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méthode par scénarios · Mathématiques

Les 146 scénarios de l’épreuve de maths

Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario aide à choisir une démarche : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.

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chapitres
17
scénarios
146

Quand plusieurs chapitres se répondent

Section Mathématiques

Deux parcours à lire dans de vrais sujets : repère quelle question fournit l’outil de la suivante.

Une suite définie par une équation, sans récurrence explicite

Commence par la fonction : sur quel intervalle la solution est-elle unique ? Utilise ensuite l’inverse ou les variations pour comparer les termes et étudier leur limite.

À comparer : le nombre de branches change ; l’existence et l’unicité doivent être établies sur chaque intervalle avant de parler de la suite.

Des coordonnées entières : faire dialoguer géométrie et arithmétique

Le sujet commence dans les entiers, présente ensuite une parabole, puis relie les deux. Identifie la substitution qui transforme les coordonnées du point en solution de l’équation initiale ; réutilise le tableau des restes pour trancher.

Ouvrir 2025 contrôle · exercice 4 →

Un cas attesté à explorer, sans prétendre qu’il revient chaque année. Pour transférer : quelles contraintes sur les coordonnées permettent de réutiliser les congruences ?

Exercices existants, avec leurs sources et le statut de leurs corrections. Mode BAC utilise la filière de ton profil après connexion.

Nombres complexes

12 scénarios
Le quotient géomètre zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
Tout le chapitre tient dans une formule : zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} a pour module ACAB\dfrac{AC}{AB} et pour argument l'angle (AB⃗,AC⃗^)\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}\big). Réel ⇒\Rightarrow alignement ; imaginaire pur ⇒\Rightarrow…
Signature : « On pose Z=z−az−bZ=\dfrac{z-a}{z-b} » ; « montrer que ZZ est réel / imaginaire pur » ; « en déduire la nature du triangle ».
Équation dans C\mathbb{C}, module, argument et ensembles de points
On résout l'équation (E)(E) dans C\mathbb{C}, puis on interprète un quotient d'affixes par son module et son argument pour déterminer des ensembles de points. On ne cherche pas ici à reconnaître une rotation ou une similitude.
Signature : « Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation (E):z2−(1+i)z−i=0(E): z^2-(1+i)z-i=0 »
Équation z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0, forme exponentielle et condition réelle
On résout z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0 dans C\mathbb{C}, on écrit une solution sous forme exponentielle, puis on manipule des affixes (zD=z13z_D=z_1^3, un quotient) et une condition du type « z2+zˉz^2+\bar z réel ». Il n'y a ni similitude ni isométrie…
Signature : « Résoudre dans C\mathbb{C} : z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0 »
Équation du second degré dans ℂ — z² − (1+i)z + i = 0
Résoudre une équation du second degré dans C\mathbb{C} : calculer le discriminant Δ\Delta, en extraire une racine carrée complexe, puis appliquer les formules z=−b±δ2az=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}.
Signature : « z² − (1 + i)z + i = 0 »
Changement de variable Z = z + 1/z pour une équation
Certaines équations en zz et 1z\dfrac1z se linéarisent par Z=z+1zZ=z+\dfrac1z (ou Z=z+z‾Z=z+\overline{z}, etc.). On résout d'abord en ZZ dans C\mathbb{C}, puis on revient à zz.
Signature : « On pose Z = z + … »
L'exercice de nombres complexes complet : équation, forme exponentielle, configuration, nature d'un triangle
Ce scénario de complexes enchaîne : une équation du second degré à paramètre dont les racines s'écrivent sous forme exponentielle, des points définis par ces racines, une construction, puis la nature d'un triangle ou d'un…
Signature : « Vérifier que … est une solution de (E)(E) » ; « déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … d'affixe … » ; « montrer que zM−zN=… ei(… )z_M-z_N=\dots\,\e^{\i(\dots)} » ; « pour quelle valeur de θ\theta le triangle … est-il … ? ».
Application M↦M′M\mapsto M' non affine (z′=zz−1z'=\frac{z}{z-1}) : relation clé, points invariants, involution, AM⋅AM′=1AM\cdot AM'=1, images d'un cercle et d'une droite, construction de M′M'
Quand l'énoncé associe à M(z)M(z) un point M′(z′)M'(z') par une formule qui n'est pas de la forme az+baz+b ou azˉ+ba\bar z+b, ce n'est pas une similitude : tout repose sur une relation clé entre zz et z′z' (ici (z−1)(z′−1)=1(z-1)(z'-1)=1). En passant…
Signature : « À tout point MM d'affixe z≠az\ne a on associe le point M′M' d'affixe z′=…z'=\dots » ; « montrer que (z−a)(z′−a)=…(z-a)(z'-a)=\dots » ; « montrer que les points AA, MM et M′M' sont alignés si, et seulement si … est réel » ; « déterminer l'ensemble des points M′M' lorsque MM décrit … »
L'exercice de complexes paramétré de la principale : racine à vérifier, triangle sur le cercle unité, angle moitié, lieu d'un milieu, valeurs du paramètre
L'exercice de complexes de la principale suit presque toujours le même fil : une équation du second degré à paramètre θ\theta dont on vérifie une racine puis dont on obtient l'autre par le produit (ou la somme) ; les deux racines…
Signature : « Vérifier que … est une solution de (Eθ)(E_\theta) ; déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … » ; « montrer que zM−zN=2sin⁡θ2 ei(… )z_M-z_N=2\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i(\dots)} » ; « déterminer l'ensemble des points II lorsque θ\theta varie » ; « pour quelle valeur de θ\theta le triangle est-il rectangle ? »
Points d'affixes données sur un cercle : équation à discriminant fourni, construction justifiée, losange et aire, perpendicularité, orthocentre (Sc. exp., Techniques, Informatique)
Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de nombres complexes suit presque toujours le même fil : une équation du second degré dont le discriminant est fourni sous forme de carré ; ses solutions…
Signature : « Vérifier que le discriminant de (E)(E) est égal à (… )2(\dots)^2 » ; « Montrer que AA appartient au cercle Γ\Gamma » ; « Construire les points … » ; « Montrer que le quadrilatère … est un losange (un carré, un parallélogramme) et calculer son aire » ; « En déduire que les droites … sont perpendiculaires » ; « Déduire que HH est l'orthocentre du triangle … »
Point inconnu défini géométriquement : poser zD=iaz_D=ia, zH=x+3iz_H=x+3i ou zD=t zAz_D=t\,z_A, puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)
Quand un point est défini par une construction (intersection d'une droite avec un axe, pied d'une perpendiculaire, second point d'intersection avec un cercle), on ne calcule pas son affixe d'un coup : on la pose avec une inconnue…
Signature : « On pose zD=iaz_D=ia où aa est un réel. Montrer que … » ; « Justifier que l'affixe du point EE s'écrit zE=x−2iz_E=x-2i » ; « Pour quelle valeur du réel xx le point DD appartient-il à la droite (BE)(BE) ? » ; « Soit tt le réel tel que zD=t zAz_D=t\,z_A » ; « Déterminer alors l'affixe du point HH »
Valeurs exactes de cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} et sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12} (ou 5π12\frac{5\pi}{12}) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle
Pour obtenir le cosinus et le sinus d'un angle qui n'est pas remarquable, comme π12=π4−π6\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}, on fabrique un nombre complexe dont on connaît les deux écritures : l'écriture exponentielle, par le produit…
Signature : « Écrire les nombres complexes 1+i31+i\sqrt3 et 1−i1-i sous forme exponentielle » ; « En déduire la valeur exacte de cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} » ; « Donner alors les valeurs exactes de cos⁡5π12\cos\frac{5\pi}{12} et sin⁡5π12\sin\frac{5\pi}{12} » ; « Justifier que la demi-droite [OI)[OI) est la bissectrice de l'angle AOB^\widehat{AOB} » ; « En déduire que zE=5 eiθz_E=\sqrt5\,e^{i\theta} »
Racines nn-ièmes d'un nombre complexe : résoudre zn=az^n=a, placer les images sur un cercle, reconnaître un polygone régulier
Pour résoudre zn=az^n=a (a≠0a\neq0), on écrit a=ρ eiαa=\rho\,e^{i\alpha} et l'inconnue z=r eiφz=r\,e^{i\varphi} (r>0r>0) : l'égalité des formes exponentielles donne r=ρnr=\sqrt[n]{\rho} et nφ≡α [2π]n\varphi\equiv\alpha\ [2\pi], soit…
Signature : « Déterminer les racines cubiques du nombre complexe a » ; « Donner sous forme exponentielle les racines n-ièmes de l'unité » ; « Vérifier que (z₀)ⁿ = a ; en déduire les solutions de zⁿ = a » ; « Montrer que les points … sont les sommets d'un polygone régulier ».

Scénarios et épreuves du bac

Les liens confirmés et les repères à vérifier sont distingués ci-dessous.
Bac 2020 — session principalerepère confirmé
Exercice 1 (géométrie)Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissanteDéplacement défini par les images de deux points
L'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.
Exercice 2 (complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿDivisibilité par combinaison linéaire
La périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.
Exercice 4 (problème d'analyse)
L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.
Bac 2023 — session principale (couverture partielle)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Racine remarquable → factorisation → configuration de points.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Déplacement défini par les images de deux pointsSimilitude directe définie par les images de deux points
Unique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne à paramètre dans Z × Z (entiers premiers entre eux, solution particulière), puis congruence.
Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)
Suites d'intégrales et sommes de Riemann.
Bac 2024 — session principale (partiel)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)
Équation puis lecture géométrique des solutions.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Composer et conjuguer : nature de la composéeSimilitude directe définie par les images de deux pointsImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Commutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.
Exercice 4 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne 5u − 53v = 24, puis système de congruences modulo 5 et 53.
Sujet type 2025 (format officiel)repère confirmé
Exercice complexes
La racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).
Exercice arithmétiqueDivisibilité par combinaison linéairePetit théorème de Fermat
Montrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.
Problème d'analyse
L'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.
Bac 2026 — session principalerepère à vérifier
Exercice 1 (isométries et similitudes)à vérifier
Triangles rectangles isocèles : rotation, antidéplacement (symétrie glissante), puis similitude directe.
Exercice 2 (nombres complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)à vérifier
Équation du second degré à paramètre dans C, puis lecture géométrique : cercle, tangentes concourantes.
Exercice 3 (suites et arithmétique)PGCD d'une suite d'entiersà vérifier
Suite d'entiers étudiée modulo 10, puis équation diophantienne 2x − 5y = 1.
Exercice 4 (étude de fonction, intégrales, suites)à vérifier
Étude de x ↦ √(1 + eˣ), une intégrale, puis son encadrement par des sommes.