RL-HDipôle RL

Dipôle RL lu sur la tension aux bornes de la bobine : justifier $r\ne0$ , $E=u_B(0)$ , $\tau$ , $I_0$ , $r$ et $L$

Idée directrice

Lors de l'établissement du courant dans un dipôle RL, l'énoncé fait souvent visualiser la tension aux bornes de la bobine $u_B=ri+L\frac{di}{dt}$ . À $t=0$ , $i=0$ : toute la tension du générateur est aux bornes de la bobine, $u_B(0)=E$ . En régime permanent, $\frac{di}{dt}=0$ : $u_B=rI_0$ , non nulle si la bobine est résistive — c'est la justification attendue de $r\ne0$ . Entre les deux, $u_B$ décroît exponentiellement avec la constante de temps $\tau=\frac{L}{R+r}$ , lue sur la tangente à l'origine.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Nommer le phénomène responsable du retard » ; « justifier que la bobine a une résistance $r$ non nulle » ; « montrer que $u_B(t)=\frac{RE}{R+r}e^{-t/\tau}+\frac{rE}{R+r}$ » ; « déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ »

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À $t=0$ : $i=0$ , $u_R=0$ , $u_B=E$ . En régime permanent : $u_B=rI_0$ , $u_R=RI_0$ , $I_0=\frac{E}{R+r}$ .
Justifier $r\ne0$ : la tension aux bornes de la bobine en régime permanent n'est pas nulle (courbe ou voltmètre).
Équation différentielle par la loi des mailles ; identifier $\tau=\frac{L}{R+r}$ ; vérifier la solution et la condition initiale.
$\tau$ graphiquement : intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote, ou date où la variation a accompli $63\ \%$ de son total.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre la courbe de $u_B$ (décroissante, départ à $E$ ) avec celle de $u_R$ (croissante, départ à $0$ ) ; écrire $u_B=L\frac{di}{dt}$ en oubliant $ri$ ; conclure $r=0$ parce que la courbe « tend vers une petite valeur » ; oublier que $\tau$ fait intervenir la résistance totale $R+r$ ; lire $\tau$ sur $u_B$ à $37\ \%$ de $E$ au lieu de $37\ \%$ de la variation.

Sujet principal

Exercice 1 — dipôle RL (4 points), dans l'esprit des sessions 2016–2026

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit série comprend un générateur idéal de tension de f.é.m. $E$ , un interrupteur $K$ , un conducteur ohmique de résistance $R=100\ \Omega$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ . À l'instant $t=0$ , on ferme $K$ . Un oscilloscope à mémoire permet de visualiser la tension $u_B(t)$ aux bornes de la bobine ; on obtient la courbe ci-dessous.

Nommer le phénomène responsable du retard à l'établissement du courant et préciser l'élément du circuit qui en est responsable.
Exploitation qualitative de la courbe.
1. Justifier que $u_B(0)=E$ et donner la valeur de $E$ .
2. Justifier que la bobine a une résistance $r$ non nulle.
Étude théorique.
1. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ et montrer qu'elle s'écrit $\dfrac{di}{dt}+\dfrac1\tau\,i=\dfrac EL$ avec $\tau=\dfrac{L}{R+r}$ .
2. Vérifier que $i(t)=I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ est solution, avec $I_0=\dfrac{E}{R+r}$ .
3. En déduire que $u_B(t)=\dfrac{RE}{R+r}\,e^{-t/\tau}+\dfrac{rE}{R+r}$ .
Exploitation quantitative.
1. Lire la valeur de $u_B$ en régime permanent. En déduire $I_0$ , puis $r$ .
2. Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ (on tracera la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ ), puis calculer $L$ .
Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent, puis la date $t_1$ à laquelle $u_B(t_1)=u_R(t_1)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. C'est le phénomène d'auto-induction, dû à la bobine : elle s'oppose à la variation du courant qui la traverse.

2.a Idée : à $t=0$ , l'intensité est encore nulle (continuité du courant dans une bobine). $u_R(0)=Ri(0)=0$ , donc la loi des mailles $E=u_R+u_B$ donne $u_B(0)=E$ . Sur la courbe, $\boxed{E=12\ \text{V}}$ .

2.b En régime permanent, $\frac{di}{dt}=0$ et $u_B=rI_0$ . La courbe tend vers $2\ \text{V}\ne0$ : $rI_0\ne0$ avec $I_0\ne0$ , donc $r\ne0$ — la bobine est résistive.

3.a Loi des mailles : $E=Ri+ri+L\dfrac{di}{dt}$ . En divisant par $L$ : $\dfrac{di}{dt}+\dfrac{R+r}{L}\,i=\dfrac EL$ , soit $\dfrac{di}{dt}+\dfrac1\tau\,i=\dfrac EL$ avec $\tau=\dfrac{L}{R+r}$ .

3.b $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$ , donc $\dfrac{di}{dt}+\dfrac{i}{\tau}=\dfrac{I_0}{\tau}=\dfrac{E}{(R+r)}\cdot\dfrac{R+r}{L}=\dfrac EL$ ; et $i(0)=0$ : $i(t)$ est la solution cherchée.

3.c $u_B=E-u_R=E-RI_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)=E-\dfrac{RE}{R+r}+\dfrac{RE}{R+r}e^{-t/\tau}$ , et $E-\dfrac{RE}{R+r}=\dfrac{rE}{R+r}$ : $u_B(t)=\dfrac{RE}{R+r}\,e^{-t/\tau}+\dfrac{rE}{R+r}$ .

4.a En régime permanent $u_B=rI_0=2\ \text{V}$ , donc $u_R=E-u_B=10\ \text{V}$ et $I_0=\dfrac{u_R}{R}=\dfrac{10}{100}=\boxed{0{,}10\ \text{A}}$ . Puis $r=\dfrac{2}{0{,}10}=\boxed{20\ \Omega}$ .

4.b Idée : la tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'instant $t=\tau$ . La tangente à $t=0$ part de $(0\ ;12\ \text{V})$ avec la pente $-\frac{RE}{(R+r)\tau}$ ; elle coupe l'asymptote $u_B=2\ \text{V}$ en $t=\tau$ : on lit $\boxed{\tau=5\ \text{ms}}$ (au même instant, $u_B$ vaut $2+10\,e^{-1}\approx5{,}7\ \text{V}$ ). Alors $L=\tau(R+r)=5\times10^{-3}\times120=\boxed{0{,}60\ \text{H}}$ .

5. $E_L=\frac12LI_0^2=\frac12\times0{,}60\times0{,}10^2=\boxed{3{,}0\times10^{-3}\ \text{J}}$ . Et $u_B=u_R$ équivaut à $10e^{-t/\tau}+2=10\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , soit $e^{-t/\tau}=\frac25$ : $t_1=\tau\ln\frac52\approx\boxed{4{,}6\ \text{ms}}$ (à cet instant $u_B=u_R=6\ \text{V}=\frac E2$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : « justifier que la bobine a une résistance $r$ non nulle » sur la courbe de $u_B$ (contrôle 2021, Sciences expérimentales) ; voltmètre aux bornes de la bobine en régime permanent (principale 2017, Sciences expérimentales) ; date où $u_B=u_R=\frac E2$ (principale 2025, Sciences expérimentales) ; allure de $u_B(t)$ à tracer avec ses valeurs à la fermeture et en régime permanent (contrôle 2018, Sciences expérimentales) ; tensions en régime permanent $\frac{RE}{R+r}$ et $\frac{rE}{R+r}$ lues sur une seule courbe (principale 2026, Mathématiques).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-H.1 — voltmètre aux bornes de la bobine en régime permanent :

r

I_0

L

Entraînement 01 / 01

Drill RL-H.1 — voltmètre aux bornes de la bobine en régime permanent : $r$ , $I_0$ et $L$

4 questionsCorrigé masqué

Une bobine $(L,r)$ est montée en série avec un conducteur ohmique $R_0=40\ \Omega$ et un générateur idéal de tension $E=9{,}0\ \text{V}$ . Un voltmètre est branché aux bornes de la bobine. On ferme l'interrupteur à $t=0$ ; en régime permanent, le voltmètre indique $U_1=1{,}8\ \text{V}$ .

Justifier que la bobine possède une résistance $r$ non nulle.
Montrer que $r=\dfrac{R_0\,U_1}{E-U_1}$ et calculer $r$ ; en déduire $I_0$ .
Une étude à l'oscilloscope donne la constante de temps $\tau=10\ \text{ms}$ . Calculer $L$ .
Quelle serait l'indication du voltmètre juste après la fermeture de l'interrupteur (s'il pouvait la suivre) ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En régime permanent $\frac{di}{dt}=0$ et la tension aux bornes de la bobine vaut $rI_0$ ; le voltmètre indique $1{,}8\ \text{V}\ne0$ , donc $r\ne0$ .

2. En régime permanent, $U_1=rI_0$ et $E-U_1=R_0I_0$ . En divisant : $\frac{U_1}{E-U_1}=\frac{r}{R_0}$ , d'où $r=\frac{R_0U_1}{E-U_1}=\frac{40\times1{,}8}{7{,}2}=\boxed{10\ \Omega}$ et $I_0=\frac{E-U_1}{R_0}=\frac{7{,}2}{40}=\boxed{0{,}18\ \text{A}}$ .

3. $\tau=\frac{L}{R_0+r}$ , donc $L=\tau(R_0+r)=10\times10^{-3}\times50=\boxed{0{,}50\ \text{H}}$ .

4. Juste après la fermeture, $i=0$ (l'intensité ne subit pas de discontinuité dans une bobine), donc $u_{R_0}=0$ et la tension aux bornes de la bobine vaut $E=9{,}0\ \text{V}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Drill RL-H.1 — voltmètre aux bornes de la bobine en régime permanent : $r$ , $I_0$ et $L$

Relier ce raisonnement au bac

Dipôle RL lu sur la tension aux bornes de la bobine : justifier r≠0r\ne0r=0, E=uB(0)E=u_B(0)E=uB​(0), τ\tauτ, I0I_0I0​, rrr et LLL

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Dipôle RL lu sur la tension aux bornes de la bobine : justifier $r\ne0$ , $E=u_B(0)$ , $\tau$ , $I_0$ , $r$ et $L$