Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/Suites réelles/Suite homographique uₙ₊₁=(auₙ+b) / (cuₙ+d) : encadrement, monotonie, puis suite auxiliaire (uₙ − α) / (uₙ − β) géométrique (ou dfrac1uₙ-α arithmétique), forme explicite et limite
Suites réelles

Suite homographique un+1=aun+bcun+du_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d} : encadrement, monotonie, puis suite auxiliaire un−αun−β\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} géométrique (ou 1un−α\dfrac1{u_n-\alpha} arithmétique), forme explicite et limite

Idée directrice

Une suite homographique un+1=aun+bcun+du_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d} se traite en deux temps. D'abord l'étude qualitative : on encadre unu_n par récurrence (souvent grâce à une écriture factorisée de un+1−αu_{n+1}-\alpha fournie par l'énoncé), on lit le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n sur une expression factorisée, et l'on conclut à la convergence. Ensuite la suite auxiliaire donnée par l'énoncé, vn=un−αun−βv_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}, où α\alpha et β\beta sont les deux solutions de x=ax+bcx+dx=\dfrac{ax+b}{cx+d} : elle est géométrique. On écrit vn=v0qnv_n=v_0q^n, on inverse la relation entre unu_n et vnv_n pour obtenir unu_n, puis on passe à la limite. Quand l'équation x=ax+bcx+dx=\dfrac{ax+b}{cx+d} n'a qu'une solution α\alpha, c'est 1un−α\dfrac1{u_n-\alpha} qui est arithmétique.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, 0≤un≤10\le u_n\le1 » ; « vérifier que un+1−un=…u_{n+1}-u_n=\dots et déduire que la suite est croissante » ; « soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=un−1un+2v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} ; montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison qq » ; « exprimer vnv_n en fonction de nn et prouver que un=…u_n=\dots » ; « calculer lim⁡un\lim u_n »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Encadrement : récurrence ; pour l'hérédité, utiliser l'expression factorisée un+1−α=k(un−α)cun+du_{n+1}-\alpha=\dfrac{k\left(u_n-\alpha\right)}{cu_n+d} et le signe du dénominateur.
  • Monotonie : réduire un+1−unu_{n+1}-u_n au même dénominateur ; le numérateur est un trinôme qui se factorise par (x−α)(x−β)(x-\alpha)(x-\beta) ; conclure avec l'encadrement.
  • Suite auxiliaire : vérifier d'abord qu'elle est définie (dénominateur jamais nul), puis calculer séparément un+1−αu_{n+1}-\alpha et un+1−βu_{n+1}-\beta en fonction de unu_n ; leur quotient fait apparaître q vnq\,v_n.
  • Inverser la relation : vn=un−αun−β  ⟺  un(1−vn)=α−βvnv_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\iff u_n\left(1-v_n\right)=\alpha-\beta v_n, donc un=α−βvn1−vnu_n=\dfrac{\alpha-\beta v_n}{1-v_n} dès que vn≠1v_n\neq1.
  • Limite : si ∣q∣<1|q|<1, vn→0v_n\to0 et un→αu_n\to\alpha ; une raison négative fait alterner le signe de vnv_n, donc la position de unu_n par rapport à α\alpha.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Étudier vn=un−αun−βv_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} sans avoir montré que un≠βu_n\neq\beta pour tout nn ; se tromper de premier terme (v0=u0−αu0−βv_0=\dfrac{u_0-\alpha}{u_0-\beta}, pas u0u_0) ; diviser par 1−vn1-v_n sans vérifier vn≠1v_n\neq1 ; conclure « (un)(u_n) est croissante » parce que x↦ax+bcx+dx\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d} est croissante (c'est le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n qui compte, et une fonction décroissante donne une suite qui oscille) ; chercher une suite géométrique quand le point fixe est double (c'est 1un−α\dfrac1{u_n-\alpha}, arithmétique, qui convient).

Sujet principal

Exercice — suite homographique et suite auxiliaire (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et gestion 2018–2020

2 questionsCorrigé masqué

On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\N par u0=0u_0=0 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=4un+2un+3u_{n+1}=\dfrac{4u_n+2}{u_n+3}.

  1. Étude de la suite (un)(u_n).
    1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
    2. Vérifier que pour tout n∈Nn\in\N, un+1−2=2(un−2)un+3u_{n+1}-2=\dfrac{2\left(u_n-2\right)}{u_n+3}.
    3. Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn\in\N, 0≤un<20\le u_n<2.
    4. Vérifier que pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=(2−un)(un+1)un+3u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+3}. En déduire que la suite (un)(u_n) est croissante.
    5. Justifier que la suite (un)(u_n) est convergente.
  2. Soit (vn)(v_n) la suite définie sur N\N par vn=un−2un+1v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}.
    1. Justifier que vnv_n est bien défini pour tout n∈Nn\in\N.
    2. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 25\dfrac25 dont on précisera le premier terme.
    3. Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis montrer que pour tout n∈Nn\in\N, un=2+vn1−vnu_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}.
    4. En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche
1.a $u_1=\dfrac{0+2}{0+3}=\dfrac23$ et $u_2=\dfrac{\frac83+2}{\frac23+3}=\dfrac{14/3}{11/3}=\dfrac{14}{11}$. 1.b Pour tout $n$ tel que $u_n\neq-3$ (la question 1.c montrera que $u_n\ge0$ pour tout $n$) : $$u_{n+1}-2=\frac{4u_n+2-2\left(u_n+3\right)}{u_n+3}=\frac{2u_n-4}{u_n+3}=\frac{2\left(u_n-2\right)}{u_n+3}$$ 1.c Montrons par récurrence que pour tout $n\in\N$, $0\le u_n<2$. Initialisation : $u_0=0$ et $0\le0<2$. Hérédité : supposons que $0\le u_n<2$ et montrons que $0\le u_{n+1}<2$. Comme $u_n\ge0$, on a $4u_n+2>0$ et $u_n+3>0$, donc $u_{n+1}>0$. De plus $u_n-2<0$ et $u_n+3>0$, donc d'après 1.b, $u_{n+1}-2<0$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $0\le u_n<2$. 1.d On réduit au même dénominateur : $$u_{n+1}-u_n=\frac{4u_n+2-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\frac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+3}=\frac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+3}$$ D'après 1.c, $2-u_n>0$, $u_n+1>0$ et $u_n+3>0$ : $u_{n+1}-u_n>0$. La suite $(u_n)$ est croissante. 1.e $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle est convergente. 2.a Idée : une suite auxiliaire n'existe que si son dénominateur ne s'annule jamais. D'après 1.c, $u_n\ge0$, donc $u_n+1\ge1>0$ : $v_n$ est bien défini pour tout $n$. 2.b *Idée : écrire $v_{n+1}$ à l'aide de $u_{n+1}$, remplacer, puis simplifier par $u_n+3$.* D'après 1.b, $u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+3}$, et $u_{n+1}+1=\dfrac{4u_n+2+u_n+3}{u_n+3}=\dfrac{5\left(u_n+1\right)}{u_n+3}$. Donc $$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1}=\frac{2\left(u_n-2\right)}{5\left(u_n+1\right)}=\frac25\,v_n$$ $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac25$ et de premier terme $v_0=\dfrac{0-2}{0+1}=\boxed{-2}$. 2.c $v_n=-2\left(\dfrac25\right)^n$. *Idée : inverser la relation entre $u_n$ et $v_n$.* $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}$ donne $v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2$, soit $u_n\left(1-v_n\right)=2+v_n$. Comme $v_n<0$, $1-v_n\neq0$ et $$u_n=\frac{2+v_n}{1-v_n}\qquad(\text{contrôle : }n=1,\ v_1=-\tfrac45,\ u_1=\tfrac{6/5}{9/5}=\tfrac23)$$ 2.d $0<\dfrac25<1$, donc $\left(\dfrac25\right)^n\to0$ et $v_n\to0$. Par opérations sur les limites, $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{2+0}{1-0}=2}$. On retrouve la limite que laissaient prévoir la majoration $u_n<2$ et le point fixe $2$ de $x\mapsto\dfrac{4x+2}{x+3}$.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : suite auxiliaire 1−1un1-\dfrac1{u_n}, un1−un\dfrac{u_n}{1-u_n} ou un−3un\dfrac{u_n-3}{u_n} (géométriques) ; 1un−3\dfrac1{u_n-3} ou un+1un−2\dfrac{u_n+1}{u_n-2} (arithmétiques, point fixe double) ; suite non monotone d'abord constatée sur u0u_0, u1u_1, u2u_2 ; formule un=1+2vn1−vnu_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n} donnée à vérifier ; transformée logarithmique ln⁡1+un2−un\ln\dfrac{1+u_n}{2-u_n} arithmétique ; suite homographique en un2u_n^2.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Point fixe double : 1un−2\dfrac1{u_n-2} arithmétique et convergence lente
Entraînement 01 / 02

Point fixe double : 1un−2\dfrac1{u_n-2} arithmétique et convergence lente

4 questionsCorrigé masqué
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par $u_0=5$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{u_n+1}$. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$. 2. Vérifier que pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}-2=\dfrac{3\left(u_n-2\right)}{u_n+1}$, puis montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, $u_n>2$. 3. Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{u_n+1}$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$, puis qu'elle converge. 4. Pour tout $n\in\N$, on pose $w_n=\dfrac1{u_n-2}$. 1. Justifier que $w_n$ est bien défini, puis montrer que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac13$. 2. Exprimer $w_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 3. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche
1. $u_1=\dfrac{25-4}{6}=\dfrac72$ et $u_2=\dfrac{\frac{35}2-4}{\frac92}=\dfrac{27/2}{9/2}=3$. 2. $u_{n+1}-2=\dfrac{5u_n-4-2u_n-2}{u_n+1}=\dfrac{3u_n-6}{u_n+1}=\dfrac{3(u_n-2)}{u_n+1}$. Montrons par récurrence que pour tout $n$, $u_n>2$. Initialisation : $u_0=5>2$. Hérédité : supposons que $u_n>2$ et montrons que $u_{n+1}>2$. Alors $u_n+1>3>0$ et $u_n-2>0$, donc $u_{n+1}-2>0$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $u_n>2$ (en particulier $u_n+1\neq0$ : la suite est bien définie). 3. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-4-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\dfrac{-\left(u_n^2-4u_n+4\right)}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-2)^2}{u_n+1}$. Comme $u_n>2$, le numérateur $(u_n-2)^2$ est strictement positif et $u_n+1>0$ : $u_{n+1}-u_n<0$. La suite est décroissante ; minorée par $2$, elle converge. 4.a $u_n-2>0$, donc $w_n$ est bien défini. *Idée : ici $2$ est le seul point fixe ($x^2+x=5x-4\iff(x-2)^2=0$) ; on ne peut pas former $\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$, et c'est l'inverse $\frac1{u_n-2}$ qui devient arithmétique.* D'après 2 : $$w_{n+1}=\frac1{u_{n+1}-2}=\frac{u_n+1}{3\left(u_n-2\right)}=\frac{\left(u_n-2\right)+3}{3\left(u_n-2\right)}=\frac13+\frac1{u_n-2}=w_n+\frac13$$ $(w_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac13$, de premier terme $w_0=\dfrac1{5-2}=\dfrac13$. 4.b $w_n=\dfrac13+\dfrac n3=\dfrac{n+1}3$. Comme $u_n-2=\dfrac1{w_n}$ : $\boxed{u_n=2+\dfrac3{n+1}=\dfrac{2n+5}{n+1}}$ (contrôle : $u_1=\dfrac72$, $u_2=3$). 4.c $\dfrac3{n+1}\to0$, donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2}$. La convergence est lente : l'écart à la limite décroît comme $\dfrac3{n+1}$, et non comme une puissance $q^n$.
2 Fonction décroissante, raison négative : suite non monotone et termes alternés autour de la limite
Entraînement 02 / 02

Fonction décroissante, raison négative : suite non monotone et termes alternés autour de la limite

3 questionsCorrigé masqué
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac{6}{u_n+1}$. 1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, $u_n\ge0$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, et en déduire que la suite $(u_n)$ n'est pas monotone. 2. Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$. 1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac23$ et que $v_n=\left(-\dfrac23\right)^{n+1}$ pour tout $n\in\N$. 2. Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n=\dfrac{2+3v_n}{1-v_n}$. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite. 3. Position des termes par rapport à la limite. 1. Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n-2=\dfrac{5v_n}{1-v_n}$. 2. En déduire que pour tout $n\in\N$, $u_{2n}<2<u_{2n+1}$. Interpréter.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche
1. Montrons par récurrence que pour tout $n$, $u_n\ge0$. Initialisation : $u_0=0\ge0$. Hérédité : supposons que $u_n\ge0$ et montrons que $u_{n+1}\ge0$ : $u_n+1\ge1>0$, donc $u_{n+1}=\dfrac6{u_n+1}>0$. Conclusion : $u_n\ge0$ pour tout $n\in\N$ ; en particulier $u_n+1\neq0$ et la suite est bien définie. $u_1=\dfrac61=6$, $u_2=\dfrac67$ et $u_3=\dfrac{6}{13/7}=\dfrac{42}{13}$. On a $u_0<u_1$ mais $u_1>u_2$ : la suite n'est pas monotone. C'est l'effet de $x\mapsto\dfrac6{x+1}$, décroissante sur $[0,+\infty[$. 2.a $u_n\ge0$ donne $u_n+3>0$ : $v_n$ est bien défini. On calcule $u_{n+1}-2=\dfrac{6-2u_n-2}{u_n+1}=\dfrac{-2\left(u_n-2\right)}{u_n+1}$ et $u_{n+1}+3=\dfrac{6+3u_n+3}{u_n+1}=\dfrac{3\left(u_n+3\right)}{u_n+1}$, d'où $$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+3}=\frac{-2\left(u_n-2\right)}{3\left(u_n+3\right)}=-\frac23\,v_n$$ $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac23$, de premier terme $v_0=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac23$. Donc $v_n=-\dfrac23\left(-\dfrac23\right)^n=\left(-\dfrac23\right)^{n+1}$. 2.b $v_n\left(u_n+3\right)=u_n-2$ donne $u_n\left(1-v_n\right)=2+3v_n$. Or $|v_n|\le\dfrac23<1$, donc $1-v_n\neq0$ et $u_n=\dfrac{2+3v_n}{1-v_n}$. Comme $-1<-\dfrac23<1$, $\left(-\dfrac23\right)^{n+1}\to0$ : $v_n\to0$ et $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2}$. La raison est négative, mais de valeur absolue strictement inférieure à $1$ : la suite géométrique tend vers $0$ en changeant de signe à chaque rang. 3.a $u_n-2=\dfrac{2+3v_n-2\left(1-v_n\right)}{1-v_n}=\dfrac{5v_n}{1-v_n}$. 3.b $1-v_n>0$ car $|v_n|\le\dfrac23<1$, donc $u_n-2$ a le signe de $v_n=\left(-\dfrac23\right)^{n+1}$. Pour un rang pair $2n$, l'exposant $2n+1$ est impair et $v_{2n}<0$ : $u_{2n}<2$. Pour un rang impair $2n+1$, l'exposant $2n+2$ est pair et $v_{2n+1}>0$ : $u_{2n+1}>2$. Les termes se placent alternativement de part et d'autre de la limite $2$ ; c'est pourquoi la suite converge sans être monotone.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.