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méthode par scénarios · Mathématiques

Les 146 scénarios de l’épreuve de maths

Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario aide à choisir une démarche : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.

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chapitres
17
scénarios
146

Quand plusieurs chapitres se répondent

Section Mathématiques

Deux parcours à lire dans de vrais sujets : repère quelle question fournit l’outil de la suivante.

Une suite définie par une équation, sans récurrence explicite

Commence par la fonction : sur quel intervalle la solution est-elle unique ? Utilise ensuite l’inverse ou les variations pour comparer les termes et étudier leur limite.

À comparer : le nombre de branches change ; l’existence et l’unicité doivent être établies sur chaque intervalle avant de parler de la suite.

Des coordonnées entières : faire dialoguer géométrie et arithmétique

Le sujet commence dans les entiers, présente ensuite une parabole, puis relie les deux. Identifie la substitution qui transforme les coordonnées du point en solution de l’équation initiale ; réutilise le tableau des restes pour trancher.

Ouvrir 2025 contrôle · exercice 4 →

Un cas attesté à explorer, sans prétendre qu’il revient chaque année. Pour transférer : quelles contraintes sur les coordonnées permettent de réutiliser les congruences ?

Exercices existants, avec leurs sources et le statut de leurs corrections. Mode BAC utilise la filière de ton profil après connexion.

Suites réelles

11 scénarios
Suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'IAF
Le cœur « créatif » du problème. Une suite est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'on veut sa limite. Trois temps : (1) montrer qu'un intervalle II contenant le point fixe α\alpha est stable (f(I)⊂If(I)\subset I) ; (2) majorer…
Signature : « Soit (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) » ; « montrer que ∣un+1−α∣≤k∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\leq k|u_n-\alpha| ».
Suites arithmétiques et géométriques — somme des termes
L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. On commence par écrire le total demandé sous la forme d'une somme, on identifie u0u_0 (ou u1u_1…
Signature : « Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de u1u_1 à unu_n ».
Convergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes
L'enjeu est de prouver la convergence d'une suite en la comparant ou en l'encadrant par des suites dont la limite est connue. Deux outils phares : le théorème des gendarmes (an≤un≤bna_n\leq u_n\leq b_n avec an→ℓa_n\to\ell et bn→ℓb_n\to\ell…
Signature : « Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante et majorée » ; « En déduire la limite de (un)(u_n) » ; « Encadrer unu_n puis appliquer le théorème des gendarmes ».
Suite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée
Pour Un+1=12Un−1U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1, on montre Un>−2U_n>-2, la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie l=12l−1l=\frac12 l-1. Le changement Vn=ln⁡(Un+2)V_n=\ln(U_n+2) produit une suite arithmétique.
Signature : « suite (Un) est décroissante »
Suite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence
Pour un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec f(x)=1x+x2f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2 et u0=2u_0=2, on prouve un≥2u_n\ge\sqrt{2} (AM-GM ou récurrence), puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie f(l)=lf(l)=l et l=2l=\sqrt{2}.
Signature : « suite (un) est décroissante »
Suite définie implicitement : gn(x)=0g_n(x)=0 admet une unique solution αn\alpha_n ; encadrement, monotonie par comparaison d'images, limite, équivalent
Quand une équation dépend d'un entier nn et admet, grâce à une bijection, une unique solution αn\alpha_n, on étudie la suite (αn)(\alpha_n) sans jamais la calculer : on l'encadre par le signe de gng_n en deux points, on compare…
Signature : « Montrer que l'équation fn(x)=0f_n(x)=0 admet une unique solution αn\alpha_n » ; « on définit ainsi une suite (αn)(\alpha_n) » ; « montrer que fn+1(αn)=…f_{n+1}(\alpha_n)=\dots ; en déduire que la suite (αn)(\alpha_n) est croissante » ; « en déduire que (αn)(\alpha_n) est convergente et déterminer sa limite »
Suite définie par une somme d'intégrales : relation de Chasles, encadrement terme à terme, comparaison avec ln⁡n\ln n
Au bac, une somme ∑k=1n\sum_{k=1}^{n} se traite rarement par une formule : on l'écrit comme une intégrale (relation de Chasles sur des intégrales Ak=∫kk+1A_k=\int_k^{k+1}) ou on l'encadre terme à terme par des intégrales grâce à la…
Signature : « Pour tout n≥1n\ge1, on pose Sn=∑k=1n…S_n=\sum_{k=1}^{n}\dots » ; « montrer que pour tout kk, ⋯≤∫kk+1⋯≤…\dots\le\int_k^{k+1}\dots\le\dots » ; « en déduire un encadrement de SnS_n » ; « déterminer lim⁡Snln⁡n\lim\frac{S_n}{\ln n} »
Suite arithmético-géométrique Un+1=aUn+bU_{n+1}=aU_n+b : ni arithmétique ni géométrique, suite auxiliaire Vn=Un−ℓV_n=U_n-\ell géométrique, forme explicite et limite
Une suite définie par Un+1=aUn+bU_{n+1}=aU_n+b (avec a≠1a\neq1 et b≠0b\neq0) n'est ni arithmétique ni géométrique : on le prouve avec trois termes (deux différences, puis deux quotients). L'énoncé donne la suite auxiliaire, le plus souvent…
Signature : « Calculer U1−U0U_1-U_0 et U2−U1U_2-U_1. En déduire que la suite (Un)(U_n) n'est pas arithmétique » ; « justifier que la suite (Un)(U_n) n'est ni arithmétique ni géométrique » ; « soit (Vn)(V_n) la suite définie par Vn=Un−ℓV_n=U_n-\ell » ; « montrer que (Vn)(V_n) est une suite géométrique de raison qq et de premier terme V0V_0 que l'on calculera » ; « en déduire que Un=ℓ+V0 qnU_n=\ell+V_0\,q^n »
Modéliser une situation par une suite arithmético-géométrique (abonnement, clients, spectateurs, contrat) : récurrence justifiée par le texte, plancher ou plafond, rang converti en année
Le texte décrit une quantité qui, d'une étape à la suivante, garde un pourcentage de sa valeur et reçoit un apport fixe (ou en perd un) : c'est une suite arithmético-géométrique un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b, et la première tâche est de…
Signature : « Justifier que pour tout entier nn, an+1=0,9 an+20a_{n+1}=0{,}9\,a_n+20 » ; « expliquer pourquoi le joueur ne pourra jamais recevoir une somme supérieure ou égale à… » ; « déterminer l'année à partir de laquelle le montant… sera inférieur à… » ; « dans combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il… ? » ; « quel est le rang du mois où le nombre de clients dépassera… ? »
Exercice de suites Techniques/Informatique : identité fournie, récurrence, monotonie, limite, suite auxiliaire géométrique, seuil, somme SnS_n et limites de Sn/nS_n/n ou Sn−nS_n-n
L'exercice autonome de suites des sections Techniques et Informatique suit le plus souvent le même fil : l'énoncé fournit une identité (un+12−un2=…u_{n+1}^2-u_n^2=\dots, un+1−1=(un−1)2u_{n+1}-1=(\sqrt{u_n}-1)^2…) qui sert trois fois — dans l'hérédité de la…
Signature : « Montrer que pour tout n∈Nn\in\N, un+12−un2=…u_{n+1}^2-u_n^2=\dots » ; « Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison … » ; « À partir de quelle valeur de nn a-t-on … ? » ; « Montrer que Sn>n+1S_n>n+1. En déduire la limite de (Sn)(S_n) » ; « calculer lim⁡Sn/n\lim S_n/n » ; « Déterminer alors lim⁡(Sn−n)\lim(S_n-n) » ; « Vérifier que f(uk)=uk−uk+1f(u_k)=u_k-u_{k+1} »
Suite homographique un+1=aun+bcun+du_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d} : encadrement, monotonie, puis suite auxiliaire un−αun−β\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} géométrique (ou 1un−α\dfrac1{u_n-\alpha} arithmétique), forme explicite et limite
Une suite homographique un+1=aun+bcun+du_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d} se traite en deux temps. D'abord l'étude qualitative : on encadre unu_n par récurrence (souvent grâce à une écriture factorisée de un+1−αu_{n+1}-\alpha fournie par l'énoncé), on lit…
Signature : « Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, 0≤un≤10\le u_n\le1 » ; « vérifier que un+1−un=…u_{n+1}-u_n=\dots et déduire que la suite est croissante » ; « soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=un−1un+2v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} ; montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison qq » ; « exprimer vnv_n en fonction de nn et prouver que un=…u_n=\dots » ; « calculer lim⁡un\lim u_n »

Scénarios et épreuves du bac

Les liens confirmés et les repères à vérifier sont distingués ci-dessous.
Bac 2020 — session principalerepère confirmé
Exercice 1 (géométrie)Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissanteDéplacement défini par les images de deux points
L'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.
Exercice 2 (complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿDivisibilité par combinaison linéaire
La périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.
Exercice 4 (problème d'analyse)
L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.
Bac 2023 — session principale (couverture partielle)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Racine remarquable → factorisation → configuration de points.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Déplacement défini par les images de deux pointsSimilitude directe définie par les images de deux points
Unique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne à paramètre dans Z × Z (entiers premiers entre eux, solution particulière), puis congruence.
Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)
Suites d'intégrales et sommes de Riemann.
Bac 2024 — session principale (partiel)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)
Équation puis lecture géométrique des solutions.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Composer et conjuguer : nature de la composéeSimilitude directe définie par les images de deux pointsImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Commutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.
Exercice 4 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne 5u − 53v = 24, puis système de congruences modulo 5 et 53.
Sujet type 2025 (format officiel)repère confirmé
Exercice complexes
La racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).
Exercice arithmétiqueDivisibilité par combinaison linéairePetit théorème de Fermat
Montrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.
Problème d'analyse
L'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.
Bac 2026 — session principalerepère à vérifier
Exercice 1 (isométries et similitudes)à vérifier
Triangles rectangles isocèles : rotation, antidéplacement (symétrie glissante), puis similitude directe.
Exercice 2 (nombres complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)à vérifier
Équation du second degré à paramètre dans C, puis lecture géométrique : cercle, tangentes concourantes.
Exercice 3 (suites et arithmétique)PGCD d'une suite d'entiersà vérifier
Suite d'entiers étudiée modulo 10, puis équation diophantienne 2x − 5y = 1.
Exercice 4 (étude de fonction, intégrales, suites)à vérifier
Étude de x ↦ √(1 + eˣ), une intégrale, puis son encadrement par des sommes.