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méthode par scénarios · Mathématiques

Les 146 scénarios de l’épreuve de maths

Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario aide à choisir une démarche : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.

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chapitres
17
scénarios
146

Quand plusieurs chapitres se répondent

Section Mathématiques

Deux parcours à lire dans de vrais sujets : repère quelle question fournit l’outil de la suivante.

Une suite définie par une équation, sans récurrence explicite

Commence par la fonction : sur quel intervalle la solution est-elle unique ? Utilise ensuite l’inverse ou les variations pour comparer les termes et étudier leur limite.

À comparer : le nombre de branches change ; l’existence et l’unicité doivent être établies sur chaque intervalle avant de parler de la suite.

Des coordonnées entières : faire dialoguer géométrie et arithmétique

Le sujet commence dans les entiers, présente ensuite une parabole, puis relie les deux. Identifie la substitution qui transforme les coordonnées du point en solution de l’équation initiale ; réutilise le tableau des restes pour trancher.

Ouvrir 2025 contrôle · exercice 4 →

Un cas attesté à explorer, sans prétendre qu’il revient chaque année. Pour transférer : quelles contraintes sur les coordonnées permettent de réutiliser les congruences ?

Exercices existants, avec leurs sources et le statut de leurs corrections. Mode BAC utilise la filière de ton profil après connexion.

Primitivisation et calcul intégral

12 scénarios
Aires planes et calcul intégral
Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre λ\lambda puis on passe à la limite. Même chapitre, autre visage : encadrer une intégrale sans la calculer et…
Signature : « Calculer l'aire A(λ)A(\lambda) » ; « déterminer lim⁡A(λ)\lim A(\lambda) » ; « encadrer une intégrale sans la calculer ».
Suite d'intégrales, primitive et aire — f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x
L'exercice porte sur une suite d'intégrales unu_n : on l'encadre (positivité, majoration) pour en déduire sa limite, on établit une relation de récurrence par intégration par parties, puis on calcule une aire à l'aide d'une…
Signature : « un=∫1/e1tnet dtu_n=\int_{1/e}^{1} t^n e^{t}\,dt »
Suite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx — primitive et aire
On étudie la suite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx : on identifie d'abord une primitive de x↦ln⁡(x+1)x\mapsto\ln(x+1), on calcule par intégration par parties, puis on lit I2I_2 comme une aire.
Signature : « In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx »
Primitive de ln⁡2x\ln^2 x, ∫xln⁡x\int x\ln x et calcul d'aire
On vérifie une primitive de ln⁡2x\ln^2 x, on calcule ∫1exln⁡x dx\int_1^e x\ln x\,dx par intégration par parties, puis on en déduit par linéarité l'aire associée à f(x)=xln⁡x−2ln⁡2xf(x)=x\ln x-2\ln^2 x entre 11 et ee.
Signature : « Primitive de ln⁡2x\ln^2 x »
Intégrales I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx et J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx
Sur le modèle d'un devoir de contrôle n°3 de Sciences expérimentales (2018) : couple d'intégrales II et JJ de cos⁡4\cos^4 et sin⁡4\sin^4, intégration par parties, calcul via I+JI+J et I−JI-J.
Signature : « I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx, J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx »
Suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx et aire
Sur le modèle d'un devoir de contrôle n°2 de Sciences expérimentales (2024) : suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx, majoration, limite, puis aire entre deux courbes sur [0,1][0,1].
Signature : « In=∫01xn/(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 x^n/(1+x)^3\,dx »
Le problème d'analyse en deux parties : étude de f, aire, suite d'intégrales
Ce scénario travaille un problème d'analyse en parties : la partie A étudie une fonction (limites, dérivée, tableau), la partie B en fait la mesure — une aire exprimée par une intégrale, puis une suite d'intégrales…
Signature : « Partie A … Partie B » ; « Dresser le tableau de variation de ff » ; « on pose In=∫ab… dtI_n=\displaystyle\int_a^b \dots\,\dd t pour tout entier n≥1n\geq 1 » ; « montrer que In+In+2=…I_n+I_{n+2}=\dots » ; « en déduire lim⁡In\lim I_n ».
Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification F=HF=H, aire et limites
Quand l'énoncé définit F(x)=∫au(x)f(t) dtF(x)=\displaystyle\int_a^{u(x)}f(t)\,dt sans que l'on sache calculer une primitive de ff, on ne calcule pas l'intégrale : on dérive (F′(x)=u′(x) f(u(x))F'(x)=u'(x)\,f(u(x))), on reconnaît la dérivée d'une fonction HH donnée…
Signature : « Soit FF la fonction définie sur … par F(x)=∫0ln⁡xf(t) dtF(x)=\int_0^{\ln x}f(t)\,dt. Montrer que FF est dérivable et calculer F′(x)F'(x) » ; « montrer que pour tout x>0x>0, F(x)=H(x)F(x)=H(x) » ; « montrer que F′(x)=G′(x)F'(x)=G'(x) » ; « en déduire la valeur de l'intégrale » ; « montrer que A(λ)=F(eλ)\mathcal A(\lambda)=F(e^{\lambda}) »
Suite d'intégrales Un=∫(f(x))ndxU_n=\int\left(f(x)\right)^n dx des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine nn-ième
La dernière partie du problème intègre les puissances de la fonction que l'on vient d'étudier : Un=∫ab(f(x))ndxU_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx. On ne calcule jamais UnU_n : tout se lit sur la partie A. Si 0≤f≤10\le f\le1, la suite est positive et…
Signature : « Pour tout n≥1n\ge1, on pose Un=∫ab(f(x))ndxU_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx » ; « montrer que 0≤Un≤αn+10\le U_n\le\frac{\alpha}{n+1} » ; « montrer que la suite (Un)(U_n) est décroissante et en déduire qu'elle est convergente » ; « justifier que nn=eln⁡nn\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}} puis montrer que lim⁡Unn=1\lim\sqrt[n]{U_n}=1 »
Le problème d'analyse à la longueur du bac : étude de x(ln⁡x)2x(\ln x)^2 avec demi-tangente, tangente et aire ; fonctions intégrales égales ; suite d'intégrales par IPP ; série alternée
Le dernier exercice de la section Mathématiques est un seul problème en trois temps : on étudie une fonction jusqu'au tracé et à une aire (partie A), on l'exploite pour identifier deux fonctions définies par des intégrales et obtenir…
Signature : « Montrer que ff est continue à droite en 00 » ; « calculer lim⁡x→0+f(x)x\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x} et interpréter graphiquement » ; « montrer que les fonctions GnG_n et HnH_n sont dérivables » ; « montrer que Gn(x)=Hn(x)G_n(x)=H_n(x) pour tout x>0x>0 » ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que Un=…U_n=\dots » ; « en déduire lim⁡nUn\lim nU_n »
Le problème d'analyse sur une fonction logarithme : étude de ln⁡(1+x2)\ln(1+x^2) avec tangente d'inflexion, réciproque et annexe, puis la suite In=∫01xn1+x2 dxI_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\,dx, l'aire par parties et une somme alternée
En section Mathématiques, le problème d'analyse (le plus souvent l'exercice 4) est bâti, dans les sessions 2015–2026, sur une fonction logarithme, exponentielle ou racine, jamais sur une simple fraction rationnelle. Ici…
Signature : « Montrer que lim⁡f(x)x=0\lim\frac{f(x)}{x}=0 et interpréter graphiquement » ; « montrer qu'une équation de la tangente TT au point II est… » ; « étudier la position relative de (C)(\mathcal C) et TT » ; « montrer que ff réalise une bijection… et que f−1(x)=…f^{-1}(x)=\dots » ; « dans la figure de l'annexe, on a tracé la tangente TT… Tracer (C)(\mathcal C) et (C′)(\mathcal C') » ; « montrer que In+In+2=…I_n+I_{n+2}=\dots » ; « en déduire lim⁡nIn\lim nI_n »
Somme d'une suite d'intégrales : la somme géométrique sous l'intégrale
Quand uk=∫ab(f(x))k dxu_k=\int_a^b(f(x))^k\,dx ne se calcule pas, la somme Sn=u1+⋯+unS_n=u_1+\dots+u_n se calcule souvent : par linéarité, elle est l'intégrale d'une somme géométrique de raison f(x)f(x), et ∑k=1n(f(x))k=f(x)1−(f(x))n1−f(x)\sum_{k=1}^n(f(x))^k=f(x)\frac{1-(f(x))^n}{1-f(x)}…
Signature : « Montrer que S_n = ∫ … (1 − (f(t))^n)/(1 − f(t)) dt » ; « montrer que (S_n) converge » ; « S_n(t) = Σ t^k ; ∫ S_n(t) dt = u_n ».

Scénarios et épreuves du bac

Les liens confirmés et les repères à vérifier sont distingués ci-dessous.
Bac 2020 — session principalerepère confirmé
Exercice 1 (géométrie)Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissanteDéplacement défini par les images de deux points
L'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.
Exercice 2 (complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿDivisibilité par combinaison linéaire
La périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.
Exercice 4 (problème d'analyse)
L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.
Bac 2023 — session principale (couverture partielle)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Racine remarquable → factorisation → configuration de points.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Déplacement défini par les images de deux pointsSimilitude directe définie par les images de deux points
Unique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne à paramètre dans Z × Z (entiers premiers entre eux, solution particulière), puis congruence.
Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)
Suites d'intégrales et sommes de Riemann.
Bac 2024 — session principale (partiel)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)
Équation puis lecture géométrique des solutions.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Composer et conjuguer : nature de la composéeSimilitude directe définie par les images de deux pointsImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Commutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.
Exercice 4 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne 5u − 53v = 24, puis système de congruences modulo 5 et 53.
Sujet type 2025 (format officiel)repère confirmé
Exercice complexes
La racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).
Exercice arithmétiqueDivisibilité par combinaison linéairePetit théorème de Fermat
Montrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.
Problème d'analyse
L'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.
Bac 2026 — session principalerepère à vérifier
Exercice 1 (isométries et similitudes)à vérifier
Triangles rectangles isocèles : rotation, antidéplacement (symétrie glissante), puis similitude directe.
Exercice 2 (nombres complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)à vérifier
Équation du second degré à paramètre dans C, puis lecture géométrique : cercle, tangentes concourantes.
Exercice 3 (suites et arithmétique)PGCD d'une suite d'entiersà vérifier
Suite d'entiers étudiée modulo 10, puis équation diophantienne 2x − 5y = 1.
Exercice 4 (étude de fonction, intégrales, suites)à vérifier
Étude de x ↦ √(1 + eˣ), une intégrale, puis son encadrement par des sommes.