RL-IDipôle RL

Famille de réponses RL : attribuer des courbes $i(t)$ à des bobines par l'asymptote et la tangente à l'origine, puis exploiter

Idée directrice

Quand l'énoncé superpose plusieurs réponses d'un dipôle RL, on n'étudie pas chaque circuit : on relie deux traits de chaque courbe aux paramètres. L'asymptote donne $I_0=\frac{E}{R+r}$ (elle ne dépend pas de $L$ ) ; la tangente à l'origine a pour pente $\left(\frac{di}{dt}\right)_0=\frac EL$ (elle ne dépend pas des résistances), et la constante de temps $\tau=\frac{L}{R+r}$ se lit à son intersection avec l'asymptote. Deux courbes de même asymptote ont la même résistance totale ; deux courbes de même pente initiale ont la même inductance.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Attribuer, en le justifiant, chacune des courbes … au circuit correspondant » ; « la courbe … admet une asymptote … » ; « la tangente à l'origine … » ; « la courbe $\frac1\tau=f(R)$ »

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Asymptote : $I_0=\frac{E}{R+r}$ (indépendante de $L$ ) ; tangente à l'origine : pente $\frac EL$ (indépendante des résistances).
$\tau=\frac{L}{R+r}$ : intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote, ou date à laquelle $i=0{,}63\,I_0$ .
Pour attribuer : comparer d'abord les asymptotes (résistances), puis les pentes initiales (inductances).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Croire que la courbe la plus lente est celle de plus grande résistance (c'est l'inverse : $\tau$ diminue quand la résistance augmente) ; attribuer les courbes au seul critère de la rapidité sans regarder l'asymptote ; oublier $R$ dans la résistance totale.

Sujet principal

Exercice 1 — dipôle RL (3,5 points), dans l'esprit des sessions 2016–2026

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un générateur idéal de f.é.m. $E=12\ \text{V}$ alimente successivement trois circuits formés d'un conducteur ohmique $R=50\ \Omega$ en série avec l'une des bobines suivantes : $B_1\,(L,\,r)$ , $B_2\,(2L,\,r)$ et $B_3\,(L,\,2r)$ . Pour chaque circuit, on enregistre l'intensité $i(t)$ après la fermeture de l'interrupteur : on obtient les courbes (a), (b) et (c) ; les droites en tirets sont les tangentes à ces courbes à l'instant $t=0$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ pour une bobine $(L',r')$ et exprimer la constante de temps $\tau'$ et l'intensité $I'_0$ du régime permanent.
Montrer que la tangente à l'origine de $i(t)$ a pour coefficient directeur $\dfrac{E}{L'}$ .
Sans calcul, attribuer chaque courbe à sa bobine en justifiant : on comparera les asymptotes, puis les tangentes à l'origine.
En exploitant la courbe attribuée à $B_1$ , déterminer $r$ puis $L$ .
Calculer la constante de temps de chacun des trois circuits et classer les circuits de la plus rapide à la plus lente installation du courant.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $E=(R+r')i+L'\frac{di}{dt}$ , soit $\frac{di}{dt}+\frac{R+r'}{L'}i=\frac{E}{L'}$ : $\tau'=\frac{L'}{R+r'}$ et, en régime permanent, $I'_0=\frac{E}{R+r'}$ .

2. À $t=0$ , $i=0$ : l'équation donne $\left(\frac{di}{dt}\right)_0=\frac{E}{L'}$ .

3. Idée : l'asymptote ne dépend que de la résistance totale, la pente à l'origine que de l'inductance. $B_1$ et $B_2$ ont la même résistance $r$ : même asymptote, ce sont (a) et (b) ; $B_3$ a $2r$ : asymptote plus basse, c'est la courbe (c). Entre (a) et (b), la pente à l'origine $\frac EL$ est plus grande pour la plus petite inductance : (b) correspond à $B_1$ ( $L$ ) et (a) à $B_2$ ( $2L$ ). Les courbes (b) et (c) ont d'ailleurs la même tangente à l'origine : $B_1$ et $B_3$ ont la même inductance $L$ .

4. Asymptote de (b) : $I_0=160\ \text{mA}$ , donc $R+r=\frac{12}{0{,}160}=75\ \Omega$ et $r=\boxed{25\ \Omega}$ . La tangente à l'origine de (b) atteint $160\ \text{mA}$ à $t=4\ \text{ms}$ : pente $\frac{0{,}160}{4\times10^{-3}}=40\ \text{A·s}^{-1}=\frac EL$ , donc $L=\frac{12}{40}=\boxed{0{,}30\ \text{H}}$ (ou : $\tau_1=4\ \text{ms}$ et $L=\tau_1(R+r)$ ).

5. $\tau_1=\frac{0{,}30}{75}=4{,}0\ \text{ms}$ ; $\tau_2=\frac{0{,}60}{75}=8{,}0\ \text{ms}$ ; $\tau_3=\frac{0{,}30}{100}=3{,}0\ \text{ms}$ . Du plus rapide au plus lent : $B_3$ , $B_1$ , $B_2$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : trois bobines $(L,r)$ , $(2L,r)$ et $(1{,}5L,2r)$ comparées par leurs constantes de temps et leurs tensions de régime permanent sur $u_R$ (principale 2026, Mathématiques) ; courbe $\frac1\tau=f(R)$ et détermination de $L$ et $r$ (contrôle 2020, Sciences expérimentales) ; deux bobines donnant la même intensité en régime permanent (principale 2022, Sciences expérimentales) ; effet d'une modification de $E$ puis de $R$ sur la tangente et l'asymptote (contrôle 2023, Sciences expérimentales).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-I.1 — droite

\frac1\tau=f(R)

: inductance et résistance de la bobine

Entraînement 01 / 01

Drill RL-I.1 — droite $\frac1\tau=f(R)$ : inductance et résistance de la bobine

4 questionsCorrigé masqué

Une même bobine $(L,r)$ est placée en série avec un conducteur ohmique de résistance $R$ réglable. Pour chaque valeur de $R$ , on mesure la constante de temps $\tau$ de l'établissement du courant :

$R=20\ \Omega$ : $\frac1\tau=150\ \text{s}^{-1}$ ; $R=50\ \Omega$ : $\frac1\tau=300\ \text{s}^{-1}$ ; $R=80\ \Omega$ : $\frac1\tau=450\ \text{s}^{-1}$ .

Montrer que $\dfrac1\tau=\dfrac1L\,R+\dfrac rL$ .
Vérifier que les mesures sont alignées et déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite $\frac1\tau=f(R)$ .
En déduire $L$ et $r$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\tau=\frac{L}{R+r}$ , donc $\frac1\tau=\frac{R+r}{L}=\frac1L\,R+\frac rL$ : fonction affine de $R$ .

2. Entre $R=20$ et $R=50$ : $\frac{300-150}{30}=5$ ; entre $R=50$ et $R=80$ : $\frac{450-300}{30}=5$ : même pente, les points sont alignés. Pente $a=5\ \text{H}^{-1}$ ; ordonnée à l'origine $b=150-5\times20=50\ \text{s}^{-1}$ .

3. $a=\frac1L$ donne $L=\boxed{0{,}20\ \text{H}}$ ; $b=\frac rL$ donne $r=50\times0{,}20=\boxed{10\ \Omega}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

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