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a D'après la loi des mailles, $E=u_R+u_{D_1}$ , donc $\boxed{u_R(t)=E-u_{D_1}(t)}$ .

1.b Idée : $u_R=R\,i$ est l'image de l'intensité. Sur la figure 1, $u_{D_1}$ tend vers $E=12\ \text{V}$ : en régime permanent $u_R=E-E=0$ , donc $i=\dfrac{u_R}{R}=0$ .

1.c Une bobine de résistance $r$ laisserait passer en régime permanent un courant $\dfrac{E}{R+r}\ne0$ ; seul un condensateur chargé annule l'intensité. $\boxed{D_1\text{ est le condensateur}}$ , et $D_2$ la bobine.

2.a Sur la figure 1, la tangente à l'origine de $u_{D_1}$ coupe l'asymptote $u=E$ à $\boxed{\tau_1=2{,}0\ \text{ms}}$ .

2.b $\tau_1=RC$ , d'où $C=\dfrac{\tau_1}{R}$ :

C=\dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{250}=\boxed{8{,}0\ \mu\text{F}}

3.a Idée : loi des mailles avec la bobine $(L,r)$ , puis $i=\dfrac{u_R}{R}$ . $E=u_R+r\,i+L\,\dfrac{di}{dt}$ avec $i=\dfrac{u_R}{R}$ :

E=u_R+\dfrac rR\,u_R+\dfrac LR\,\dfrac{du_R}{dt}

En multipliant par $\dfrac RL$ :

\dfrac{du_R}{dt}+\dfrac{R+r}{L}\,u_R=\dfrac RL\,E

C'est la forme demandée, avec $\tau_2=\dfrac{L}{R+r}$ .

3.b En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance $r\ne0$ : une partie de $E$ reste à ses bornes, donc $u_R<E$ . Sur la figure 2, $U_R=10\ \text{V}$ : $I_2=\dfrac{U_R}{R}=\dfrac{10}{250}=\boxed{40\ \text{mA}}$ et $U_{D_2}=E-U_R=\boxed{2{,}0\ \text{V}}$ . La tangente à l'origine coupe l'asymptote à $\boxed{\tau_2=3{,}0\ \text{ms}}$ .

3.c $r=\dfrac{U_{D_2}}{I_2}=\dfrac{2{,}0}{0{,}040}=\boxed{50\ \Omega}$ , puis $L=\tau_2(R+r)$ :

L=3{,}0\times10^{-3}\times300=\boxed{0{,}90\ \text{H}}

5 Drill RL-G.5 — deux courbes superposées : conducteur ohmique ou bobine par la valeur à l'origine, puis

E

R

r

L

Entraînement 05 / 05

Drill RL-G.5 — deux courbes superposées : conducteur ohmique ou bobine par la valeur à l'origine, puis $E$ , $R$ , $r$ et $L$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Deux dipôles $D_1$ et $D_2$ sont montés en série avec un générateur idéal de tension de f.é.m. $E$ , un ampèremètre de résistance négligeable et un interrupteur $K$ . L'un est un conducteur ohmique de résistance $R$ , l'autre une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ . À $t=0$ , on ferme $K$ et un oscilloscope à mémoire enregistre les tensions $u_{D_1}(t)$ et $u_{D_2}(t)$ (figure ; la tangente à l'origine de $u_{D_1}$ est tracée en pointillés). En régime permanent, l'ampèremètre indique $I_0=100\ \text{mA}$ .

L'intensité vérifie $\dfrac{di}{dt}+\dfrac1\tau\,i=\dfrac EL$ , de solution $i(t)=I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , où $\tau$ est la constante de temps du circuit.

Nommer le phénomène qui retarde l'établissement du courant et préciser l'élément du circuit qui en est responsable.
Expressions des tensions.
1. Exprimer la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique en fonction de $R$ , $I_0$ , $\tau$ et $t$ .
2. Vérifier qu'à tout instant la tension aux bornes de la bobine s'écrit $u_b(t)=E\,e^{-t/\tau}+r\,I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .
3. Identifier, en le justifiant, le conducteur ohmique parmi $D_1$ et $D_2$ .
En exploitant la figure, déterminer $E$ , la constante de temps $\tau$ et la tension aux bornes de chaque dipôle en régime permanent.
En déduire $R$ et $r$ , puis l'inductance $L$ de la bobine.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. C'est le phénomène d'auto-induction, dû à la bobine : par sa f.é.m. $e=-L\dfrac{di}{dt}$ , elle s'oppose à l'établissement du courant (loi de Lenz).

2.a $u_R=R\,i$ , donc $\boxed{u_R(t)=R\,I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)}$ .

2.b Idée : loi des mailles, puis $E=(R+r)\,I_0$ en régime permanent. $u_b=E-u_R=E-R\,I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ . Or $R\,I_0=E-r\,I_0$ :

u_b=E-(E-rI_0)\left(1-e^{-t/\tau}\right)

En développant, on obtient bien $u_b(t)=E\,e^{-t/\tau}+r\,I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .

2.c À $t=0$ : $u_R(0)=0$ et $u_b(0)=E\ne0$ . Sur la figure, $u_{D_1}$ part de $0$ et $u_{D_2}$ de $8\ \text{V}$ : $\boxed{D_1\text{ est le conducteur ohmique}}$ et $D_2$ la bobine, dont la tension décroît vers $rI_0$ .

3. Idée : $E$ se lit à l'origine de la courbe de la bobine, $\tau$ sur la tangente. $E=u_{D_2}(0)=\boxed{8{,}0\ \text{V}}$ . La tangente à l'origine de $u_{D_1}$ coupe l'asymptote $6{,}0\ \text{V}$ à $\boxed{\tau=5{,}0\ \text{ms}}$ (contrôle : $u_{D_1}(\tau)=0{,}63\times6{,}0\approx3{,}8\ \text{V}$ ). En régime permanent, $R\,I_0=6{,}0\ \text{V}$ et $r\,I_0=2{,}0\ \text{V}$ , dont la somme vaut bien $E$ .

4. $R=\dfrac{6{,}0}{0{,}10}=\boxed{60\ \Omega}$ et $r=\dfrac{2{,}0}{0{,}10}=\boxed{20\ \Omega}$ . La résistance totale du circuit vaut $R+r=80\ \Omega$ et $\tau=\dfrac{L}{R+r}$ :

L=5{,}0\times10^{-3}\times80=\boxed{0{,}40\ \text{H}}

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L'exercice d'identification de trois dipôles : chronogrammes, résistance, condensateur (temps de descente), bobine (τ, r, L, énergie)

Exercice 1 — dipôles RC et RL (6,75 points), dans l’esprit de la session 2021

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RL-G.1 — lire la constante de temps d’une bobine de deux façons

Drill RL-G.2 — équation différentielle de l’établissement du courant dans une bobine

Drill RL-G.3 — montage à deux branches et deux ampèremètres : le condensateur par le régime permanent, puis bobine et conducteur ohmique en série

Drill RL-G.4 — commutateur à deux positions : condensateur ou bobine, par l'intensité en régime permanent, puis $C$ , $r$ et $L$

Drill RL-G.5 — deux courbes superposées : conducteur ohmique ou bobine par la valeur à l'origine, puis $E$ , $R$ , $r$ et $L$

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