SG-EProduction et conversion de signaux

Multivibrateur astable à AOP : tensions de basculement, durées $T_1$ et $T_2$ par la formule logarithmique, rapport cyclique et montage dissymétrique

Idée directrice

Un multivibrateur astable, c'est un comparateur à deux seuils qui se commande lui-même à travers un dipôle RC. Tout part du diviseur $R_1$ , $R_2$ : l'amplificateur saturé bascule quand $\varepsilon=\frac{R_1}{R_1+R_2}u_S-u_C$ change de signe, donc quand $u_C$ atteint $U_{HB}=\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{sat}$ ou $U_{BH}=-U_{HB}$ . Entre deux basculements, $u_C$ évolue vers la tension de sortie sans jamais l'atteindre : chaque durée d'état s'obtient par $\Delta t=RC\ln\frac{U_i-U_f}{U_a-U_f}$ (départ, arrivée, tension visée). L'enregistrement ne vient qu'ensuite : il donne $U_{sat}$ , les seuils, $T_1$ et $T_2$ , d'où l'on tire $R_2$ , $C$ et le rapport cyclique.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Montrer que la tension $u_1$ aux bornes de $R_1$ s'écrit $u_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}u_s$ » ; « Exprimer les tensions de basculement de haut vers le bas $U_{HB}$ et de bas vers le haut $U_{BH}$ » ; « la tension visée et non atteinte par $u_C(t)$ » ; « Calculer le rapport cyclique $\delta$ » ; « Justifier qu'il s'agit d'un multivibrateur dissymétrique »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Comparateur : écrire $\varepsilon=V_+-V_-$ avec le diviseur (courant d'entrée nul), puis chercher le changement de signe ; les tensions de basculement valent $\pm\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{sat}$ quand c'est $R_1$ qui relie l'entrée non inverseuse à la masse (au numérateur figure toujours la résistance du diviseur reliée à la masse, jamais le $R$ du dipôle RC).
Durée d'un état : identifier le départ $U_i$ , l'arrivée $U_a$ et la tension visée $U_f$ (la valeur de la sortie pendant cet état), puis $\Delta t=RC\ln\frac{U_i-U_f}{U_a-U_f}$ .
Sur l'enregistrement : $U_{sat}$ sur les paliers de la sortie, $U_{HB}$ et $U_{BH}$ sur les extremums de $u_C$ , $T_1$ et $T_2$ sur la durée des paliers.
Rapport cyclique $\delta=\frac{T_1}{T_1+T_2}$ : $0{,}5$ pour un montage symétrique ; une résistance différente dans chaque sens (diodes) ou des tensions visées dissymétriques (porte CMOS entre $0$ et $E_H$ ) rendent $T_1\ne T_2$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Échanger $U_{HB}$ et $U_{BH}$ (le basculement « du haut vers le bas » a lieu au seuil positif, atteint par $u_C$ en montant) ; prendre $U_f=U_{HB}$ alors que $u_C$ vise $\pm U_{sat}$ sans l'atteindre ; se tromper de rapport quand le diviseur est dessiné autrement (c'est la résistance reliée à la masse qui est au numérateur) ; lire les seuils sur la courbe de sortie au lieu des extremums de $u_C$ ; croire que les diodes changent les seuils : elles ne changent que les durées.

Sujet principal

Exercice 2 — multivibrateur astable (6,5 points), dans l'esprit des sessions 2015–2022

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

I — Le comparateur. Le montage de la figure 1 comprend un amplificateur opérationnel supposé idéal, polarisé sous $\pm15\ \text{V}$ , et deux conducteurs ohmiques de résistances $R_1$ et $R_2$ . La tension $u_e$ est appliquée entre l'entrée inverseuse A et la masse ; l'entrée non inverseuse B est reliée à la masse par $R_1$ et à la sortie S par $R_2$ .

Montrer que la tension aux bornes de $R_1$ s'écrit $u_1=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,u_S$ .
En déduire que la tension différentielle s'écrit $\varepsilon=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,u_S-u_e$ .
L'amplificateur fonctionne en régime saturé : $u_S=+U_{sat}$ si $\varepsilon>0$ et $u_S=-U_{sat}$ si $\varepsilon<0$ . Exprimer, en fonction de $U_{sat}$ , $R_1$ et $R_2$ , la tension de basculement du haut vers le bas $U_{HB}$ et celle du bas vers le haut $U_{BH}$ .

II — Le multivibrateur astable. On relie l'entrée inverseuse N à la sortie S par un conducteur ohmique de résistance $R=10\ \text{k}\Omega$ , et à la masse par un condensateur de capacité $C$ (figure 2) : la tension d'entrée est désormais la tension $u_C$ aux bornes du condensateur. Un système d'acquisition enregistre $u_S(t)$ et $u_C(t)$ en régime établi (figure 3) ; $T_1$ et $T_2$ désignent les durées de l'état haut et de l'état bas de la sortie. La figure 4 sert à la question 4.

Montrer que la tension $u_C$ vérifie l'équation différentielle $RC\dfrac{du_C}{dt}+u_C=u_S$ .
On admet que la durée $\Delta t$ nécessaire pour que $u_C$ passe d'une valeur initiale $U_i$ à une valeur $U_a$ , la sortie gardant la même valeur, est $\Delta t=RC\ln\dfrac{U_i-U_f}{U_a-U_f}$ , où $U_f$ est la tension visée, et jamais atteinte, par $u_C$ .
1. Préciser, pendant l'état haut, les valeurs de $U_i$ , $U_a$ et $U_f$ . Montrer que $T_1=RC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)$ .
2. Montrer que $T_2=T_1$ . En déduire l'expression de la période $T$ du multivibrateur.
Exploitation de l'enregistrement de la figure 3.
1. Identifier, en le justifiant, la courbe qui représente $u_S(t)$ .
2. Déterminer graphiquement $U_{sat}$ , $U_{HB}$ et $U_{BH}$ . En déduire la valeur de $R_2$ , sachant que $R_1=4{,}0\ \text{k}\Omega$ .
3. Déterminer graphiquement $T_1$ et $T_2$ . Calculer la période $T$ et le rapport cyclique $\delta=\dfrac{T_1}{T_1+T_2}$ .
4. En déduire la valeur de la capacité $C$ .
Pour modifier le rapport cyclique, on remplace le conducteur ohmique $R$ par les deux branches de la figure 4 : la diode $D_1$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $2R$ , la diode $D_2$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $R/2$ . Les diodes sont supposées idéales.
1. Préciser la diode passante pendant l'état haut, puis pendant l'état bas. En déduire les nouvelles durées $T'_1$ et $T'_2$ en fonction de $T_1$ , puis leurs valeurs.
2. Calculer la nouvelle période $T'$ et le nouveau rapport cyclique $\delta'$ . Justifier que le multivibrateur est devenu dissymétrique.
3. Représenter l'allure de $u_S(t)$ et de $u_C(t)$ sur deux périodes, en précisant les valeurs extrêmes de $u_C$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 Idée : l'amplificateur idéal n'absorbe aucun courant, $R_1$ et $R_2$ sont donc en série. Comme $i^+=0$ , $R_1$ et $R_2$ sont parcourues par le même courant $i_1$ . D'après la loi des mailles (sortie S, point B, masse) : $u_S=(R_1+R_2)\,i_1$ , et $u_1=R_1\,i_1$ :

u_1=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,u_S

I.2 D'après la loi des mailles dans la maille formée par les deux entrées et la masse, $\varepsilon=V_B-V_A=u_1-u_e$ , soit $\varepsilon=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,u_S-u_e$ .

I.3 Idée : la sortie bascule quand $\varepsilon$ change de signe, c'est-à-dire quand $u_e$ atteint $\frac{R_1}{R_1+R_2}u_S$ . Sortie à l'état haut ( $u_S=+U_{sat}$ ) : $\varepsilon>0$ tant que $u_e<\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{sat}$ ; la sortie passe à l'état bas quand $u_e$ atteint cette valeur. Sortie à l'état bas : elle repasse à l'état haut quand $u_e$ descend jusqu'à $-\frac{R_1}{R_1+R_2}U_{sat}$ .

\boxed{U_{HB}=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,U_{sat}}

\boxed{U_{BH}=-\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,U_{sat}}

II.1 Le courant d'entrée de l'amplificateur étant nul, le courant $i$ qui traverse $R$ traverse aussi le condensateur : $i=C\dfrac{du_C}{dt}$ . D'après la loi des mailles (S, N, masse) : $u_S=Ri+u_C$ , d'où $RC\dfrac{du_C}{dt}+u_C=u_S$ .

II.2.a Idée : pendant l'état haut, $u_C$ monte du seuil bas vers le seuil haut en visant la valeur de la sortie. On note $\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}$ : $U_i=U_{BH}=-\beta U_{sat}$ , $U_a=U_{HB}=\beta U_{sat}$ et $U_f=+U_{sat}$ . Alors :

T_1=RC\ln\dfrac{-\beta U_{sat}-U_{sat}}{\beta U_{sat}-U_{sat}}

T_1=RC\ln\dfrac{1+\beta}{1-\beta}

Or $1+\beta=\dfrac{2R_1+R_2}{R_1+R_2}$ et $1-\beta=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ , donc $\dfrac{1+\beta}{1-\beta}=1+\dfrac{2R_1}{R_2}$ :

T_1=RC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)

II.2.b Pendant l'état bas, $u_C$ descend de $U_i=U_{HB}$ à $U_a=U_{BH}$ en visant $U_f=-U_{sat}$ :

T_2=RC\ln\dfrac{\beta U_{sat}+U_{sat}}{-\beta U_{sat}+U_{sat}}=T_1

Les deux états se déroulent à travers la même résistance, entre des seuils opposés et vers des tensions visées opposées. La période vaut $T=T_1+T_2$ :

\boxed{T=2RC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)}

II.3.a La courbe ① ne prend que deux valeurs constantes et passe brusquement de l'une à l'autre : c'est la tension de sortie $u_S(t)$ de l'amplificateur saturé. La courbe ② varie sans discontinuité, comme la tension aux bornes d'un condensateur : c'est $u_C(t)$ ; chaque basculement de ① a lieu à un extremum de ②.

II.3.b On lit $U_{sat}=14\ \text{V}$ sur les paliers de ①, et $U_{HB}=4{,}0\ \text{V}$ , $U_{BH}=-4{,}0\ \text{V}$ sur les extremums de ②. Donc $\dfrac{R_1}{R_1+R_2}=\dfrac{U_{HB}}{U_{sat}}=\dfrac{4}{14}=\dfrac27$ , soit $7R_1=2R_1+2R_2$ :

R_2=\dfrac52\,R_1=\boxed{10\ \text{k}\Omega}

II.3.c Chaque palier de ① dure trois divisions de $1\ \text{ms}$ : $T_1=T_2=3{,}0\ \text{ms}$ . Alors $T=T_1+T_2=\boxed{6{,}0\ \text{ms}}$ et $\delta=\dfrac{3{,}0}{6{,}0}=\boxed{0{,}50}$ , soit $50\ \%$ .

II.3.d $1+\dfrac{2R_1}{R_2}=1+\dfrac{8{,}0}{10}=1{,}8$ et $T_1=RC\ln1{,}8$ :

C=\dfrac{T_1}{R\ln1{,}8}=\dfrac{3{,}0\times10^{-3}}{10^4\times0{,}588}

C\approx\boxed{5{,}1\times10^{-7}\ \text{F}}=0{,}51\ \mu\text{F}

II.4.a Idée : une diode idéale ne conduit que dans son sens passant ; chaque état a donc sa propre résistance. Pendant l'état haut, $u_S=+14\ \text{V}$ est supérieure à $u_C$ (comprise entre $-4$ et $+4\ \text{V}$ ) : le courant va de S vers N, $D_1$ est passante et $D_2$ bloquée ; l'évolution de $u_C$ se fait à travers $2R$ . Pendant l'état bas, $u_S=-14\ \text{V}<u_C$ : le courant va de N vers S, $D_2$ est passante et $D_1$ bloquée, à travers $R/2$ . Le diviseur $R_1$ , $R_2$ n'a pas changé, donc les seuils non plus :

T'_1=2RC\ln1{,}8=2T_1=\boxed{6{,}0\ \text{ms}}

T'_2=\dfrac R2\,C\ln1{,}8=\dfrac{T_1}{2}=\boxed{1{,}5\ \text{ms}}

II.4.b $T'=T'_1+T'_2=\boxed{7{,}5\ \text{ms}}$ et $\delta'=\dfrac{6{,}0}{7{,}5}=\boxed{0{,}80}$ . L'état haut dure quatre fois plus que l'état bas ( $\delta'\ne0{,}5$ ) : le multivibrateur est dissymétrique.

II.4.c $u_S$ vaut $+14\ \text{V}$ pendant $6{,}0\ \text{ms}$ puis $-14\ \text{V}$ pendant $1{,}5\ \text{ms}$ . $u_C$ monte lentement de $-4\ \text{V}$ à $+4\ \text{V}$ (à travers $2R$ ) puis redescend vite à $-4\ \text{V}$ (à travers $R/2$ ) : ses valeurs extrêmes restent $\pm4\ \text{V}$ , car elles ne dépendent que de $U_{sat}$ , $R_1$ et $R_2$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : comparateur à deux seuils étudié seul, la tension de comparaison prélevée aux bornes de $R_2$ , avant le bouclage par $R$ et $C$ (principale 2015, Sciences de l'informatique) ; seuils et durées lus sur l'enregistrement pour établir $R_1=R_2$ puis $C$ , et deux diodes avec $3R$ et $R$ pour changer le rapport cyclique (principale 2018) ; porte CMOS à hystérésis entre $0$ et $E_H$ , durées différentes par la tension visée (principale 2020) ; $U_{HB}$ , $U_{BH}$ et $T_1=T_2=RC\ln(1+2R_1/R_2)$ à démontrer, puis $R_2$ et $C$ (principale 2022). Aucune session 2023–2026 de la section n'a reposé ce thème.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SG-E.1 — comparateur à deux seuils étudié seul :

R_2

côté masse, tensions de basculement et cycle d'hystérésis

Entraînement 01 / 03

Drill SG-E.1 — comparateur à deux seuils étudié seul : $R_2$ côté masse, tensions de basculement et cycle d'hystérésis

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le montage de la figure comprend un amplificateur opérationnel supposé idéal, fonctionnant en régime saturé avec $U_{sat}=13{,}5\ \text{V}$ , et deux conducteurs ohmiques : $R_2=6{,}0\ \text{k}\Omega$ relie l'entrée non inverseuse B à la masse et $R_1=12\ \text{k}\Omega$ la relie à la sortie S. La tension $u_e$ est appliquée entre l'entrée inverseuse E et la masse.

Montrer, par application de la loi des mailles, que $\varepsilon=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,u_S-u_e$ .
Fonctionnement :
1. justifier que, lorsque la sortie est à l'état haut, elle y reste tant que $u_e<\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,U_{sat}$ ;
2. écrire la condition analogue lorsque la sortie est à l'état bas ;
3. en déduire qu'il s'agit d'un comparateur à deux seuils de basculement et calculer $U_{HB}$ et $U_{BH}$ .
On fait croître lentement $u_e$ de $-10\ \text{V}$ à $+10\ \text{V}$ , puis décroître de $+10\ \text{V}$ à $-10\ \text{V}$ . Décrire l'évolution de $u_S$ et tracer la caractéristique de transfert $u_S=f(u_e)$ .
Pour $u_e=2{,}0\ \text{V}$ , peut-on prévoir la valeur de $u_S$ ? Justifier.
Quelle valeur faut-il donner à $R_2$ , $R_1$ restant inchangée, pour que les tensions de basculement valent $\pm6{,}75\ \text{V}$ ?
On associe à ce comparateur (avec $R_2=6{,}0\ \text{k}\Omega$ ) un conducteur ohmique et un condensateur pour réaliser un multivibrateur astable, la tension du condensateur étant appliquée à l'entrée E. Entre quelles valeurs cette tension évolue-t-elle en régime établi ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : aucun courant n'entre dans l'amplificateur, $R_1$ et $R_2$ forment un diviseur. Comme $i^+=0$ , le même courant $i$ traverse $R_1$ et $R_2$ : $u_S=(R_1+R_2)\,i$ et $u_2=R_2\,i$ , donc $u_2=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}u_S$ . D'après la loi des mailles (E, B, masse), $\varepsilon=V_B-V_E=u_2-u_e$ :

\varepsilon=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,u_S-u_e

2.a À l'état haut, $u_S=+U_{sat}$ et $\varepsilon=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}-u_e$ : $\varepsilon$ reste positive, donc la sortie reste haute, tant que $u_e<\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}$ .

2.b À l'état bas, $\varepsilon=-\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}-u_e$ reste négative tant que $u_e>-\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}$ .

2.c La sortie ne change d'état que lorsque $u_e$ franchit $+\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}$ en montant (sortie haute) ou $-\frac{R_2}{R_1+R_2}U_{sat}$ en descendant (sortie basse) : les deux seuils sont différents, c'est un comparateur à deux seuils. Ici $\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{6{,}0}{18}=\frac13$ :

U_{HB}=\boxed{+4{,}5\ \text{V}}\qquad U_{BH}=\boxed{-4{,}5\ \text{V}}

3. Pour $u_e=-10\ \text{V}$ , $\varepsilon$ est positive quelle que soit la sortie, donc $u_S=+13{,}5\ \text{V}$ . Quand $u_e$ croît, la sortie reste à $+13{,}5\ \text{V}$ jusqu'à $u_e=+4{,}5\ \text{V}$ , puis bascule à $-13{,}5\ \text{V}$ et y reste jusqu'à $+10\ \text{V}$ . Au retour, elle reste à $-13{,}5\ \text{V}$ jusqu'à $u_e=-4{,}5\ \text{V}$ , puis rebascule à $+13{,}5\ \text{V}$ . La caractéristique est un cycle d'hystérésis :

4. Non : $2{,}0\ \text{V}$ est compris entre les deux seuils, où les deux états sont possibles. $u_S=+13{,}5\ \text{V}$ si $u_e$ vient d'une valeur inférieure à $-4{,}5\ \text{V}$ , et $u_S=-13{,}5\ \text{V}$ si elle vient d'une valeur supérieure à $+4{,}5\ \text{V}$ : le comparateur garde la mémoire de son état précédent.

5. Il faut $\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{6{,}75}{13{,}5}=0{,}5$ , soit $R_2=R_1=\boxed{12\ \text{k}\Omega}$ .

6. La sortie bascule chaque fois que la tension du condensateur atteint un seuil : en régime établi, elle évolue entre $U_{BH}=-4{,}5\ \text{V}$ et $U_{HB}=+4{,}5\ \text{V}$ .

2 Drill SG-E.2 — rapport cyclique lu sur l'oscillogramme de

u_S

, puis réglé par les deux branches à diode

Entraînement 02 / 03

Drill SG-E.2 — rapport cyclique lu sur l'oscillogramme de $u_S$ , puis réglé par les deux branches à diode

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un multivibrateur astable est réalisé avec un amplificateur opérationnel saturé, un diviseur $R_1=R_2$ sur l'entrée non inverseuse et un condensateur de capacité $C$ relié à l'entrée inverseuse. Entre la sortie et le condensateur, deux branches en parallèle comportent chacune une diode idéale : pendant l'état haut, seule la branche de résistance $R_a=4{,}0\ \text{k}\Omega$ conduit ; pendant l'état bas, seule celle de résistance $R_b$ conduit. L'écran de l'oscilloscope montre la tension de sortie $u_S(t)$ .

Déterminer, à partir de l'oscillogramme, la valeur de $U_{sat}$ , la période $T$ et la durée $T_1$ de l'état haut.
En déduire la durée $T_2$ de l'état bas et le rapport cyclique $\delta=\dfrac{T_1}{T}$ , en pourcentage. Le multivibrateur est-il symétrique ?
On admet que $T_1=R_aC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)$ et $T_2=R_bC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)$ .
1. Montrer que $\delta=\dfrac{R_a}{R_a+R_b}$ : le rapport cyclique ne dépend ni de $C$ ni du diviseur.
2. Calculer $R_b$ .
3. Calculer la capacité $C$ .
On veut obtenir un signal symétrique sans changer la période. Quelles valeurs faut-il donner à $R_a$ et à $R_b$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un palier de la sortie dure un état ; une période contient un état haut et un état bas. Les paliers sont à $3$ divisions du zéro : $U_{sat}=3\times4=\boxed{12\ \text{V}}$ . Le motif se répète toutes les $5$ divisions (fronts montants à $1$ et à $6$ divisions) : $T=\boxed{5{,}0\ \text{ms}}$ . L'état haut occupe $2$ divisions : $T_1=\boxed{2{,}0\ \text{ms}}$ .

2. $T_2=T-T_1=\boxed{3{,}0\ \text{ms}}$ et $\delta=\dfrac{2{,}0}{5{,}0}=0{,}40$ , soit $\boxed{40\ \%}$ . $T_1\ne T_2$ : le multivibrateur n'est pas symétrique.

3.a Le même facteur $C\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)$ figure dans $T_1$ et dans $T_2$ ; il se simplifie dans $\delta=\dfrac{T_1}{T_1+T_2}$ :

\delta=\dfrac{R_a}{R_a+R_b}

3.b $\dfrac{R_b}{R_a}=\dfrac{T_2}{T_1}=1{,}5$ , donc $R_b=1{,}5\times4{,}0=\boxed{6{,}0\ \text{k}\Omega}$ (on vérifie $\frac{4{,}0}{10}=0{,}40$ ).

3.c Avec $R_1=R_2$ , $\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)=\ln3$ :

C=\dfrac{T_1}{R_a\ln3}=\dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{4{,}0\times10^3\times\ln3}

C\approx\boxed{4{,}55\times10^{-7}\ \text{F}}\approx0{,}46\ \mu\text{F}

4. Idée : la période est proportionnelle à $R_a+R_b$ , le rapport cyclique à $\frac{R_a}{R_a+R_b}$ . Pour garder $T$ , il faut $R_a+R_b=10\ \text{k}\Omega$ ; pour $\delta=0{,}5$ , il faut $R_a=R_b$ . D'où $R_a=R_b=\boxed{5{,}0\ \text{k}\Omega}$ .

3 Drill SG-E.3 — multivibrateur à porte CMOS à hystérésis : sortie entre

0

E_H

, durées inégales avec une seule résistance

Entraînement 03 / 03

Drill SG-E.3 — multivibrateur à porte CMOS à hystérésis : sortie entre $0$ et $E_H$ , durées inégales avec une seule résistance

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une porte logique CMOS inverseuse à hystérésis est alimentée entre $0$ et $+10\ \text{V}$ . Sa sortie est ramenée sur son entrée par un conducteur ohmique de résistance $R=10\ \text{k}\Omega$ ; un condensateur de capacité $C=0{,}10\ \mu\text{F}$ relie l'entrée à la masse, et la tension $u_C$ à ses bornes est nulle à $t=0$ . Un système d'acquisition donne les courbes $u_S(t)$ (sortie de la porte) et $u_C(t)$ de la figure.

Donnée : la durée $\Delta t$ au bout de laquelle $u_C$ passe d'une valeur $U_i$ à une valeur $U_a$ , en visant la tension $U_f$ , vaut $\Delta t=RC\ln\dfrac{U_i-U_f}{U_a-U_f}$ .

En exploitant la figure, justifier que ce montage est un multivibrateur astable.
Déterminer graphiquement les niveaux haut $E_H$ et bas $E_B$ de la sortie, puis les tensions de basculement $U_{HB}$ et $U_{BH}$ .
Durées des deux états :
1. exprimer la durée $T_1$ de l'état haut en fonction de $RC$ , $E_H$ , $U_{HB}$ et $U_{BH}$ ; calculer sa valeur ;
2. exprimer la durée $T_2$ de l'état bas en fonction de $RC$ , $U_{HB}$ et $U_{BH}$ ; calculer sa valeur ;
3. calculer le rapport cyclique $\delta$ et justifier qu'il s'agit d'un multivibrateur dissymétrique.
La résistance est la même pendant les deux états. Expliquer pourquoi les deux durées sont pourtant différentes.
Montrer que le multivibrateur serait symétrique si et seulement si $U_{HB}+U_{BH}=E_H$ .
Le premier état haut, qui commence à $t=0$ , dure plus longtemps que les suivants. Calculer sa durée et expliquer la différence.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Sans aucun signal d'entrée, la sortie ne prend que deux valeurs et passe sans cesse de l'une à l'autre : le montage n'a aucun état stable, c'est un multivibrateur astable.

2. $E_H=\boxed{10\ \text{V}}$ et $E_B=\boxed{0\ \text{V}}$ . La sortie passe du haut vers le bas quand $u_C$ montante atteint $U_{HB}=\boxed{6{,}0\ \text{V}}$ , et du bas vers le haut quand $u_C$ descendante atteint $U_{BH}=\boxed{3{,}0\ \text{V}}$ .

3.a Idée : pendant l'état haut, $u_C$ monte de $U_{BH}$ à $U_{HB}$ en visant $E_H$ . Avec $RC=10^4\times0{,}10\times10^{-6}=1{,}0\ \text{ms}$ :

T_1=RC\ln\dfrac{E_H-U_{BH}}{E_H-U_{HB}}

T_1=1{,}0\times\ln\dfrac{7{,}0}{4{,}0}\approx\boxed{0{,}56\ \text{ms}}

3.b Pendant l'état bas, $u_C$ descend de $U_{HB}$ à $U_{BH}$ en visant $E_B=0$ :

T_2=RC\ln\dfrac{U_{HB}}{U_{BH}}=1{,}0\times\ln2\approx\boxed{0{,}69\ \text{ms}}

3.c $T=T_1+T_2\approx1{,}25\ \text{ms}$ et $\delta=\dfrac{0{,}56}{1{,}25}\approx\boxed{0{,}45}$ . $\delta\ne0{,}5$ : les deux états n'ont pas la même durée, le multivibrateur est dissymétrique.

4. D'après l'équation $RC\frac{du_C}{dt}=U_f-u_C$ , la vitesse de variation de $u_C$ est proportionnelle à l'écart entre la tension visée et $u_C$ . En montée, cet écart passe de $7\ \text{V}$ à $4\ \text{V}$ ; en descente, de $6\ \text{V}$ à $3\ \text{V}$ seulement. La descente est donc plus lente : c'est la tension visée, et non la résistance, qui distingue les deux états.

5. $T_1=T_2$ équivaut à $\dfrac{E_H-U_{BH}}{E_H-U_{HB}}=\dfrac{U_{HB}}{U_{BH}}$ , soit $U_{BH}(E_H-U_{BH})=U_{HB}(E_H-U_{HB})$ :

E_H(U_{BH}-U_{HB})=U_{BH}^2-U_{HB}^2

En divisant par $U_{BH}-U_{HB}\ne0$ : $E_H=U_{HB}+U_{BH}$ , c'est-à-dire des seuils symétriques par rapport à $\frac{E_H}{2}$ . Ici $6{,}0+3{,}0=9{,}0\ \text{V}\ne10\ \text{V}$ .

6. Le premier état haut part de $u_C=0$ et non de $U_{BH}$ :

\Delta t_0=RC\ln\dfrac{E_H}{E_H-U_{HB}}=\ln2{,}5\approx\boxed{0{,}92\ \text{ms}}

$u_C$ doit d'abord monter de $0$ à $3\ \text{V}$ avant de parcourir l'intervalle entre les seuils : ce premier état dure plus que $T_1$ .

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Multivibrateur astable à AOP : tensions de basculement, durées $T_1$ et $T_2$ par la formule logarithmique, rapport cyclique et montage dissymétrique

Exercice 2 — multivibrateur astable (6,5 points), dans l'esprit des sessions 2015–2022

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill SG-E.1 — comparateur à deux seuils étudié seul : $R_2$ côté masse, tensions de basculement et cycle d'hystérésis

Drill SG-E.2 — rapport cyclique lu sur l'oscillogramme de $u_S$ , puis réglé par les deux branches à diode

Drill SG-E.3 — multivibrateur à porte CMOS à hystérésis : sortie entre $0$ et $E_H$ , durées inégales avec une seule résistance

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Multivibrateur astable à AOP : tensions de basculement, durées T1T_1T1​ et T2T_2T2​ par la formule logarithmique, rapport cyclique et montage dissymétrique

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Multivibrateur astable à AOP : tensions de basculement, durées $T_1$ et $T_2$ par la formule logarithmique, rapport cyclique et montage dissymétrique