ST-IStatistiques

QCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen, $r$ , droite de régression, estimation

Idée directrice

Depuis 2023, l'épreuve des Lettres s'ouvre souvent sur un QCM à trois réponses sans justification ; en 2023 et en 2026, il porte sur toute la chaîne de la régression. Chaque mauvaise réponse proposée correspond à une erreur typique : rang décalé d'une unité, coordonnées de $G$ inversées, coefficient $r$ de mauvais signe ou multiplié par $10$ , coefficients de la droite permutés, estimation faite avec le mauvais rang. On calcule chaque valeur au brouillon, puis on élimine les propositions impossibles : $-1\le r\le1$ , signe de $r$ lu sur le nuage, droite qui passe par $G$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Le nuage des points correspondant à la série est : » ; « Le rang de l'année … est : » ; « Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(X,Y)$ est : » ; « Une estimation de $y$ lorsque $x$ vaut … est : »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Faire chaque calcul au brouillon avant de lire les propositions, puis éliminer celles qui sont impossibles.
Rang : repérer l'année de rang $1$ ; rang $=$ année $-$ (année de rang $1$ ) $+\,1$ .
Coefficient $r$ : toujours entre $-1$ et $1$ , et du signe de la tendance du nuage.
Droite des moindres carrés : sa pente est proche de la variation moyenne par rang, et elle passe par $G(\bar X\,;\bar Y)$ — test immédiat pour éliminer une équation.
Estimation : utiliser le rang (jamais l'année) dans la droite trouvée ou donnée.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Choisir une estimation sans vérifier le rang de l'année (erreur de $\pm1$ ) ; inverser les coordonnées de $G$ ; choisir $9{,}6$ ou $-0{,}96$ en oubliant que $r$ est compris entre $-1$ et $1$ et qu'il a le signe de la tendance ; retenir l'équation aux coefficients permutés ; confondre la moyenne des rangs ( $4{,}5$ ) avec la moyenne de $Y$ quand l'énoncé demande « la moyenne » d'une grandeur.

Sujet principal

Exercice 1 — QCM (6 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2023 et 2026

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le tableau suivant donne le nombre $Y_i$ d'inscrits (en milliers) dans les centres de formation professionnelle d'une région, de 2016 à 2023 ; $X_i$ est le rang de l'année (données simplifiées). Tous les résultats sont arrondis au centième.

Année	Rang $X_i$	Inscrits $Y_i$ (milliers)
2016	$1$	$18{,}5$
2017	$2$	$18{,}6$
2018	$3$	$18{,}8$
2019	$4$	$20{,}9$
2020	$5$	$21{,}6$
2021	$6$	$21{,}3$
2022	$7$	$22{,}7$
2023	$8$	$24$

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Le nuage de points de la série statistique $(X,Y)$ est : a) le nuage (a) ; b) le nuage (b) ; c) le nuage (c).
Le rang de l'année 2028 est : a) $12$ ; b) $14$ ; c) $13$ .
Les coordonnées du point moyen $G$ sont : a) $(4{,}5\,;20{,}8)$ ; b) $(20{,}8\,;4{,}5)$ ; c) $(4\,;20{,}8)$ .
Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(X,Y)$ est : a) $-0{,}96$ ; b) $9{,}6$ ; c) $0{,}96$ .
Une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ est : a) $Y=0{,}8X+17{,}2$ ; b) $Y=17{,}2X+0{,}8$ ; c) $Y=0{,}8X+20{,}8$ .
En utilisant la droite de la question 5, une estimation du nombre d'inscrits en 2028 est : a) $28{,}4$ milliers ; b) $27{,}6$ milliers ; c) $26{,}8$ milliers.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1 Réponse b). Idée : tester deux points faciles plutôt que l'allure générale. Le nombre d'inscrits augmente globalement, ce qui élimine le nuage (a), qui descend. En 2018 (rang $3$ ) on a $18{,}8$ et en 2019 (rang $4$ ) $20{,}9$ : le point de rang $3$ est sous celui de rang $4$ , ce qui élimine (c).

2 Réponse c). 2016 a le rang $1$ , donc le rang d'une année est son écart à 2015 : $2028-2015=13$ . La proposition $12$ vient du calcul $2028-2016$ , qui oublie le rang $1$ .

3 Réponse a). On a : $\bar X=\dfrac{1+2+\cdots+8}{8}=4{,}5$ et $\bar Y=\dfrac{166{,}4}{8}=20{,}8$ ; l'abscisse de $G$ est la moyenne des rangs, d'où $G(4{,}5\,;20{,}8)$ .

4 Réponse c). Un coefficient de corrélation est toujours compris entre $-1$ et $1$ , ce qui élimine $9{,}6$ ; le nuage monte, donc $r>0$ . Au brouillon : $V(X)=5{,}25$ , $V(Y)=3{,}61$ et $\mathrm{cov}(X,Y)=4{,}2$ , d'où

r=\dfrac{4{,}2}{\sqrt{5{,}25\times3{,}61}}\approx0{,}96

5 Réponse a). $a=\dfrac{4{,}2}{5{,}25}=0{,}8$ et $b=20{,}8-0{,}8\times4{,}5=17{,}2$ . La proposition b) permute les deux coefficients (une pente de $17{,}2$ est absurde pour une hausse d'environ $0{,}8$ millier par an) et c) ne passe pas par $G$ , puisque $0{,}8\times4{,}5+20{,}8=24{,}4\ne20{,}8$ .

6 Réponse b). Avec le rang $13$ trouvé à la question 2 : $Y=0{,}8\times13+17{,}2=27{,}6$ milliers. Les propositions $28{,}4$ et $26{,}8$ correspondent aux rangs $14$ et $12$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : QCM de six questions sur une série non chronologique : choix du nuage, moyenne de $X$ , point moyen, $r$ , équation de la droite (coefficients permutés parmi les propositions) et estimation pour une valeur de $x$ hors du tableau (principale 2023) ; QCM de quatre questions sur une série chronologique décroissante : rang d'une année, moyenne de $Y$ , $r$ proposé avec son opposé et multiplié par $10$ , estimation à partir d'une droite donnée (principale 2026). Les autres QCM des Lettres (tableau d'effectifs et probabilités, suites géométriques, fonction exponentielle) relèvent des chapitres Probabilités, Suites et Exponentielle.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ST-I.1 — QCM sur une série non chronologique : moyenne, point moyen,

r

, droite, estimation

Entraînement 01 / 02

Drill ST-I.1 — QCM sur une série non chronologique : moyenne, point moyen, $r$ , droite, estimation

5 questionsCorrigé masqué

Une entreprise a relevé, pendant six mois, son budget publicitaire mensuel $x_i$ (en milliers de dinars) et ses ventes $y_i$ (en milliers d'unités). Tous les résultats sont arrondis au centième.

Budget $x_i$	Ventes $y_i$
$10$	$46$
$20$	$49$
$30$	$60$
$40$	$71$
$50$	$77$
$60$	$90$

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

La moyenne de la série des $x_i$ est : a) $65{,}5$ ; b) $35$ ; c) $3{,}5$ .
Les coordonnées du point moyen $G$ sont : a) $(35\,;66)$ ; b) $(65{,}5\,;35)$ ; c) $(35\,;65{,}5)$ .
Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_i\,;y_i)$ est : a) $0{,}99$ ; b) $-0{,}99$ ; c) $9{,}9$ .
Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est : a) $y=34x+0{,}9$ ; b) $y=0{,}9x+65{,}5$ ; c) $y=0{,}9x+34$ .
Une estimation des ventes pour un budget publicitaire de $80$ milliers de dinars est : a) $137{,}5$ ; b) $106$ ; c) $2720{,}9$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1 Réponse b). $\bar x=\dfrac{10+20+\cdots+60}{6}=\dfrac{210}{6}=35$ . La proposition $65{,}5$ est la moyenne des $y_i$ , et $3{,}5$ serait la moyenne des numéros $1$ à $6$ : ici $x$ n'est pas un rang.

2 Réponse c). $\bar y=\dfrac{393}{6}=65{,}5$ , donc $G(35\,;65{,}5)$ .

3 Réponse a). Les ventes augmentent avec le budget, donc $r>0$ , et $|r|\le1$ élimine $9{,}9$ . Au brouillon, $V(x)=\dfrac{875}{3}$ , $\mathrm{cov}(x,y)=262{,}5$ et $V(y)\approx240{,}92$ , d'où $r\approx0{,}99$ .

4 Réponse c). $a=\dfrac{262{,}5}{875/3}=0{,}9$ et $b=65{,}5-0{,}9\times35=34$ . La proposition a) permute les coefficients et b) ne passe pas par $G$ .

5 Réponse b). $y=0{,}9\times80+34=106$ milliers d'unités ; $2720{,}9$ provient de l'équation permutée et $137{,}5$ de l'équation b). Le budget $80$ sort du tableau (de $10$ à $60$ ) : cette estimation suppose que la tendance se prolonge.

2 Drill ST-I.2 — QCM sur une série décroissante : rang d'une année, moyenne de

Y

, signe de

r

, droite donnée

Entraînement 02 / 02

Drill ST-I.2 — QCM sur une série décroissante : rang d'une année, moyenne de $Y$ , signe de $r$ , droite donnée

4 questionsCorrigé masqué

Le tableau suivant donne le taux de mortalité infantile $Y_i$ (pour mille naissances) dans une région, de 2018 à 2025 ; $X_i$ est le rang de l'année (données simplifiées). Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Année	Rang $X_i$	Taux $Y_i$ (‰)
2018	$1$	$16{,}4$
2019	$2$	$15{,}9$
2020	$3$	$15{,}1$
2021	$4$	$14{,}8$
2022	$5$	$14{,}6$
2023	$6$	$13{,}9$
2024	$7$	$13{,}2$
2025	$8$	$13$

Le rang de l'année 2031 est : a) $13$ ; b) $14$ ; c) $15$ .
La moyenne du taux de mortalité infantile entre 2018 et 2025 est : a) $4{,}5$ ; b) $14{,}7$ ; c) $14{,}61$ .
Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(X,Y)$ est : a) $-9{,}9$ ; b) $0{,}99$ ; c) $-0{,}99$ .
On suppose que l'évolution du taux en fonction du rang de l'année est donnée par $Y=-0{,}49X+16{,}81$ . Une estimation du taux en 2031 est : a) $9{,}95$ ; b) $10{,}44$ ; c) $9{,}46$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1 Réponse b). 2018 a le rang $1$ , donc le rang de 2031 est $2031-2017=14$ .

2 Réponse c). La moyenne demandée est celle de $Y$ : $\bar Y=\dfrac{116{,}9}{8}\approx14{,}61$ . La proposition $4{,}5$ est la moyenne des rangs et $14{,}7$ la médiane (moyenne des 4ᵉ et 5ᵉ valeurs rangées), pas la moyenne.

3 Réponse c). Le taux baisse d'année en année : la corrélation est négative, et $|r|\le1$ élimine $-9{,}9$ . Au brouillon, $\mathrm{cov}(X,Y)\approx-2{,}57$ et $V(Y)\approx1{,}28$ avec $V(X)=5{,}25$ , d'où

r\approx\dfrac{-2{,}57}{\sqrt{5{,}25\times1{,}28}}\approx-0{,}99

4 Réponse a). Avec le rang $14$ : $Y=-0{,}49\times14+16{,}81=9{,}95$ pour mille. Les propositions $10{,}44$ et $9{,}46$ correspondent aux rangs $13$ et $15$ .

Relier ce raisonnement au bac

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QCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen, $r$ , droite de régression, estimation

Exercice 1 — QCM (6 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2023 et 2026

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Drill ST-I.1 — QCM sur une série non chronologique : moyenne, point moyen, $r$ , droite, estimation

Drill ST-I.2 — QCM sur une série décroissante : rang d'une année, moyenne de $Y$ , signe de $r$ , droite donnée

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QCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen, rrr, droite de régression, estimation

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

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Relier ce raisonnement au bac

QCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen, $r$ , droite de régression, estimation