ST-GStatistiques

Régression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen, $r$ , droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil

Idée directrice

Un tableau d'indicateurs annuels (exportations, prix, effectifs…) donne $y$ en fonction du rang $x$ de l'année. La chaîne est toujours la même : placer le nuage dans le repère de l'annexe, justifier l'ajustement affine par l'allure allongée du nuage, calculer le point moyen $G$ , le coefficient de corrélation $r$ et la droite de régression de $y$ en $x$ par les moindres carrés, puis revenir aux années : une année se traduit en rang pour estimer, et un seuil se traduit en inéquation dont le plus petit rang entier solution redonne une année.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Représenter le nuage de points de la série statistique $(x_i\,;y_i)$ dans l'annexe » ; « Justifier que ce nuage permet d'envisager un ajustement affine » ; « Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ » ; « Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ » ; « trouver l'année à partir de laquelle … dépasserait … »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Nuage : un point par colonne (ou ligne) du tableau ; lire la graduation de l'annexe, dont l'axe des ordonnées ne commence pas toujours à $0$ .
Ajustement affine : le justifier par l'allure allongée du nuage (avant tout calcul) ou par $|r|$ proche de $1$ .
Calculs : $V(x)=\overline{x^2}-\bar x^2$ , $\mathrm{cov}(x,y)=\overline{xy}-\bar x\,\bar y$ , $a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ et $b=\bar y-a\bar x$ ; garder les valeurs non arrondies tant que possible.
Année et rang : rang $=$ année $-$ (année de rang $1$ ) $+\,1$ ; pour un seuil, résoudre l'inéquation puis prendre le premier rang entier et le reconvertir en année.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Estimer avec $x=2030$ au lieu du rang $15$ ; répondre « 2033 » pour le rang $19$ en oubliant que le rang $1$ est 2016 ; arrondir $a$ avant de calculer $b$ quand la pente n'est pas exacte, ce qui décale les estimations ; conclure « à partir du rang $18{,}79$ » au lieu de prendre le premier rang entier ; placer les points sans tenir compte de l'origine des ordonnées de l'annexe (ici $20$ ).

Sujet principal

Exercice 1 — statistique (4,5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2016–2026

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la valeur annuelle $y_i$ des exportations d'une filière industrielle (en milliards de dinars) entre 2016 et 2023 ; $x_i$ désigne le rang de l'année (données simplifiées pour l'exercice).

Année	Rang $x_i$	Valeur $y_i$ (milliards de DT)
2016	$1$	$21{,}3$
2017	$2$	$22{,}7$
2018	$3$	$22{,}5$
2019	$4$	$26{,}3$
2020	$5$	$27{,}8$
2021	$6$	$26{,}6$
2022	$7$	$29{,}6$
2023	$8$	$31{,}2$

Dans les questions 2 à 5, les résultats des calculs seront arrondis au centième.

Nuage de points.
1. Représenter, dans le repère de l'annexe, le nuage de points de la série statistique $(x_i\,;y_i)$ .
2. Justifier que ce nuage permet d'envisager un ajustement affine entre $x$ et $y$ .
Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer dans le repère de l'annexe.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre $x$ et $y$ .
Ajustement affine.
1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ .
2. Tracer la droite $D$ dans le repère de l'annexe.
On suppose que cet ajustement reste valable dans les années à venir.
1. Donner le rang de l'année 2030, puis estimer, en utilisant $D$ , la valeur des exportations de la filière en 2030.
2. Déterminer l'année à partir de laquelle la valeur des exportations dépasserait 46 milliards de dinars.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : chaque ligne du tableau donne un point $M_i(x_i\,;y_i)$ . On place les huit points $(1\,;21{,}3)$ , $(2\,;22{,}7)$ , …, $(8\,;31{,}2)$ en respectant la graduation de l'annexe, dont l'axe des ordonnées commence à $20$ . La figure montre le nuage avec le point $G$ et la droite $D$ des questions suivantes.

1.b Les points sont allongés autour d'une droite croissante : malgré les légers creux aux rangs $3$ et $6$ , le nuage a une forme rectiligne, donc un ajustement affine entre $x$ et $y$ est envisageable.

2 Idée : $\bar x$ est la moyenne des rangs, $\bar y$ celle des valeurs.

\bar x=\dfrac{1+2+\cdots+8}{8}=4{,}5

\bar y=\dfrac{208}{8}=26

D'où $\boxed{G(4{,}5\,;26)}$ , point placé sur la figure.

3 Idée : $r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}$ ; on commence par les sommes utiles. On a : $\sum x_i^2=204$ , $\sum y_i^2=5496{,}92$ et $\sum x_iy_i=994{,}8$ , donc :

V(x)=\dfrac{204}{8}-4{,}5^2=5{,}25

V(y)=\dfrac{5496{,}92}{8}-26^2=11{,}115

\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{994{,}8}{8}-4{,}5\times26=7{,}35

Ainsi $\sigma_x=\sqrt{5{,}25}\approx2{,}29$ , $\sigma_y=\sqrt{11{,}115}\approx3{,}33$ et

r=\dfrac{7{,}35}{\sqrt{5{,}25\times11{,}115}}\approx0{,}96

$\boxed{r\approx0{,}96}$ : $r$ est proche de $1$ , la corrélation linéaire entre le rang et la valeur des exportations est forte et positive.

4.a Idée : la droite des moindres carrés a pour coefficient directeur $a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ et passe par $G$ .

a=\dfrac{7{,}35}{5{,}25}=1{,}4

b=\bar y-a\,\bar x=26-1{,}4\times4{,}5=19{,}7

Une équation de la droite de régression est $\boxed{D : y=1{,}4x+19{,}7}$ .

4.b Le point $(0\,;19{,}7)$ sort de la fenêtre de l'annexe (ordonnées à partir de $20$ ) : on trace $D$ à l'aide de $G(4{,}5\,;26)$ et du point de $D$ d'abscisse $10$ , $(10\,;33{,}7)$ (voir la figure).

5.a Idée : 2016 a le rang $1$ , donc le rang d'une année est son écart à 2015. Le rang de 2030 est $x=2030-2015=15$ . En remplaçant $x$ par $15$ dans l'équation de $D$ : $y=1{,}4\times15+19{,}7=40{,}7$ . En 2030, la valeur des exportations serait d'environ $\boxed{40{,}7\text{ milliards de dinars}}$ .

5.b Idée : traduire « dépasser 46 » par une inéquation en $x$ , puis reconvertir le rang en année.

1{,}4x+19{,}7>46\iff x>\dfrac{26{,}3}{1{,}4}\approx18{,}79

Le rang étant un entier, le plus petit qui convient est $x=19$ , c'est-à-dire l'année $2015+19=2034$ (au rang $18$ , en 2033, l'estimation n'est que de $44{,}9$ ; au rang $19$ elle atteint $46{,}3$ ). D'après cet ajustement, la valeur des exportations dépasserait 46 milliards de dinars à partir de $\boxed{2034}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : nuage dans un repère libre, point moyen, justification et estimation pour une année (principale 2016) ; nuage sur l'annexe, droite des moindres carrés tracée et estimation d'un prix six ans après la dernière année (principale 2019) ; rangs non consécutifs (années 1995 à 2019) et estimation arrondie au dinar (contrôle 2021) ; année à partir de laquelle un seuil est dépassé (principale 2026) ; en Lettres, nuage construit ou complété sur la feuille annexe (principales 2021 et 2024), droite donnée « On suppose que … » (principale 2018), série non chronologique (principales 2022 et 2025), choix du bon nuage entre deux graphiques (principale 2015). Les secondes parties de l'Économie-Gestion (changement de variable, méthode de Mayer, comparaison de deux ajustements) sont traitées dans ST-H.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ST-G.1 — Lettres : droite donnée, année d'un rang et estimation

Entraînement 01 / 04

Drill ST-G.1 — Lettres : droite donnée, année d'un rang et estimation

2 questionsCorrigé masqué

Le tableau suivant donne le nombre $Y$ de nuitées (en milliers) enregistrées dans les maisons d'hôtes d'une région de 2018 à 2023 ; $X$ est le rang de l'année (données simplifiées).

Année	Rang $X$	Nuitées $Y$ (milliers)
2018	$1$	$4{,}1$
2019	$2$	$5{,}3$
2020	$3$	$5{,}2$
2021	$4$	$6{,}4$
2022	$5$	$6{,}6$
2023	$6$	$7{,}9$

Série statistique double $(X,Y)$ .
1. Calculer les moyennes $\bar X$ et $\bar Y$ (on donnera $\bar Y$ à $10^{-2}$ près).
2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(X,Y)$ (arrondi au centième).
3. En déduire qu'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est justifié.
On suppose que l'évolution du nombre de nuitées en fonction du rang de l'année est donnée par l'équation $Y=0{,}7X+3{,}5$ .
1. Quelle est l'année correspondant au rang $X=14$ ?
2. Montrer qu'en 2030, une estimation du nombre de nuitées serait de l'ordre de $12\,600$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $\bar X=\dfrac{1+2+\cdots+6}{6}=3{,}5$ et $\bar Y=\dfrac{35{,}5}{6}\approx5{,}92$ .

1.b Idée : $r=\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)\,V(Y)}}$ . On a : $\sum X_i^2=91$ , $\sum Y_i^2=218{,}87$ et $\sum X_iY_i=136{,}3$ , d'où, au millième :

V(X)=\dfrac{91}{6}-3{,}5^2\approx2{,}917

V(Y)=\dfrac{218{,}87}{6}-\left(\dfrac{35{,}5}{6}\right)^2\approx1{,}471

\mathrm{cov}(X,Y)=\dfrac{136{,}3}{6}-3{,}5\times\dfrac{35{,}5}{6}\approx2{,}008

r\approx\dfrac{2{,}008}{\sqrt{2{,}917\times1{,}471}}\approx0{,}97

1.c $r\approx0{,}97$ est proche de $1$ : la corrélation linéaire entre $X$ et $Y$ est forte, ce qui justifie un ajustement affine par la méthode des moindres carrés.

2.a Idée : le rang $1$ est 2018, donc année $=2017+$ rang. L'année de rang $14$ est $2017+14=\boxed{2031}$ .

2.b L'année 2030 a pour rang $X=2030-2017=13$ . En remplaçant dans l'équation donnée : $Y=0{,}7\times13+3{,}5=12{,}6$ milliers, c'est-à-dire de l'ordre de $\boxed{12\,600}$ nuitées en 2030.

2 Drill ST-G.2 — Série non chronologique : prix de vente et quantité vendue

Entraînement 02 / 04

Drill ST-G.2 — Série non chronologique : prix de vente et quantité vendue

3 questionsCorrigé masqué

Un commerçant a relevé, pour six prix de vente $X$ (en dinars) d'un même article, le nombre $Y$ d'articles vendus par semaine. Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis au centième.

Prix $X$ (DT)	Articles vendus $Y$
$4$	$142$
$5$	$127$
$6$	$124$
$7$	$104$
$8$	$101$
$9$	$86$

Moyennes.
1. Calculer les moyennes $\bar X$ et $\bar Y$ .
2. En déduire les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de la série statistique $(X,Y)$ .
Ajustement.
1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(X,Y)$ .
2. Justifier que l'on peut procéder à un ajustement affine par les moindres carrés de la série $(X,Y)$ .
3. Déterminer une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ .
Le commerçant envisage de vendre l'article à $7{,}5$ dinars. Estimer le nombre d'articles qu'il vendrait par semaine.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $\bar X=\dfrac{39}{6}=6{,}5$ et $\bar Y=\dfrac{684}{6}=114$ .

1.b $\boxed{G(6{,}5\,;114)}$ .

2.a Idée : ici $X$ n'est pas un rang mais une grandeur mesurée ; la méthode ne change pas. On a : $\sum X_i^2=271$ , $\sum Y_i^2=80\,082$ et $\sum X_iY_i=4257$ , donc :

V(X)=\dfrac{271}{6}-6{,}5^2=\dfrac{35}{12}\approx2{,}92

V(Y)=\dfrac{80\,082}{6}-114^2=351

\mathrm{cov}(X,Y)=\dfrac{4257}{6}-6{,}5\times114=-31{,}5

r=\dfrac{-31{,}5}{\sqrt{\frac{35}{12}\times351}}\approx-0{,}98

2.b $|r|\approx0{,}98$ est proche de $1$ : la corrélation linéaire est forte, et négative (quand le prix augmente, la quantité vendue diminue). L'ajustement affine par les moindres carrés est donc justifié.

2.c Idée : garder la valeur exacte $V(X)=\frac{35}{12}$ pour ne pas fausser la pente.

a=\dfrac{-31{,}5}{35/12}=-10{,}8

b=114-(-10{,}8)\times6{,}5=184{,}2

Une équation de la droite de régression est $\boxed{Y=-10{,}8X+184{,}2}$ .

3 Pour $X=7{,}5$ : $Y=-10{,}8\times7{,}5+184{,}2=103{,}2$ . Le commerçant vendrait environ $\boxed{103}$ articles par semaine ; le prix $7{,}5$ DT est à l'intérieur de la plage observée (de $4$ à $9$ DT), ce qui rend l'estimation raisonnable.

3 Drill ST-G.3 — Choisir le bon nuage parmi deux graphiques

Entraînement 03 / 04

Drill ST-G.3 — Choisir le bon nuage parmi deux graphiques

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le tableau suivant donne la production $Y$ de dattes (en milliers de tonnes) d'une région de 2016 à 2023 ; $X$ est le rang de l'année (données simplifiées).

Année	Rang $X$	Production $Y$
2016	$1$	$255$
2017	$2$	$257$
2018	$3$	$253$
2019	$4$	$281$
2020	$5$	$286$
2021	$6$	$276$
2022	$7$	$294$
2023	$8$	$302$

Un seul des deux graphiques ci-dessus représente le nuage de points de la série $(X,Y)$ . Lequel ? Justifier.
Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(X,Y)$ (arrondi au centième). Un ajustement affine est-il justifié ?
Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ , puis estimer la production en 2026.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1 Idée : comparer un ou deux points faciles à lire, pas l'allure générale. En 2018 (rang $3$ ), la production vaut $253$ , moins qu'en 2016 ( $255$ ) : le point de rang $3$ doit être plus bas que celui de rang $1$ . C'est le cas dans le graphique (2), pas dans le (1), où ce point est vers $263$ . De même, $276<286$ entre les rangs $5$ et $6$ : ce second creux n'apparaît que dans le graphique (2). Le nuage de la série est le $\boxed{\text{graphique (2)}}$ .

2 $\bar X=4{,}5$ et $\bar Y=\dfrac{2204}{8}=275{,}5$ , donc $\boxed{G(4{,}5\,;275{,}5)}$ .

3 On a : $\sum X_i^2=204$ , $\sum Y_i^2=609\,656$ et $\sum X_iY_i=10\,212$ , donc :

V(X)=5{,}25\quad;\quad V(Y)=306{,}75

\mathrm{cov}(X,Y)=\dfrac{10\,212}{8}-4{,}5\times275{,}5=36{,}75

r=\dfrac{36{,}75}{\sqrt{5{,}25\times306{,}75}}\approx0{,}92

$r\approx0{,}92$ est proche de $1$ : la corrélation est forte et positive, un ajustement affine est justifié.

4 $a=\dfrac{36{,}75}{5{,}25}=7$ et $b=275{,}5-7\times4{,}5=244$ , d'où $Y=7X+244$ . L'année 2026 a le rang $2026-2015=11$ : $Y=7\times11+244=321$ . La production serait d'environ $\boxed{321\text{ milliers de tonnes}}$ en 2026.

4 Drill ST-G.4 — Droite déjà tracée sur l'annexe : lecture graphique, équation de

D

, année de dépassement

Entraînement 04 / 04

Drill ST-G.4 — Droite déjà tracée sur l'annexe : lecture graphique, équation de $D$ , année de dépassement

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le tableau donne le nombre $y_i$ de visiteurs (en milliers) d'un site archéologique de 2016 à 2023 ; $x_i$ est le rang de l'année (données simplifiées).

Année	Rang $x_i$	Visiteurs $y_i$ (milliers)
2016	$1$	$9$
2017	$2$	$10$
2018	$3$	$14$
2019	$4$	$16$
2020	$5$	$18{,}5$
2021	$6$	$21{,}5$
2022	$7$	$22{,}5$
2023	$8$	$26{,}5$

Dans le repère de l'annexe, on a placé deux points $M_1$ et $M_8$ du nuage ainsi que la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

Lecture graphique.
1. Compléter, dans le repère de l'annexe, le nuage de points de la série $(x_i\,;y_i)$ .
2. À partir du graphique, donner une estimation du nombre de visiteurs en 2027 selon cet ajustement.
Équation de $D$ .
1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer.
2. Lire l'ordonnée du point d'intersection de $D$ avec l'axe des ordonnées. Sachant que $D$ passe par $G$ , en déduire une équation de $D$ .
Déterminer, par le calcul, l'année à partir de laquelle le nombre de visiteurs dépasserait $40$ milliers.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a On ajoute les six points manquants $(2\,;10)$ , $(3\,;14)$ , $(4\,;16)$ , $(5\,;18{,}5)$ , $(6\,;21{,}5)$ et $(7\,;22{,}5)$ ; ils se répartissent de part et d'autre de $D$ .

1.b Idée : 2027 correspond au rang $12$ ; on lit l'ordonnée du point de $D$ d'abscisse $12$ . Le rang de 2027 est $2027-2015=12$ . Sur le graphique, le point de $D$ d'abscisse $12$ a pour ordonnée $36$ : environ $\boxed{36\,000}$ visiteurs en 2027 selon cet ajustement.

2.a $\bar x=4{,}5$ et $\bar y=\dfrac{138}{8}=17{,}25$ : $G(4{,}5\,;17{,}25)$ , point à placer sur $D$ .

2.b Idée : une droite de régression passe toujours par le point moyen, deux points suffisent. Sur le graphique, $D$ coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;6)$ . Son coefficient directeur vaut donc

a=\dfrac{17{,}25-6}{4{,}5-0}=2{,}5

d'où $\boxed{D : y=2{,}5x+6}$ . Contrôle : pour $x=12$ , $2{,}5\times12+6=36$ , ce qui confirme la lecture de 1.b.

3 Idée : inéquation en $x$ , puis premier rang entier.

2{,}5x+6>40\iff x>13{,}6

Le premier rang entier qui convient est $14$ , soit l'année $2015+14=2029$ : selon cet ajustement, le nombre de visiteurs dépasserait $40$ milliers à partir de $\boxed{2029}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Régression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen, $r$ , droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil

Exercice 1 — statistique (4,5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2016–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill ST-G.1 — Lettres : droite donnée, année d'un rang et estimation

Drill ST-G.2 — Série non chronologique : prix de vente et quantité vendue

Drill ST-G.3 — Choisir le bon nuage parmi deux graphiques

Drill ST-G.4 — Droite déjà tracée sur l'annexe : lecture graphique, équation de $D$ , année de dépassement

Relier ce raisonnement au bac

Régression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen, rrr, droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Régression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen, $r$ , droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil