NU-FPhysique nucléaire

Nucléaire au format Sport : particule émise, période en multiples de $T$ , noyaux désintégrés, énergie d'une fission par noyau et par gramme

Idée directrice

Au bac Sport, l'exercice de physique nucléaire tient en deux parties indépendantes et se traite sans logarithme : on identifie la particule émise par les lois de Soddy, puis on raisonne en nombre de périodes — à chaque durée $T$ , le nombre de noyaux restants est divisé par 2, donc $\frac{N_0}{N}=2^n$ à la date $t=nT$ , et les noyaux désintégrés (autant de noyaux fils formés) valent $N'=N_0-N$ . La seconde partie passe du défaut de masse d'une fission ou d'une fusion à l'énergie libérée par un noyau, puis par un gramme ou par une mole.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Identifier parmi $\zeta_1$ , $\zeta_2$ et $\zeta_3$ la courbe qui correspond à $N(t)$ » ; « Reproduire et compléter le tableau » ; « Exprimer $N'$ en fonction de $N_0$ et $N(t')$ » ; « Préciser si cette réaction est spontanée ou bien provoquée » ; « Déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de A et Z » ; « l'énergie libérée par une masse $m=1$ g d'uranium 235 »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Lois de Soddy : conservation du nombre de masse $A$ et du nombre de charge $Z$ ; ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ → $\alpha$ , ${}^{0}_{-1}e$ → $\beta^-$ , ${}^{0}_{1}e$ → $\beta^+$ . Désintégration = spontanée ; fission ou fusion = provoquée.
Période : $N(T)=\frac{N_0}{2}$ ; à la date $t=nT$ , $N=\frac{N_0}{2^n}$ , soit $\frac{N_0}{N}=2^n$ . Pour lire $T$ , chercher la date où $N=\frac{N_0}{2}$ (contrôle : $\frac{N_0}{4}$ à $2T$ , $\frac{N_0}{8}$ à $3T$ ).
Choisir la courbe $N(t)$ : même $N_0$ , et passage par $\frac{N_0}{2}$ à la date $T$ donnée.
Noyaux désintégrés = noyaux fils formés : $N'=N_0-N$ .
Énergie : $\Delta m=\sum m_{\text{avant}}-\sum m_{\text{après}}$ (en u), $W=\Delta m\times931{,}5$ MeV, puis $\times1{,}6\times10^{-13}$ pour des joules ; pour une masse $m$ : $\frac{m}{M}\mathcal{N}$ noyaux ; pour une mole : $\mathcal{N}$ noyaux.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Choisir $\zeta_1$ parce qu'elle « décroît le plus vite », ou lire la période là où la courbe atteint $\frac{N_0}{4}$ ; croire que la décroissance est linéaire ( $N=0$ à $2T$ : il reste $\frac{N_0}{4}$ ) ; confondre $N$ (noyaux restants) et $N'$ (noyaux désintégrés) ; oublier le neutron incident, ou les neutrons émis, dans le bilan de masse ; donner l'énergie d'un noyau quand on demande celle d'un gramme, ou confondre un gramme et une mole.

Sujet principal

Exercice 2 — iode 131 et fission de l'uranium 235 (6,5 points), dans l'esprit des sessions 2020–2025

9 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I. L'iode 131, utilisé en médecine pour soigner certaines maladies de la thyroïde, est radioactif. Le noyau d'iode ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ se désintègre en un noyau de xénon ${}^{131}_{54}\mathrm{Xe}$ selon la réaction nucléaire modélisée par l'équation :

{}^{131}_{53}\mathrm{I}\longrightarrow{}^{131}_{54}\mathrm{Xe}+{}^{A}_{Z}\mathrm{X}

Tableau 1 — noyaux et particules :

Noyau ou particule	Noyau d'hélium	Électron	Positron	Neutron
Symbole	${}^{4}_{2}\mathrm{He}$	${}^{0}_{-1}e$	${}^{0}_{1}e$	${}^{1}_{0}n$

Tableau 2 — rapport $\dfrac{N_0}{N}$ pour différentes dates $t$ :

$t$ (jours)	0	8	……	24	……
$N_0/N$	……	……	4	……	16

Nature de la désintégration.
1. Déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de $A$ et de $Z$ .
2. Identifier la particule ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ à l'aide du tableau 1, puis préciser s'il s'agit d'une désintégration de type $\alpha$ , $\beta^-$ ou $\beta^+$ .
3. Préciser, en le justifiant, si cette désintégration est spontanée ou provoquée.
La période radioactive de l'iode 131 est $T=8$ jours. On dispose, à l'instant $t=0$ , d'un échantillon contenant $N_0$ noyaux d'iode 131 ; on note $N(t)$ le nombre de noyaux non désintégrés à l'instant $t$ .
1. Définir la période radioactive $T$ (ou demi-vie) d'un radioélément.
2. Parmi les trois courbes $\zeta_1$ , $\zeta_2$ et $\zeta_3$ de la figure 1, une seule représente $N(t)$ . Identifier, en le justifiant, la courbe qui correspond à $N(t)$ .
3. Préciser la valeur de $N_0$ .
Exploitation du tableau 2.
1. Reproduire et compléter le tableau 2.
2. En déduire que, à une date $t=nT$ ( $n$ entier), le nombre de noyaux restants est $N=\dfrac{N_0}{2^n}$ .
3. Calculer le nombre $N_1$ de noyaux d'iode 131 restants à la date $t_1=24$ jours.
4. Soit $N'_1$ le nombre de noyaux d'iode 131 désintégrés à la date $t_1$ . Exprimer $N'_1$ en fonction de $N_0$ et $N_1$ , puis le calculer.
5. Justifier que le nombre de noyaux de xénon 131 formés à la date $t_1$ est égal à $N'_1$ .
Un deuxième échantillon d'iode 131, préparé à $t=0$ , ne contient plus que $N_2=5\times10^{13}$ noyaux à la date $t_2=40$ jours. Exprimer $t_2$ en fonction de $T$ , puis déterminer le nombre $N_{02}$ de noyaux que cet échantillon contenait à $t=0$ .

Partie II. Dans le cœur d'un réacteur nucléaire, un noyau d'uranium 235 capte un neutron lent et se scinde selon la réaction nucléaire modélisée par l'équation :

{}^{235}_{92}\mathrm{U}+{}^{1}_{0}n\longrightarrow{}^{140}_{54}\mathrm{Xe}+{}^{94}_{Z}\mathrm{Sr}+y\,{}^{1}_{0}n

Donner la définition d'une réaction de fission.
Préciser si cette réaction nucléaire est spontanée ou provoquée.
Déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de $y$ et de $Z$ .
Bilan énergétique.
1. Calculer, en unité de masse atomique (u), la perte de masse $\Delta m$ au cours de cette réaction.
2. Calculer, en MeV puis en joule (J), l'énergie $W$ libérée par la fission d'un noyau d'uranium 235.
En déduire la valeur de l'énergie $W'$ libérée par la fission de tous les noyaux contenus dans une masse $m=1\ \text{g}$ d'uranium 235.

On donne : $m({}^{235}_{92}\mathrm{U})=235{,}04393\ \text{u}$ ; $m({}^{140}_{54}\mathrm{Xe})=139{,}92164\ \text{u}$ ; $m({}^{94}_{Z}\mathrm{Sr})=93{,}91536\ \text{u}$ ; $m({}^{1}_{0}n)=1{,}00866\ \text{u}$ ; masse molaire de l'uranium 235 : $M=235\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; nombre d'Avogadro $\mathcal{N}=6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ ; $1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}$ ; $1\ \text{MeV}=1{,}6\times10^{-13}\ \text{J}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1.a Idée : une désintégration conserve le nombre de masse et le nombre de charge (lois de Soddy). Conservation du nombre de masse : $131=131+A$ , d'où $\boxed{A=0}$ . Conservation du nombre de charge : $53=54+Z$ , d'où $\boxed{Z=-1}$ .

I.1.b ${}^{0}_{-1}\mathrm{X}$ est un électron ${}^{0}_{-1}e$ (tableau 1) : c'est une désintégration de type $\boxed{\beta^-}$ .

I.1.c Elle est spontanée : le noyau d'iode 131, instable, se désintègre de lui-même, sans intervention extérieure ; aucune particule projectile ne figure parmi les réactifs de l'équation.

I.2.a La période radioactive $T$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon s'est désintégrée : $N(T)=\dfrac{N_0}{2}$ .

I.2.b Idée : les trois courbes partent du même $N_0$ ; la bonne est celle qui passe par $\frac{N_0}{2}$ à la date $t=T=8$ jours. D'après la figure 1, $N_0=8\times10^{14}$ noyaux, donc on cherche la courbe qui passe par le point $(8\ \text{jours}\ ;\ 4\times10^{14})$ . $\zeta_1$ atteint $4\times10^{14}$ dès 4 jours et $\zeta_3$ seulement à 16 jours : seule $\boxed{\zeta_2}$ convient. Contrôle : $\zeta_2$ passe par $2\times10^{14}=\frac{N_0}{4}$ à 16 jours, soit $2T$ .

I.2.c Ordonnée à l'origine de $\zeta_2$ : $\boxed{N_0=8\times10^{14}\ \text{noyaux}}$ .

I.3.a Idée : à chaque durée $T=8$ jours, $N$ est divisé par 2, donc $\frac{N_0}{N}$ est multiplié par 2.

$t$ (jours)	0	8	16	24	32
$N_0/N$	1	2	4	8	16

I.3.b À $t=T$ , $N=\frac{N_0}{2}$ ; pendant la période suivante, la moitié de ces noyaux se désintègre : à $t=2T$ , $N=\frac{N_0}{4}=\frac{N_0}{2^2}$ . Chaque nouvelle période divise encore $N$ par 2 ; après $n$ périodes : $\boxed{N=\dfrac{N_0}{2^n}}$ , c'est-à-dire $\frac{N_0}{N}=2^n$ (le tableau le confirme : 1, 2, 4, 8, 16).

I.3.c $t_1=24\ \text{jours}=3T$ , donc $N_1=\dfrac{N_0}{2^3}=\dfrac{8\times10^{14}}{8}$ , soit $\boxed{N_1=1\times10^{14}\ \text{noyaux}}$ .

I.3.d Les noyaux initiaux sont soit restants, soit désintégrés : $N'_1=N_0-N_1=8\times10^{14}-1\times10^{14}$ , soit $\boxed{N'_1=7\times10^{14}\ \text{noyaux}}$ .

I.3.e D'après l'équation, chaque noyau d'iode 131 qui se désintègre donne un noyau de xénon 131 : le nombre de noyaux de xénon formés est égal au nombre de noyaux d'iode désintégrés, soit $N'_1=7\times10^{14}$ .

I.4 Idée : compter les périodes écoulées. $t_2=\frac{40}{8}\,T=5T$ , donc $N_2=\dfrac{N_{02}}{2^5}$ et $N_{02}=32\,N_2=32\times5\times10^{13}$ , soit $\boxed{N_{02}=1{,}6\times10^{15}\ \text{noyaux}}$ .

II.1 La fission est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle un noyau lourd, frappé par un neutron, se scinde en deux noyaux plus légers, avec émission de neutrons et libération d'énergie.

II.2 Elle est provoquée : elle est déclenchée par le neutron que capte le noyau d'uranium 235.

II.3 Lois de conservation. Nombre de masse : $235+1=140+94+y$ , d'où $\boxed{y=2}$ . Nombre de charge : $92+0=54+Z$ , d'où $\boxed{Z=38}$ .

II.4.a Idée : masse des réactifs moins masse des produits ; un neutron apparaît des deux côtés et se simplifie, il en reste un du côté des produits.

\Delta m=m(\mathrm{U})-m(\mathrm{Xe})-m(\mathrm{Sr})-m(n)

soit $\Delta m=235{,}04393-139{,}92164-93{,}91536-1{,}00866$ , d'où $\boxed{\Delta m=0{,}19827\ \text{u}}$ . La masse diminue : la réaction libère de l'énergie.

II.4.b $W=\Delta m\cdot c^2=0{,}19827\times931{,}5$ , d'où $\boxed{W\approx184{,}7\ \text{MeV}}$ ; en joule : $W=184{,}7\times1{,}6\times10^{-13}$ , soit $\boxed{W\approx2{,}96\times10^{-11}\ \text{J}}$ .

II.5 Idée : énergie d'un gramme = nombre de noyaux dans un gramme × énergie par noyau. Nombre de noyaux : $N=\dfrac{m}{M}\,\mathcal{N}=\dfrac{1}{235}\times6{,}02\times10^{23}\approx2{,}56\times10^{21}$ . Puis $W'=N\cdot W=2{,}56\times10^{21}\times2{,}96\times10^{-11}$ , soit $\boxed{W'\approx7{,}6\times10^{10}\ \text{J}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : période lue sur une courbe $N(t)$ unique, puis $N$ et $N'$ à $t=2T$ et fission de l'uranium 235 (principale 2020) ; choix entre trois courbes $\zeta_1$ , $\zeta_2$ , $\zeta_3$ à $T$ donnée, $N'$ à $t'=1{,}5\,T$ et fission du plutonium 239 avec énergie par mole (principale 2025) ; tableau $\frac{N_0}{N}=2,\,4,\,8$ à compléter, $N_0$ et noyaux de plomb formés après une désintégration $\alpha$ et son énergie (principale 2024) ; tableau de $N$ et $N'=N_0-N$ à $T$ , $2T$ , $3T$ après une fusion ${}^{4}\mathrm{He}+{}^{4}\mathrm{He}$ (principale 2023) ; $T$ déduite d'un point A situé à $3T$ , puis date $t_1=5T$ (contrôle 2025) ; dates exprimées en fonction de $T$ dans un tableau $\frac{N}{N_0}=\frac12,\dots,\frac1{16}$ (principale 2021) ; fusion ${}^{2}\mathrm{H}+{}^{3}\mathrm{H}$ puis énergie libérée par un gramme d'uranium 235 (contrôle 2024) ; origine de l'électron $\beta^-$ (contrôle 2026). Dans ces épreuves Sport, la période se traite toujours en multiples de $T$ , sans constante radioactive ni logarithme.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill NU-F.1 — noyaux désintégrés à

t'=1{,}5\,T

, lus sur la courbe

N(t)

Entraînement 01 / 06

Drill NU-F.1 — noyaux désintégrés à $t'=1{,}5\,T$ , lus sur la courbe $N(t)$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le césium 137 ${}^{137}_{55}\mathrm{Cs}$ , présent dans les déchets des centrales nucléaires, est radioactif $\beta^-$ : il se désintègre en un noyau de baryum 137. La courbe de la figure représente l'évolution du nombre $N$ de noyaux de césium 137 d'un échantillon qui en contient $N_0$ à l'instant $t=0$ .

Préciser la valeur de $N_0$ .
Déterminer graphiquement, en le justifiant, la période radioactive $T$ du césium 137.
On s'intéresse à la date $t'=45$ ans.
1. Exprimer $t'$ en fonction de $T$ . Peut-on obtenir $N(t')$ en divisant $N_0$ par une puissance entière de 2 ?
2. Sans lecture graphique, justifier que $\dfrac{N_0}{4}<N(t')<\dfrac{N_0}{2}$ .
3. Lire $N(t')$ sur la courbe.
Exprimer le nombre $N'$ de noyaux désintégrés à la date $t'$ en fonction de $N_0$ et $N(t')$ , puis le calculer. Que représente aussi $N'$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. D'après la courbe, à $t=0$ : $\boxed{N_0=6\times10^{20}\ \text{noyaux}}$ .

2. Idée : $T$ est la date à laquelle $N=\frac{N_0}{2}$ . $\frac{N_0}{2}=3\times10^{20}$ est atteint à $t=30$ ans : $\boxed{T=30\ \text{ans}}$ . Contrôle : à 60 ans, soit $2T$ , la courbe donne $1{,}5\times10^{20}=\frac{N_0}{4}$ .

3.a $t'=\frac{45}{30}\,T=1{,}5\,T$ : ce n'est pas un nombre entier de périodes, la relation $N=\frac{N_0}{2^n}$ avec $n$ entier ne s'applique pas ; on lit $N(t')$ sur la courbe.

3.b Idée : $N(t)$ est décroissante. $T<t'<2T$ , donc $N(2T)<N(t')<N(T)$ , c'est-à-dire $\frac{N_0}{4}<N(t')<\frac{N_0}{2}$ : $N(t')$ est compris entre $1{,}5\times10^{20}$ et $3\times10^{20}$ .

3.c Graphiquement, $\boxed{N(t')\approx2{,}1\times10^{20}\ \text{noyaux}}$ , valeur bien comprise dans l'encadrement précédent (elle correspond à $\frac{N_0}{2\sqrt2}\approx2{,}12\times10^{20}$ ).

4. $N'=N_0-N(t')\approx6\times10^{20}-2{,}1\times10^{20}$ , soit $\boxed{N'\approx3{,}9\times10^{20}\ \text{noyaux}}$ . Chaque noyau de césium désintégré donne un noyau de baryum : $N'$ est aussi le nombre de noyaux de baryum 137 formés à la date $t'$ .

2 Drill NU-F.2 — à quelle date reste-t-il

\frac{N_0}{16}

? Raisonner en nombre de périodes

Entraînement 02 / 06

Drill NU-F.2 — à quelle date reste-t-il $\frac{N_0}{16}$ ? Raisonner en nombre de périodes

4 questionsCorrigé masqué

L'or 198 ${}^{198}_{79}\mathrm{Au}$ , utilisé en curiethérapie, est radioactif $\beta^-$ ; sa période radioactive est $T=2{,}7$ jours. Un échantillon contient $N_0=3{,}2\times10^{18}$ noyaux d'or 198 à l'instant $t=0$ ; on note $N$ le nombre de noyaux restants à la date $t$ .

$t$	0	$T$	$2T$	$3T$	$4T$
$N_0/N$	1	……	……	……	……
$N$ ( $10^{17}$ noyaux)	32	……	……	……	……

Reproduire et compléter le tableau.
Déterminer, en jours, la date $t_1$ à laquelle il reste $N_1=2{,}0\times10^{17}$ noyaux d'or 198. Quelle fraction des noyaux initiaux s'est alors désintégrée ?
Déterminer la date $t_2$ à laquelle le nombre de noyaux désintégrés est égal à sept fois le nombre de noyaux restants.
On considère qu'une source d'or 198 n'est plus utilisable lorsqu'il reste moins de 1 % des noyaux initiaux. Déterminer la plus petite durée, multiple entier de $T$ , au bout de laquelle cette condition est réalisée.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : à chaque période, $N$ est divisé par 2.

$t$	0	$T$	$2T$	$3T$	$4T$
$N_0/N$	1	2	4	8	16
$N$ ( $10^{17}$ noyaux)	32	16	8	4	2

2. $\dfrac{N_0}{N_1}=\dfrac{3{,}2\times10^{18}}{2{,}0\times10^{17}}=16=2^4$ : $t_1=4T=4\times2{,}7$ , soit $\boxed{t_1=10{,}8\ \text{jours}}$ . Il reste $\frac{1}{16}$ des noyaux : la fraction désintégrée est $\frac{N'}{N_0}=1-\frac{1}{16}=\boxed{\frac{15}{16}}$ , soit environ 94 %.

3. Idée : traduire la condition en rapport $\frac{N_0}{N}$ . $N'=7N$ et $N'=N_0-N$ donnent $N_0=8N$ , soit $\frac{N_0}{N}=8=2^3$ : $t_2=3T$ , soit $\boxed{t_2=8{,}1\ \text{jours}}$ .

4. Il faut $\frac{N_0}{N}>100$ . Or $2^6=64<100<2^7=128$ : au bout de $6T$ il reste encore $\frac{1}{64}\approx1{,}6$ % des noyaux, au bout de $7T$ il n'en reste que $\frac{1}{128}\approx0{,}8$ %. La durée cherchée est $7T=7\times2{,}7$ , soit $\boxed{18{,}9\ \text{jours}}$ .

3 Drill NU-F.3 — désintégration

\beta^+

de l'oxygène 15 : d'où vient le positron ?

Entraînement 03 / 06

Drill NU-F.3 — désintégration $\beta^+$ de l'oxygène 15 : d'où vient le positron ?

4 questionsCorrigé masqué

L'oxygène 15 ${}^{15}_{8}\mathrm{O}$ , utilisé en imagerie médicale (tomographie par émission de positrons), est radioactif. Sa désintégration est modélisée par l'équation :

{}^{15}_{8}\mathrm{O}\longrightarrow{}^{A}_{Z}\mathrm{Y}+{}^{0}_{1}e

Noyau	Carbone	Azote	Oxygène	Fluor
Symbole	C	N	O	F
Nombre de charge	6	7	8	9

Donner la composition du noyau d'oxygène 15.
Nature de la transformation.
1. Déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de $A$ et de $Z$ .
2. Identifier le noyau ${}^{A}_{Z}\mathrm{Y}$ à l'aide du tableau.
3. Préciser, en le justifiant, s'il s'agit d'une radioactivité $\alpha$ , $\beta^-$ ou $\beta^+$ .
4. Préciser, en le justifiant, si cette transformation est spontanée ou provoquée.
Comparer la composition du noyau fils à celle du noyau père. Le noyau d'oxygène 15 ne contient pas de positron : expliquer l'émission de la particule ${}^{0}_{1}e$ en écrivant l'équation de la transformation qui se produit dans le noyau.
La période radioactive de l'oxygène 15 est $T\approx2$ min. Calculer le rapport $\dfrac{N_0}{N}$ au bout d'une durée $\Delta t=10$ min, puis expliquer pourquoi cet isotope doit être produit à proximité immédiate du service d'imagerie.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. ${}^{15}_{8}\mathrm{O}$ : 15 nucléons, dont $\boxed{8\ \text{protons}}$ et $15-8=\boxed{7\ \text{neutrons}}$ .

2.a Lois de Soddy. Conservation du nombre de masse : $15=A+0$ , d'où $\boxed{A=15}$ . Conservation du nombre de charge : $8=Z+1$ , d'où $\boxed{Z=7}$ .

2.b $Z=7$ : c'est l'azote, $\boxed{{}^{15}_{7}\mathrm{N}}$ .

2.c La particule émise ${}^{0}_{1}e$ est un positron : radioactivité $\boxed{\beta^+}$ .

2.d Spontanée : le noyau instable se transforme de lui-même ; aucun projectile ne figure dans l'équation.

3. ${}^{15}_{8}\mathrm{O}$ contient 8 protons et 7 neutrons, ${}^{15}_{7}\mathrm{N}$ contient 7 protons et 8 neutrons : un proton a disparu, un neutron est apparu. Idée : le positron n'existait pas dans le noyau, il est créé au moment de la désintégration. Dans le noyau, un proton se transforme en neutron :

{}^{1}_{1}p\longrightarrow{}^{1}_{0}n+{}^{0}_{1}e

(un neutrino, de nombre de masse et de nombre de charge nuls, accompagne cette transformation). Le positron créé est aussitôt expulsé du noyau.

4. $\Delta t=10\ \text{min}=5T$ , donc $\boxed{\dfrac{N_0}{N}=2^5=32}$ : dix minutes après sa production, il ne reste qu'environ 3 % des noyaux d'oxygène 15. Transporté sur une longue distance, l'échantillon ne contiendrait presque plus de noyaux d'oxygène 15 : il faut le produire sur place et l'utiliser aussitôt.

4 Drill NU-F.4 — désintégration

\alpha

du radium 226 : masse perdue et énergie libérée par un noyau

Entraînement 04 / 06

Drill NU-F.4 — désintégration $\alpha$ du radium 226 : masse perdue et énergie libérée par un noyau

5 questionsCorrigé masqué

Le radium ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra}$ est un élément radioactif naturel. Il se désintègre en un noyau de radon ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ en émettant une entité ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ .

Préciser s'il s'agit d'une réaction nucléaire spontanée ou provoquée.
Écrire l'équation de la désintégration du radium 226, puis déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de $A$ et de $Z$ .
Identifier ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ parmi les entités ${}^{0}_{-1}e$ , ${}^{0}_{1}e$ , ${}^{1}_{0}n$ et ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ . Indiquer le type de radioactivité.
Calculer, en unité de masse atomique (u), la masse perdue $\Delta m$ au cours de la désintégration d'un noyau de radium 226.
Calculer, en MeV puis en joule (J), l'énergie $W$ libérée par la désintégration d'un noyau de radium 226.

On donne : $m({}^{226}_{88}\mathrm{Ra})=226{,}02541\ \text{u}$ ; $m({}^{222}_{86}\mathrm{Rn})=222{,}01758\ \text{u}$ ; $m({}^{A}_{Z}\mathrm{X})=4{,}00260\ \text{u}$ ; $1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}$ ; $1\ \text{MeV}=1{,}6\times10^{-13}\ \text{J}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Réaction spontanée : le noyau de radium, instable, se désintègre sans intervention extérieure.

2. L'équation s'écrit :

{}^{226}_{88}\mathrm{Ra}\longrightarrow{}^{222}_{86}\mathrm{Rn}+{}^{A}_{Z}\mathrm{X}

Lois de Soddy. Nombre de masse : $226=222+A$ , d'où $\boxed{A=4}$ . Nombre de charge : $88=86+Z$ , d'où $\boxed{Z=2}$ .

3. ${}^{4}_{2}\mathrm{X}$ est un noyau d'hélium ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ (particule $\alpha$ ) : radioactivité $\boxed{\alpha}$ .

4. Idée : masse du noyau père moins masse des produits. $\Delta m=m(\mathrm{Ra})-m(\mathrm{Rn})-m(\mathrm{He})=226{,}02541-222{,}01758-4{,}00260$ , soit $\boxed{\Delta m=5{,}23\times10^{-3}\ \text{u}}$ .

5. $W=\Delta m\cdot c^2=5{,}23\times10^{-3}\times931{,}5$ , d'où $\boxed{W\approx4{,}87\ \text{MeV}}$ ; $W=4{,}87\times1{,}6\times10^{-13}$ , soit $\boxed{W\approx7{,}8\times10^{-13}\ \text{J}}$ .

5 Drill NU-F.5 — fusion de deux noyaux d'hélium 3 : nature de la réaction et énergie libérée

Entraînement 05 / 06

Drill NU-F.5 — fusion de deux noyaux d'hélium 3 : nature de la réaction et énergie libérée

4 questionsCorrigé masqué

Dans le Soleil, l'une des étapes de la production d'énergie est la réaction nucléaire modélisée par l'équation :

{}^{3}_{2}\mathrm{He}+{}^{3}_{2}\mathrm{He}\longrightarrow{}^{4}_{2}\mathrm{He}+2\,{}^{A}_{Z}\mathrm{X}

Particule	neutron	positon	proton	électron
Symbole	${}^{1}_{0}n$	${}^{0}_{1}e$	${}^{1}_{1}p$	${}^{0}_{-1}e$

Préciser, en le justifiant, s'il s'agit d'une réaction de fusion ou de fission.
Déterminer, en précisant les lois utilisées, les valeurs de $A$ et de $Z$ , puis identifier la particule ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ à l'aide du tableau.
Cette réaction est-elle spontanée ou provoquée ? Expliquer pourquoi elle ne se produit qu'à très haute température, comme au cœur des étoiles.
Calculer, en u, la perte de masse $\Delta m$ , puis, en MeV et en joule, l'énergie $E$ libérée au cours de cette réaction.

On donne : $m({}^{3}_{2}\mathrm{He})=3{,}01493\ \text{u}$ ; $m({}^{4}_{2}\mathrm{He})=4{,}00151\ \text{u}$ ; $m({}^{1}_{1}p)=1{,}00728\ \text{u}$ ; $1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}$ ; $1\ \text{MeV}=1{,}6\times10^{-13}\ \text{J}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Deux noyaux légers s'unissent pour former un noyau plus lourd : c'est une réaction de $\boxed{\text{fusion}}$ .

2. Lois de conservation. Nombre de masse : $3+3=4+2A$ , d'où $\boxed{A=1}$ . Nombre de charge : $2+2=2+2Z$ , d'où $\boxed{Z=1}$ . ${}^{1}_{1}\mathrm{X}$ est un proton ${}^{1}_{1}p$ .

3. La fusion est une réaction provoquée : elle exige que deux noyaux se heurtent. Tous deux chargés positivement, ils se repoussent ; seuls des noyaux animés de très grandes vitesses, donc à une température de plusieurs millions de degrés, peuvent s'approcher assez pour fusionner.

4. Idée : masse des réactifs moins masse des produits, sans oublier le coefficient 2. $\Delta m=2\,m({}^{3}\mathrm{He})-m({}^{4}\mathrm{He})-2\,m(p)=6{,}02986-4{,}00151-2{,}01456$ , soit $\boxed{\Delta m=0{,}01379\ \text{u}}$ .

$E=\Delta m\cdot c^2=0{,}01379\times931{,}5$ , d'où $\boxed{E\approx12{,}85\ \text{MeV}}$ ; $E=12{,}85\times1{,}6\times10^{-13}$ , soit $\boxed{E\approx2{,}06\times10^{-12}\ \text{J}}$ .

6 Drill NU-F.6 — fission du plutonium 239 : énergie par noyau, par mole et par gramme

Entraînement 06 / 06

Drill NU-F.6 — fission du plutonium 239 : énergie par noyau, par mole et par gramme

4 questionsCorrigé masqué

Certains réacteurs utilisent le plutonium 239 comme combustible. L'une des fissions possibles est modélisée par l'équation :

{}^{239}_{94}\mathrm{Pu}+{}^{1}_{0}n\longrightarrow{}^{134}_{54}\mathrm{Xe}+{}^{103}_{Z}\mathrm{Zr}+y\,{}^{1}_{0}n

Déterminer les valeurs de $y$ et de $Z$ .
Calculer, en MeV puis en joule, l'énergie $W$ libérée par la fission d'un noyau de plutonium 239.
Changer d'échelle.
1. En déduire l'énergie $W_1$ libérée par la fission d'une mole de noyaux de plutonium 239, en MeV puis en joule.
2. Calculer le nombre de noyaux contenus dans $m=1\ \text{g}$ de plutonium 239, puis l'énergie $W_2$ libérée par leur fission.
3. Un élève affirme : « une mole et un gramme de plutonium 239 libèrent la même énergie, puisqu'il s'agit des mêmes noyaux ». Corriger cette affirmation en calculant $\dfrac{W_1}{W_2}$ .
La combustion d'un kilogramme de pétrole libère environ $4{,}2\times10^{7}$ J. Quelle masse de pétrole faudrait-il brûler pour obtenir l'énergie $W_2$ ?

On donne : $m({}^{239}_{94}\mathrm{Pu})=239{,}05216\ \text{u}$ ; $m({}^{134}_{54}\mathrm{Xe})=133{,}90539\ \text{u}$ ; $m({}^{103}_{Z}\mathrm{Zr})=102{,}92660\ \text{u}$ ; $m({}^{1}_{0}n)=1{,}00866\ \text{u}$ ; $M(\mathrm{Pu})=239\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $\mathcal{N}=6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ ; $1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}$ ; $1\ \text{MeV}=1{,}6\times10^{-13}\ \text{J}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Nombre de masse : $239+1=134+103+y$ , d'où $\boxed{y=3}$ . Nombre de charge : $94=54+Z$ , d'où $\boxed{Z=40}$ .

2. Un neutron se simplifie de part et d'autre : $\Delta m=m(\mathrm{Pu})-m(\mathrm{Xe})-m(\mathrm{Zr})-2\,m(n)=239{,}05216-133{,}90539-102{,}92660-2{,}01732$ , soit $\Delta m=0{,}20285\ \text{u}$ . Alors $W=0{,}20285\times931{,}5$ , d'où $\boxed{W\approx189{,}0\ \text{MeV}}$ , soit $\boxed{W\approx3{,}02\times10^{-11}\ \text{J}}$ .

3.a Idée : une mole contient $\mathcal{N}$ noyaux. $W_1=\mathcal{N}\,W=6{,}02\times10^{23}\times189{,}0$ , d'où $\boxed{W_1\approx1{,}14\times10^{26}\ \text{MeV}}$ , soit $W_1=6{,}02\times10^{23}\times3{,}02\times10^{-11}$ , $\boxed{W_1\approx1{,}82\times10^{13}\ \text{J}}$ .

3.b Idée : un gramme contient $\frac{m}{M}\mathcal{N}$ noyaux. $N=\dfrac{1}{239}\times6{,}02\times10^{23}\approx2{,}52\times10^{21}$ noyaux ; $W_2=N\,W=2{,}52\times10^{21}\times3{,}02\times10^{-11}$ , soit $\boxed{W_2\approx7{,}6\times10^{10}\ \text{J}}$ .

3.c $\dfrac{W_1}{W_2}=\dfrac{\mathcal{N}}{N}=\dfrac{M}{m}=\boxed{239}$ : une mole de plutonium 239 pèse 239 g et contient 239 fois plus de noyaux qu'un gramme ; elle libère donc 239 fois plus d'énergie. L'élève confond la nature des noyaux et leur nombre.

4. $m_{\text{pétrole}}=\dfrac{7{,}6\times10^{10}}{4{,}2\times10^{7}}$ , soit $\boxed{m_{\text{pétrole}}\approx1{,}8\times10^{3}\ \text{kg}}$ : près de deux tonnes de pétrole pour un seul gramme de plutonium.

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Drill NU-F.2 — à quelle date reste-t-il $\frac{N_0}{16}$ ? Raisonner en nombre de périodes

Drill NU-F.3 — désintégration $\beta^+$ de l'oxygène 15 : d'où vient le positron ?

Drill NU-F.4 — désintégration $\alpha$ du radium 226 : masse perdue et énergie libérée par un noyau

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