RL-JDipôle RL

Mesure de $L$ en courant triangulaire : $u_L=\frac LR\frac{du_R}{dt}$ , pente d'un segment, créneaux et voie inversée

Idée directrice

Aux bornes d'une bobine de résistance négligeable, $u_L=L\frac{di}{dt}$ : quand le courant est triangulaire (il varie linéairement sur chaque demi-période), la tension de la bobine est en créneaux. On visualise $u_R=Ri$ , image de $i$ , et $u_L$ : la pente d'un segment de $u_R$ et la hauteur du palier de $u_L$ sur la même demi-période donnent $L=\frac{R\,u_L}{du_R/dt}$ . Le piège est de signe : la masse placée entre les deux dipôles oblige à inverser une voie. Trajectoire rare au bac, mais activité prévue au programme et fréquente dans les séries et les devoirs.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« délivrant maintenant une tension alternative triangulaire » ; « en appuyant sur le bouton INVERSE de cette voie » ; « Exprimer la tension $u_{MB}(t)$ aux bornes de la bobine en fonction de $L$ , $R$ et $\frac{du_{AM}}{dt}$ » ; « déterminer les valeurs de $u_{MB}$ et $\frac{du_{AM}}{dt}$ sur l'intervalle des temps $[0,\frac{T_2}{2}]$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

$u_L=L\frac{di}{dt}$ (résistance négligeable) et $i=\frac{u_R}{R}$ donnent $u_L=\frac LR\,\frac{du_R}{dt}$ .
Le triangle est l'image de $i$ , les créneaux celle de $\frac{di}{dt}$ : les paliers changent de signe aux sommets du triangle.
Pente sur une demi-période : $\frac{\Delta u}{\Delta t}$ , avec la sensibilité de sa voie (divisions × V/div) et le balayage (divisions × ms/div).
$L=\frac{R\,u_L}{du_R/dt}$ : même valeur sur chaque demi-période, pente et palier changeant de signe ensemble.
Masse entre les deux dipôles : une voie affiche l'opposé de la tension voulue ; le bouton INV rétablit le signe.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire la pente sur une période entière au lieu d'une demi-période ; appliquer à $u_L$ la sensibilité de l'autre voie ; prendre la hauteur crête à crête du créneau ( $1{,}2\ \text{V}$ ) au lieu d'un palier ( $0{,}60\ \text{V}$ ) ; oublier le signe de la voie non inversée, $u_{BM}=-u_{MB}$ , et trouver une inductance négative ; confondre les courbes : la dérivée d'un créneau est nulle sur chaque palier, elle ne peut pas donner un triangle.

Sujet principal

Exercice — mesure de l'inductance d'une bobine (2 points), dans l'esprit de la session principale 2016 (Sciences expérimentales)

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On se propose de mesurer l'inductance $L$ d'une bobine de résistance négligeable. On réalise un circuit série comprenant un générateur basse fréquence $G$ à masse flottante, qui débite un courant d'intensité $i(t)$ triangulaire, un interrupteur $K$ , un résistor de résistance $R=1{,}0\ \text{k}\Omega$ branché entre les points $A$ et $M$ , et la bobine branchée entre les points $M$ et $B$ . Le courant, orienté positivement, traverse le résistor de $A$ vers $M$ puis la bobine de $M$ vers $B$ .

Le point $M$ est relié à la masse d'un oscilloscope bicourbe ; la voie $Y_A$ est branchée en $A$ et la voie $Y_B$ en $B$ . On ferme $K$ et l'on observe simultanément la tension $u_{AM}(t)$ aux bornes du résistor sur la voie $Y_A$ et la tension $u_{MB}(t)$ aux bornes de la bobine sur la voie $Y_B$ , dont on a enfoncé le bouton d'inversion INV. Réglages : voie $Y_A$ : $2\ \text{V/div}$ ; voie $Y_B$ : $0{,}2\ \text{V/div}$ ; balayage : $1\ \text{ms/div}$ . L'origine des dates est au bord gauche de l'écran.

Relation entre les deux tensions.
1. Exprimer la tension $u_{MB}$ aux bornes de la bobine en fonction de $L$ et de $\dfrac{di}{dt}$ .
2. En déduire que $u_{MB}=\dfrac LR\,\dfrac{du_{AM}}{dt}$ .
Branchements.
1. La voie $Y_B$ mesure la tension $u_{BM}$ . Expliquer pourquoi on a enfoncé le bouton INV de cette voie. Quelle tension l'écran afficherait-il sans inversion ?
2. Identifier, en le justifiant, l'oscillogramme qui correspond à chaque voie.
Exploitation des oscillogrammes.
1. Déterminer la période $T$ et la fréquence $N$ du courant débité par $G$ .
2. Déterminer la valeur de $\dfrac{du_{AM}}{dt}$ sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac T2\right]$ .
3. Déterminer la valeur de $u_{MB}$ sur le même intervalle. En déduire l'inductance $L$ de la bobine.
4. Vérifier que l'intervalle $\left[\dfrac T2\,;T\right]$ conduit à la même valeur de $L$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : la résistance de la bobine est négligeable, il ne reste que l'auto-induction. Le courant traverse la bobine de $M$ vers $B$ ; en convention récepteur, $u_{MB}=L\,\dfrac{di}{dt}$ .

1.b La loi d'Ohm pour le résistor, traversé de $A$ vers $M$ , donne $u_{AM}=R\,i$ , donc $i=\dfrac{u_{AM}}{R}$ et, $R$ étant constante, $\dfrac{di}{dt}=\dfrac1R\,\dfrac{du_{AM}}{dt}$ . En reportant dans 1.a :

u_{MB}=\dfrac LR\,\dfrac{du_{AM}}{dt}

2.a Idée : chaque voie mesure le potentiel de son point de branchement par rapport à la masse $M$ . La voie $Y_B$ mesure $u_{BM}=V_B-V_M=-u_{MB}$ . La masse étant placée entre les deux dipôles, l'une des deux tensions est forcément vue « à l'envers » ; le bouton INV fait afficher $-u_{BM}=u_{MB}$ , tension de la bobine en convention récepteur, comme $u_{AM}$ pour le résistor. Sans inversion, l'écran afficherait $u_{BM}=-\dfrac LR\,\dfrac{du_{AM}}{dt}$ : des créneaux de signe opposé, qui donneraient une inductance négative si l'on appliquait la relation 1.b.

2.b Idée : $u_{AM}$ est l'image de $i$ , $u_{MB}$ celle de sa dérivée. $u_{AM}=R\,i$ reproduit la forme triangulaire du courant : c'est $(\mathcal C_1)$ , sur la voie $Y_A$ . Sur chaque demi-période, $i$ varie linéairement : $\dfrac{du_{AM}}{dt}$ y est constante et change de signe à chaque sommet, donc $u_{MB}$ est en créneaux : c'est $(\mathcal C_2)$ , sur la voie $Y_B$ . D'après les courbes, $(\mathcal C_2)$ est sur son palier positif quand $(\mathcal C_1)$ croît, en accord avec le signe de la relation 1.b.

3.a Le triangle $(\mathcal C_1)$ se reproduit toutes les 4 divisions : $T=4\times1=\boxed{4\ \text{ms}}$ et $N=\dfrac1T=\boxed{250\ \text{Hz}}$ .

3.b Idée : une pente se lit sur une demi-période, entre deux sommets consécutifs. Sur $[0\,;2\ \text{ms}]$ , $u_{AM}$ croît linéairement de $-2$ à $+2$ divisions, soit de $-4\ \text{V}$ à $+4\ \text{V}$ ( $2\ \text{V/div}$ ) :

\dfrac{du_{AM}}{dt}=\dfrac{4-(-4)}{2\times10^{-3}}

\dfrac{du_{AM}}{dt}=\boxed{4{,}0\times10^{3}\ \text{V·s}^{-1}}

3.c Sur le même intervalle, le palier de $(\mathcal C_2)$ est à $+3$ divisions : $u_{MB}=3\times0{,}2=\boxed{0{,}60\ \text{V}}$ . D'après 1.b, $L=\dfrac{R\,u_{MB}}{du_{AM}/dt}$ :

L=\dfrac{1{,}0\times10^{3}\times0{,}60}{4{,}0\times10^{3}}

L=\boxed{0{,}15\ \text{H}}

3.d Sur $[2\ \text{ms}\,;4\ \text{ms}]$ , $u_{AM}$ décroît de $+4\ \text{V}$ à $-4\ \text{V}$ : $\dfrac{du_{AM}}{dt}=-4{,}0\times10^{3}\ \text{V·s}^{-1}$ , et le palier de $(\mathcal C_2)$ est à $-3$ divisions : $u_{MB}=-0{,}60\ \text{V}$ . Le quotient $\dfrac{R\,u_{MB}}{du_{AM}/dt}=\dfrac{10^{3}\times(-0{,}60)}{-4{,}0\times10^{3}}$ redonne $0{,}15\ \text{H}$ : la pente et le palier changent de signe ensemble.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : voie $Y_B$ inversée pour afficher la tension de la bobine avec le bon signe (principale 2016, Sciences expérimentales) ; relation $u_{AM}=-\frac LR\frac{du_{BM}}{dt}$ sans inversion, puis choix d'une sensibilité (contrôle 2020, Sciences de l'informatique — drill RL-D.2) ; dans les séries et devoirs : intensité imposée par morceaux par un générateur de courant, f.é.m. $e=-L\frac{di}{dt}$ en créneaux (drill RL-J.1) ; compensation de la résistance de la bobine par $R_0=r$ au logiciel (drill RL-J.2). Aucune session de la section Mathématiques entre 2015 et 2026 ne la pose.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-J.1 — intensité imposée par segments : f.é.m. d'auto-induction en créneaux et représentation de

u_L

à l'écran

Entraînement 01 / 02

Drill RL-J.1 — intensité imposée par segments : f.é.m. d'auto-induction en créneaux et représentation de $u_L$ à l'écran

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une bobine d'inductance $L=0{,}40\ \text{H}$ et de résistance négligeable est branchée aux bornes d'un générateur de courant qui lui impose l'intensité $i(t)$ représentée ci-dessous, formée de segments.

Rappeler l'expression de la f.é.m. d'auto-induction $e$ de la bobine en fonction de $L$ et de $\dfrac{di}{dt}$ , puis celle de la tension $u_L$ à ses bornes, orientée en convention récepteur.
Déterminer, pour chacun des intervalles de temps $[0\,;4]$ , $[4\,;8]$ , $[8\,;14]$ , $[14\,;16]$ et $[16\,;20]$ (en ms), la valeur de $e$ .
On visualise $u_L$ sur un oscilloscope réglé à $0{,}5\ \text{V/div}$ et $2\ \text{ms/div}$ . Préciser, pour chaque intervalle, la position du palier de $u_L$ en divisions, puis représenter $u_L(t)$ sur un écran de 10 divisions.
Énergie magnétique.
1. Calculer l'énergie maximale emmagasinée par la bobine et préciser pendant quel intervalle elle l'est.
2. Calculer l'énergie emmagasinée à la date $t=12\ \text{ms}$ , ainsi que la valeur de $e$ à cette date. Commenter.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $e=-L\,\dfrac{di}{dt}$ ; la bobine étant de résistance négligeable, $u_L=L\,\dfrac{di}{dt}=-e$ .

2. Idée : sur chaque segment, $\dfrac{di}{dt}$ est la pente du segment, constante. D'après le graphe :

$[0\,;4]$ : $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{10\times10^{-3}}{4\times10^{-3}}=2{,}5\ \text{A·s}^{-1}$ , donc $e=\boxed{-1{,}0\ \text{V}}$ ;
$[4\,;8]$ : $i$ constante, $\dfrac{di}{dt}=0$ , donc $\boxed{e=0}$ ;
$[8\,;14]$ : $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{-15\times10^{-3}}{6\times10^{-3}}=-2{,}5\ \text{A·s}^{-1}$ , donc $e=\boxed{+1{,}0\ \text{V}}$ ;
$[14\,;16]$ : $\boxed{e=0}$ ;
$[16\,;20]$ : $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{5\times10^{-3}}{4\times10^{-3}}=1{,}25\ \text{A·s}^{-1}$ , donc $e=\boxed{-0{,}50\ \text{V}}$ .

Quand $i$ croît, $e<0$ : d'après la loi de Lenz, la bobine s'oppose à l'augmentation du courant ; quand $i$ décroît, $e>0$ ; quand $i$ est constante, la bobine n'est le siège d'aucune f.é.m.

3. Idée : $u_L=-e$ , et le nombre de divisions vaut $\dfrac{u_L}{0{,}5}$ . Paliers : $+2$ divisions sur $[0\,;4]$ (2 divisions de temps), $0$ sur $[4\,;8]$ (2 divisions), $-2$ divisions sur $[8\,;14]$ (3 divisions), $0$ sur $[14\,;16]$ (1 division), $+1$ division sur $[16\,;20]$ (2 divisions) :

4.a Idée : $E_L=\frac12Li^2$ est maximale quand $|i|$ l'est. $|i|_{\max}=10\ \text{mA}$ sur $[4\,;8]$ ms :

E_{L,\max}=\tfrac12\times0{,}40\times(10^{-2})^2

E_{L,\max}=\boxed{2{,}0\times10^{-5}\ \text{J}}

4.b À $t=12\ \text{ms}$ (segment $[8\,;14]$ ), $i=10-2{,}5\times(12-8)=0$ ( $i$ en mA, $t$ en ms) : $E_L=\boxed{0}$ . Pourtant $e=+1{,}0\ \text{V}$ : la f.é.m. d'auto-induction dépend de la variation de l'intensité, $\dfrac{di}{dt}$ , et non de sa valeur.

2 Drill RL-J.2 — bobine résistive : compensation de

r

par

R_0=r

au logiciel, puis inductance par la pente

Entraînement 02 / 02

Drill RL-J.2 — bobine résistive : compensation de $r$ par $R_0=r$ au logiciel, puis inductance par la pente

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Pour mesurer l'inductance $L$ d'une bobine dont la résistance $r$ n'est pas négligeable, on la monte en série avec une boîte de résistances réglable $R_0$ et un générateur basse fréquence qui débite un courant $i(t)$ triangulaire. La bobine est branchée entre les points $A$ et $M$ , la boîte $R_0$ entre $M$ et $B$ ; le courant, orienté positivement, traverse la bobine de $A$ vers $M$ puis $R_0$ de $M$ vers $B$ . Une interface d'acquisition, dont la masse est reliée à $M$ , mesure $u_1=u_{AM}$ et $u_2=u_{BM}$ ; un logiciel affiche l'intensité $i(t)$ et la tension $u=u_1+u_2$ .

Une fois $R_0$ convenablement réglé (question 3), le logiciel affiche les courbes des figures 1 et 2.

Exprimer $u_2$ en fonction de $R_0$ et de $i$ . Quelles opérations le logiciel doit-il effectuer sur $u_2$ pour afficher $i(t)$ ?
Montrer que $u=L\,\dfrac{di}{dt}+(r-R_0)\,i$ . Pour quelle valeur de $R_0$ a-t-on $u=L\,\dfrac{di}{dt}$ ?
On règle $R_0$ jusqu'à ce que les paliers de $u(t)$ deviennent horizontaux ; un ohmmètre indique alors $R_0=12\ \Omega$ . Justifier ce critère de réglage et en déduire $r$ .
Déterminer, sur l'intervalle $[0\,;5\ \text{ms}]$ , les valeurs de $\dfrac{di}{dt}$ et de $u$ . En déduire l'inductance $L$ .
Avant le réglage, $R_0$ valait $4\ \Omega$ (le générateur imposant le même courant). Calculer $u$ au début ( $t=0$ ) et à la fin (juste avant $t=5\ \text{ms}$ ) du premier palier : de combien ce palier était-il incliné ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $R_0$ est traversé de $M$ vers $B$ , donc $u_{MB}=R_0\,i$ . $u_2=u_{BM}=\boxed{-R_0\,i}$ . Pour afficher $i$ , le logiciel doit changer le signe de $u_2$ et le diviser par $R_0$ : $i=-\dfrac{u_2}{R_0}$ .

2. La bobine, traversée de $A$ vers $M$ , a pour tension $u_1=r\,i+L\,\dfrac{di}{dt}$ . D'où

u=u_1+u_2=L\,\dfrac{di}{dt}+(r-R_0)\,i

Pour $R_0=r$ , le terme en $i$ disparaît : $u=L\,\dfrac{di}{dt}$ .

3. Idée : sur une demi-période, $\dfrac{di}{dt}$ est constante mais $i$ varie linéairement. Tant que $R_0\ne r$ , le terme $(r-R_0)\,i$ ajoute à chaque palier une rampe proportionnelle à $i$ : les paliers sont inclinés. Ils ne deviennent horizontaux que pour $R_0=r$ , d'où $\boxed{r=12\ \Omega}$ .

4. Figure 1 : sur $[0\,;5\ \text{ms}]$ , $i$ croît de $-20\ \text{mA}$ à $+20\ \text{mA}$ :

\dfrac{di}{dt}=\dfrac{40\times10^{-3}}{5\times10^{-3}}=8{,}0\ \text{A·s}^{-1}

Figure 2 : sur le même intervalle, $u=1{,}6\ \text{V}$ . Comme $u=L\,\dfrac{di}{dt}$ :

L=\dfrac{1{,}6}{8{,}0}=\boxed{0{,}20\ \text{H}}

5. Avec $R_0=4\ \Omega$ : $u=1{,}6+(12-4)\,i$ ( $i$ en A). À $t=0$ , $i=-0{,}020\ \text{A}$ et $u=1{,}6-0{,}16=\boxed{1{,}44\ \text{V}}$ ; juste avant $t=5\ \text{ms}$ , $i=+0{,}020\ \text{A}$ et $u=\boxed{1{,}76\ \text{V}}$ . Le palier montait de $0{,}32\ \text{V}$ , soit $\pm10\ \%$ autour de $1{,}6\ \text{V}$ : un défaut bien visible, qui guide le réglage.

Relier ce raisonnement au bac

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Mesure de $L$ en courant triangulaire : $u_L=\frac LR\frac{du_R}{dt}$ , pente d'un segment, créneaux et voie inversée

Exercice — mesure de l'inductance d'une bobine (2 points), dans l'esprit de la session principale 2016 (Sciences expérimentales)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RL-J.1 — intensité imposée par segments : f.é.m. d'auto-induction en créneaux et représentation de $u_L$ à l'écran

Drill RL-J.2 — bobine résistive : compensation de $r$ par $R_0=r$ au logiciel, puis inductance par la pente

Relier ce raisonnement au bac

Mesure de LLL en courant triangulaire : uL=LRduRdtu_L=\frac LR\frac{du_R}{dt}uL​=RL​dtduR​​, pente d'un segment, créneaux et voie inversée

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Mesure de $L$ en courant triangulaire : $u_L=\frac LR\frac{du_R}{dt}$ , pente d'un segment, créneaux et voie inversée