ST-HStatistiques

Second ajustement : tableau des $z_i=\ln y_i$ , droite de $z$ en $x$ , modèle $y=ke^{ax}$ , puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle

Idée directrice

Quand le nuage se courbe (croissance de plus en plus rapide), la droite des moindres carrés sous-estime les années futures. L'épreuve d'Économie-Gestion le fait constater en deux temps : un premier ajustement affine (souvent lu sur l'annexe), puis un changement de variable $z=\ln y$ (ou $t=\frac{a}{x}$ ), la droite de régression de $z$ en $x$ et le retour à $y=ke^{ax}$ avec $k=e^{b}$ . On termine en confrontant les deux estimations à la valeur réellement observée : l'ajustement le plus pertinent est celui dont l'écart à cette valeur est le plus petit.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On pose $z_i=\ln(y_i)$ ; recopier et compléter le tableau » ; « Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ » ; « En déduire que $y=\dots e^{\dots x}$ » ; « Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier votre réponse. » ; « la droite … obtenue par la méthode de Mayer »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Nuage courbé (points au-dessus de la droite aux extrémités, en dessous au milieu) : l'ajustement affine sous-estime les années éloignées.
Changement de variable : compléter le tableau $z_i=\ln y_i$ (ou $t_i=\frac{5}{x_i}$ ) avec l'arrondi imposé, puis refaire les moindres carrés sur la nouvelle série.
Retour à $y$ : $z=ax+b\iff y=e^{b}\,e^{ax}$ ; l'énoncé donne souvent le modèle arrondi (« En déduire que $y=\dots$ »), qu'on utilise ensuite tel quel.
Choisir le modèle : calculer les deux écarts $|y_{\text{réel}}-y_{\text{estimé}}|$ ; le plus petit désigne l'ajustement le plus pertinent.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire $y=1{,}22\,e^{0{,}37x}$ en prenant $b$ au lieu de $e^{b}$ ; calculer le logarithme des rangs au lieu des valeurs ; oublier l'arrondi au centième des $z_i$ , ce qui modifie légèrement $a$ et $b$ ; juger « le plus pertinent » d'après le seul coefficient $r$ ou d'après l'estimation la plus grande, au lieu de l'écart à la valeur réelle ; lire l'estimation affine au rang $2025$ au lieu du rang $10$ .

Sujet principal

Exercice 1 — statistique (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2021–2024

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre $y_i$ d'abonnés (en milliers) à une application de paiement mobile entre 2016 et 2023 ; $x_i$ est le rang de l'année (données simplifiées pour l'exercice). La dernière colonne sert à la question 2.

Année	Rang $x_i$	Abonnés $y_i$ (milliers)	$z_i=\ln(y_i)$
2016	$1$	$5{,}2$	$1{,}65$
2017	$2$	$6{,}6$	…
2018	$3$	$10$	…
2019	$4$	$14{,}4$	…
2020	$5$	$22{,}9$	…
2021	$6$	$32{,}9$	…
2022	$7$	$45{,}4$	…
2023	$8$	$63$	$4{,}14$

Dans le repère de l'annexe, on a placé deux points $M_1$ et $M_8$ du nuage de la série $(x_i\,;y_i)$ et la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ .

Ajustement affine.
1. Compléter, dans le repère de l'annexe, le nuage de points de la série $(x_i\,;y_i)$ .
2. À partir du graphique, donner le nombre d'abonnés en 2025 selon cet ajustement.
Ajustement non affine. Dans cette question, les résultats seront arrondis au centième. On pose $z_i=\ln(y_i)$ .
1. Recopier et compléter la dernière colonne du tableau.
2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $\Delta$ de régression de $z$ en $x$ .
3. En déduire que $y=3{,}39\,e^{0{,}37x}$ .
4. Donner alors, à mille abonnés près, le nombre d'abonnés en 2025 selon cet ajustement.
En 2025, l'application comptait en réalité $128$ mille abonnés. Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier la réponse.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a On place les six points manquants $(2\,;6{,}6)$ , $(3\,;10)$ , $(4\,;14{,}4)$ , $(5\,;22{,}9)$ , $(6\,;32{,}9)$ et $(7\,;45{,}4)$ . Le nuage n'est pas rectiligne : les deux premiers points et le dernier sont nettement au-dessus de $D$ , ceux de rang $3$ à $6$ en dessous, et celui de rang $7$ est pratiquement sur $D$ . Il se courbe vers le haut.

1.b Idée : 2025 a le rang $2025-2015=10$ ; on lit l'ordonnée du point de $D$ d'abscisse $10$ . Graphiquement, cette ordonnée est voisine de $69$ : selon l'ajustement affine, l'application aurait environ $\boxed{69\text{ mille abonnés}}$ en 2025. (Par le calcul, $D : y\approx8{,}05x-11{,}15$ donne environ $69{,}3$ pour $x=10$ .)

2.a Avec la calculatrice, arrondis au centième :

$x_i$	$z_i=\ln(y_i)$
$1$	$1{,}65$
$2$	$1{,}89$
$3$	$2{,}3$
$4$	$2{,}67$
$5$	$3{,}13$
$6$	$3{,}49$
$7$	$3{,}82$
$8$	$4{,}14$

2.b Idée : même méthode que pour une droite de régression ordinaire, appliquée à la série $(x_i\,;z_i)$ . On a : $\bar x=4{,}5$ , $V(x)=5{,}25$ , $\bar z=\dfrac{23{,}09}{8}=2{,}88625$ et $\sum x_iz_i=119{,}46$ , donc :

\mathrm{cov}(x,z)=\dfrac{119{,}46}{8}-4{,}5\times2{,}88625

\mathrm{cov}(x,z)=1{,}944375

a=\dfrac{1{,}944375}{5{,}25}\approx0{,}37

b=\bar z-a\,\bar x\approx1{,}22

Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ est $\boxed{\Delta : z=0{,}37x+1{,}22}$ .

2.c Idée : $z=\ln y$ équivaut à $y=e^{z}$ , et $e^{u+v}=e^{u}\,e^{v}$ . De $\ln y=0{,}37x+1{,}22$ on tire $y=e^{1{,}22}\,e^{0{,}37x}$ ; comme $e^{1{,}22}\approx3{,}39$ , le modèle s'écrit bien $y=3{,}39\,e^{0{,}37x}$ .

2.d Pour $x=10$ : $y=3{,}39\,e^{3{,}7}\approx137{,}12$ , soit environ $\boxed{137\text{ mille abonnés}}$ en 2025 selon cet ajustement.

3 Idée : comparer les écarts à la valeur réelle, pas les deux estimations entre elles.

|128-69{,}3|=58{,}7

|128-137{,}12|=9{,}12

L'écart de l'ajustement exponentiel est bien plus petit : $\boxed{\text{l'ajustement exponentiel}}$ est le plus pertinent, ce que laissait prévoir la forme courbée du nuage.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : nuage à compléter sur l'annexe où deux points et la droite de régression sont déjà placés, puis $z=\ln y$ et « En déduire que $y=\dots e^{\dots x}$ », comparaison au chiffre d'affaires réel (principale 2024) ; modèle exponentiel donné directement et comparé à une projection de la loi de finances (principale 2022) ; droite de Mayer $(G_1G_2)$ confrontée aux moindres carrés et à la valeur réelle (contrôle 2022) ; changement de variable $t=\frac{5}{x}$ pour une série décroissante (principale 2021) ; retrouver lequel des deux ajustements a servi à une estimation donnée par un intervalle (contrôle 2024).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ST-H.1 — Changement de variable

t=\frac{5}{x}

pour une série qui décroît puis se stabilise

Entraînement 01 / 03

Drill ST-H.1 — Changement de variable $t=\frac{5}{x}$ pour une série qui décroît puis se stabilise

4 questionsCorrigé masqué

Le tableau donne le coût moyen $Y$ de fabrication d'un appareil (en centaines de dinars) chez un fabricant, de 2015 à 2022 ; $X$ est le rang de l'année (données simplifiées). Tous les résultats seront arrondis au centième.

Année	Rang $X$	$t=\frac{5}{X}$	Coût $Y$
2015	$1$	$5$	$5{,}4$
2016	$2$	$2{,}5$	$3{,}7$
2017	$3$	…	$2{,}8$
2018	$4$	…	$2{,}3$
2019	$5$	…	$2{,}4$
2020	$6$	…	$2{,}2$
2021	$7$	…	$1{,}9$
2022	$8$	…	$2$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(X,Y)$ . En observant l'évolution des valeurs de $Y$ , dire si un ajustement affine de $Y$ en $X$ est satisfaisant.
On pose $T=\dfrac{5}{X}$ . Recopier et compléter la colonne des valeurs de $t$ .
Série $(T,Y)$ .
1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(T,Y)$ .
2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $Y$ en $T$ .
En utilisant cette droite, estimer le coût moyen de fabrication en 2026.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1 Idée : $r$ ne mesure que l'alignement ; ici la baisse est rapide puis presque nulle. Avec la calculatrice, $r(X,Y)\approx-0{,}85$ . Le coût chute les deux premières années ( $5{,}4$ puis $3{,}7$ ) puis reste autour de $2$ : le nuage est courbé, et $|r|$ nettement inférieur à $1$ confirme qu'une droite de $Y$ en $X$ résume mal la série.

2 Les valeurs de $t$ sont $5$ ; $2{,}5$ ; $1{,}67$ ; $1{,}25$ ; $1$ ; $0{,}83$ ; $0{,}71$ ; $0{,}63$ (par exemple $\frac58=0{,}625\approx0{,}63$ ).

3.a On a : $\bar t\approx1{,}70$ , $\bar Y\approx2{,}84$ , $V(T)\approx1{,}89$ , $V(Y)\approx1{,}22$ et $\mathrm{cov}(T,Y)\approx1{,}51$ , donc

r=\dfrac{1{,}51}{\sqrt{1{,}89\times1{,}22}}\approx0{,}99

La corrélation entre $T$ et $Y$ est bien plus forte que celle entre $X$ et $Y$ : l'ajustement affine de $Y$ en $T$ convient.

3.b $a=\dfrac{\mathrm{cov}(T,Y)}{V(T)}\approx0{,}80$ et $b=\bar Y-a\,\bar t\approx1{,}48$ , d'où $\boxed{Y=0{,}80\,T+1{,}48}$ .

4 2026 a le rang $X=2026-2014=12$ , donc $t=\dfrac{5}{12}\approx0{,}42$ et $Y=0{,}80\times0{,}42+1{,}48\approx1{,}82$ . Le coût moyen serait d'environ $\boxed{182\text{ dinars}}$ en 2026.

2 Drill ST-H.2 — Droite de Mayer

(G_1G_2)

contre moindres carrés, face au prix relevé

Entraînement 02 / 03

Drill ST-H.2 — Droite de Mayer $(G_1G_2)$ contre moindres carrés, face au prix relevé

3 questionsCorrigé masqué

Le tableau donne le prix moyen $y_i$ (en dinars) d'un kilogramme d'un produit alimentaire sur un marché de gros, de 2015 à 2022 ; $x_i$ est le rang de l'année (données simplifiées). On arrondira les résultats au millième.

Année	Rang $x_i$	Prix $y_i$ (DT)
2015	$1$	$2{,}10$
2016	$2$	$2{,}24$
2017	$3$	$2{,}31$
2018	$4$	$2{,}51$
2019	$5$	$2{,}85$
2020	$6$	$2{,}96$
2021	$7$	$3{,}30$
2022	$8$	$3{,}57$

On partage le nuage en deux groupes de quatre points (rangs $1$ à $4$ , puis rangs $5$ à $8$ ) ; on note $G_1$ et $G_2$ leurs points moyens.
1. Déterminer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ .
2. Vérifier que la droite $(G_1G_2)$ , droite d'ajustement de Mayer, a pour équation $y=0{,}22x+1{,}74$ .
3. En adoptant cet ajustement, estimer le prix moyen du kilogramme en 2024.
Moindres carrés.
1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D'$ de régression de $y$ en $x$ .
2. En adoptant cet ajustement, estimer le prix moyen du kilogramme en 2024.
En 2024, le prix moyen relevé a été de $3{,}930$ dinars. Lequel des deux ajustements est le plus approprié ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $G_1\left(\dfrac{1+2+3+4}{4}\,;\dfrac{9{,}16}{4}\right)$ et $G_2\left(\dfrac{5+6+7+8}{4}\,;\dfrac{12{,}68}{4}\right)$ , soit $\boxed{G_1(2{,}5\,;2{,}29)}$ et $\boxed{G_2(6{,}5\,;3{,}17)}$ .

1.b Idée : le coefficient directeur se calcule avec les deux points, l'ordonnée à l'origine avec l'un d'eux.

m=\dfrac{3{,}17-2{,}29}{6{,}5-2{,}5}=\dfrac{0{,}88}{4}=0{,}22

puis $2{,}29=0{,}22\times2{,}5+p$ donne $p=1{,}74$ : la droite $(G_1G_2)$ a bien pour équation $y=0{,}22x+1{,}74$ (contrôle avec $G_2$ : $0{,}22\times6{,}5+1{,}74=3{,}17$ ).

1.c 2024 a le rang $10$ : $y=0{,}22\times10+1{,}74=3{,}94$ , soit $\boxed{3{,}940\text{ dinars}}$ .

2.a On a : $\bar x=4{,}5$ , $\bar y=\dfrac{21{,}84}{8}=2{,}73$ , $V(x)=5{,}25$ et $\sum x_iy_i=107{,}22$ , donc :

\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{107{,}22}{8}-4{,}5\times2{,}73=1{,}1175

a=\dfrac{1{,}1175}{5{,}25}\approx0{,}213

b=2{,}73-a\times4{,}5\approx1{,}772

D'où $\boxed{D' : y=0{,}213x+1{,}772}$ .

2.b $y=0{,}213\times10+1{,}772=3{,}902$ , soit $\boxed{3{,}902\text{ dinars}}$ .

3 Idée : l'ajustement le plus approprié est celui dont l'estimation s'écarte le moins de la valeur relevée.

|3{,}930-3{,}940|=0{,}010

|3{,}930-3{,}902|=0{,}028

L'estimation de Mayer est la plus proche du prix relevé : ici, $\boxed{\text{l'ajustement de Mayer}}$ est le plus approprié. Ce n'est pas une règle générale : avec un autre prix relevé, les moindres carrés pourraient l'emporter.

3 Drill ST-H.3 — Modèle exponentiel donné, comparé à la droite des moindres carrés et à une projection

Entraînement 03 / 03

Drill ST-H.3 — Modèle exponentiel donné, comparé à la droite des moindres carrés et à une projection

3 questionsCorrigé masqué

Le tableau donne le montant $y_i$ des crédits accordés par une banque régionale (en millions de dinars) de 2017 à 2022 ; $x_i$ est le rang de l'année (données simplifiées). On arrondira les résultats au centième.

Année	Rang $x_i$	Crédits $y_i$ (MDT)
2017	$1$	$33{,}8$
2018	$2$	$38{,}1$
2019	$3$	$43$
2020	$4$	$48{,}5$
2021	$5$	$54{,}6$
2022	$6$	$61{,}3$

Ajustement affine.
1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D$ de régression de $y$ en $x$ .
2. En déduire une estimation du montant des crédits en 2024.
On admet qu'un ajustement exponentiel d'équation $y=30\,e^{0{,}12x}$ convient aussi à cette série. En adoptant cet ajustement, estimer le montant des crédits en 2024.
Le plan de développement de la banque projette, pour 2024, un montant de $77{,}5$ millions de dinars. Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : garder les valeurs exactes de $V(x)$ et de $\mathrm{cov}(x,y)$ pour ne pas fausser la pente. On a : $\bar x=3{,}5$ , $\bar y=\dfrac{279{,}3}{6}=46{,}55$ , $\sum x_i^2=91$ et $\sum x_iy_i=1073{,}8$ , donc :

V(x)=\dfrac{91}{6}-3{,}5^2=\dfrac{35}{12}

\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{1073{,}8}{6}-3{,}5\times46{,}55=\dfrac{385}{24}

a=\dfrac{385/24}{35/12}=5{,}5

b=46{,}55-5{,}5\times3{,}5=27{,}3

D'où $\boxed{D : y=5{,}5x+27{,}3}$ .

1.b 2024 a le rang $2024-2016=8$ : $y=5{,}5\times8+27{,}3=71{,}3$ , soit environ $\boxed{71{,}3\text{ millions de dinars}}$ .

2 $y=30\,e^{0{,}12\times8}=30\,e^{0{,}96}\approx78{,}35$ , soit environ $\boxed{78{,}35\text{ millions de dinars}}$ .

3 Idée : comparer les écarts à la projection.

|77{,}5-71{,}3|=6{,}2

|77{,}5-78{,}35|=0{,}85

L'estimation exponentielle est la plus proche de la projection : $\boxed{\text{l'ajustement exponentiel}}$ est le plus pertinent. Le tableau l'annonçait déjà : les accroissements annuels augmentent ( $4{,}3$ ; $4{,}9$ ; $5{,}5$ ; $6{,}1$ ; $6{,}7$ ), signe d'une croissance plus rapide qu'une croissance affine.

Relier ce raisonnement au bac

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Second ajustement : tableau des $z_i=\ln y_i$ , droite de $z$ en $x$ , modèle $y=ke^{ax}$ , puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle

Exercice 1 — statistique (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2021–2024

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill ST-H.1 — Changement de variable $t=\frac{5}{x}$ pour une série qui décroît puis se stabilise

Drill ST-H.2 — Droite de Mayer $(G_1G_2)$ contre moindres carrés, face au prix relevé

Drill ST-H.3 — Modèle exponentiel donné, comparé à la droite des moindres carrés et à une projection

Relier ce raisonnement au bac

Second ajustement : tableau des zi=ln⁡yiz_i=\ln y_izi​=lnyi​, droite de zzz en xxx, modèle y=keaxy=ke^{ax}y=keax, puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Second ajustement : tableau des $z_i=\ln y_i$ , droite de $z$ en $x$ , modèle $y=ke^{ax}$ , puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle