méthode par scénarios · Mathématiques
Les 146 scénarios de l’épreuve de maths
Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario aide à choisir une démarche : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.
chapitres
17
scénarios
146
Quand plusieurs chapitres se répondent
Section MathématiquesDeux parcours à lire dans de vrais sujets : repère quelle question fournit l’outil de la suivante.
Une suite définie par une équation, sans récurrence explicite
Commence par la fonction : sur quel intervalle la solution est-elle unique ? Utilise ensuite l’inverse ou les variations pour comparer les termes et étudier leur limite.
- 2016 principale · exercice 4 — deux branches : deux solutions, deux suites.
- 2018 contrôle · exercice 3 — une bijection définit la suite ; comparer ensuite sa croissance à celle de l’indice.
- 2025 contrôle · exercice 2 — fonction réciproque, suite implicite, puis encadrement d’une intégrale.
À comparer : le nombre de branches change ; l’existence et l’unicité doivent être établies sur chaque intervalle avant de parler de la suite.
Des coordonnées entières : faire dialoguer géométrie et arithmétique
Le sujet commence dans les entiers, présente ensuite une parabole, puis relie les deux. Identifie la substitution qui transforme les coordonnées du point en solution de l’équation initiale ; réutilise le tableau des restes pour trancher.
Ouvrir 2025 contrôle · exercice 4 →
Un cas attesté à explorer, sans prétendre qu’il revient chaque année. Pour transférer : quelles contraintes sur les coordonnées permettent de réutiliser les congruences ?
Exercices existants, avec leurs sources et le statut de leurs corrections. Mode BAC utilise la filière de ton profil après connexion.
Suites réelles
11 scénariosSuite récurrente et l'IAF
Le cœur « créatif » du problème. Une suite est définie par et l'on veut sa limite. Trois temps : (1) montrer qu'un intervalle contenant le point fixe est stable () ; (2) majorer…
Signature : « Soit définie par » ; « montrer que ».
Suites arithmétiques et géométriques — somme des termes
L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. On commence par écrire le total demandé sous la forme d'une somme, on identifie (ou …
Signature : « Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de à ».
Convergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes
L'enjeu est de prouver la convergence d'une suite en la comparant ou en l'encadrant par des suites dont la limite est connue. Deux outils phares : le théorème des gendarmes ( avec et …
Signature : « Montrer que la suite est croissante et majorée » ; « En déduire la limite de » ; « Encadrer puis appliquer le théorème des gendarmes ».
Suite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée
Pour , on montre , la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie . Le changement produit une suite arithmétique.
Signature : « suite (Un) est décroissante »
Suite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence
Pour avec et , on prouve (AM-GM ou récurrence), puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie et .
Signature : « suite (un) est décroissante »
Suite définie implicitement : admet une unique solution ; encadrement, monotonie par comparaison d'images, limite, équivalent
Quand une équation dépend d'un entier et admet, grâce à une bijection, une unique solution , on étudie la suite sans jamais la calculer : on l'encadre par le signe de en deux points, on compare…
Signature : « Montrer que l'équation admet une unique solution » ; « on définit ainsi une suite » ; « montrer que ; en déduire que la suite est croissante » ; « en déduire que est convergente et déterminer sa limite »
Suite définie par une somme d'intégrales : relation de Chasles, encadrement terme à terme, comparaison avec
Au bac, une somme se traite rarement par une formule : on l'écrit comme une intégrale (relation de Chasles sur des intégrales ) ou on l'encadre terme à terme par des intégrales grâce à la…
Signature : « Pour tout , on pose » ; « montrer que pour tout , » ; « en déduire un encadrement de » ; « déterminer »
Suite arithmético-géométrique : ni arithmétique ni géométrique, suite auxiliaire géométrique, forme explicite et limite
Une suite définie par (avec et ) n'est ni arithmétique ni géométrique : on le prouve avec trois termes (deux différences, puis deux quotients). L'énoncé donne la suite auxiliaire, le plus souvent…
Signature : « Calculer et . En déduire que la suite n'est pas arithmétique » ; « justifier que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique » ; « soit la suite définie par » ; « montrer que est une suite géométrique de raison et de premier terme que l'on calculera » ; « en déduire que »
Modéliser une situation par une suite arithmético-géométrique (abonnement, clients, spectateurs, contrat) : récurrence justifiée par le texte, plancher ou plafond, rang converti en année
Le texte décrit une quantité qui, d'une étape à la suivante, garde un pourcentage de sa valeur et reçoit un apport fixe (ou en perd un) : c'est une suite arithmético-géométrique , et la première tâche est de…
Signature : « Justifier que pour tout entier , » ; « expliquer pourquoi le joueur ne pourra jamais recevoir une somme supérieure ou égale à… » ; « déterminer l'année à partir de laquelle le montant… sera inférieur à… » ; « dans combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il… ? » ; « quel est le rang du mois où le nombre de clients dépassera… ? »
Exercice de suites Techniques/Informatique : identité fournie, récurrence, monotonie, limite, suite auxiliaire géométrique, seuil, somme et limites de ou
L'exercice autonome de suites des sections Techniques et Informatique suit le plus souvent le même fil : l'énoncé fournit une identité (, …) qui sert trois fois — dans l'hérédité de la…
Signature : « Montrer que pour tout , » ; « Montrer que est une suite géométrique de raison … » ; « À partir de quelle valeur de a-t-on … ? » ; « Montrer que . En déduire la limite de » ; « calculer » ; « Déterminer alors » ; « Vérifier que »
Suite homographique : encadrement, monotonie, puis suite auxiliaire géométrique (ou arithmétique), forme explicite et limite
Une suite homographique se traite en deux temps. D'abord l'étude qualitative : on encadre par récurrence (souvent grâce à une écriture factorisée de fournie par l'énoncé), on lit…
Signature : « Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , » ; « vérifier que et déduire que la suite est croissante » ; « soit la suite définie par ; montrer que est une suite géométrique de raison » ; « exprimer en fonction de et prouver que » ; « calculer »
Limites et continuité
6 scénariosCalcul de limites et formes indéterminées
L'exercice présente des limites avec formes indéterminées (, , , ). La stratégie est de lever la FI par l'une des techniques canoniques…
Signature : « Calculer » ; « Lever la forme indéterminée » ; « Calculer les limites suivantes en précisant les formes indéterminées ».
Limites, asymptotes et variations — fonction
Une seule fonction, sur , porte tout l'exercice : on calcule ses limites aux bornes et on les interprète graphiquement (asymptotes), on dérive, on dresse le tableau de variation, puis on montre que l'équation…
Signature : « Soit définie sur par »
Asymptotes, continuité et variations —
Pour sur , on calcule les limites aux bornes et on lit les asymptotes (verticale en , branche infinie en ), on dresse le tableau de variation à partir du signe de , puis on montre que…
Signature : « Calculer . Interpréter graphiquement »
Asymptote verticale et asymptote oblique
On lit une asymptote verticale quand , et une asymptote oblique au voisinage de quand .
Signature : « asymptote verticale »
Asymptotes horizontale et verticale — lecture de limites
Une limite finie en donne une asymptote horizontale ; une limite infinie en donne une asymptote verticale .
Signature : « droite y = 2 est une asymptote »
Fonction définie par morceaux ou prolongée en un point : continuité à gauche et à droite au raccord (conjugué, encadrement), continuité sur , limites aux bornes et TVI
Une fonction est donnée par deux expressions de part et d'autre d'un réel , avec une valeur imposée ; ou par une expression qui n'existe pas en , complétée par Pour prouver qu'elle est continue en , on…
Signature : « Montrer que est continue à droite en » ; « montrer que est continue en » ; « déterminer le réel pour que soit continue en » ; « montrer que est prolongeable par continuité en » ; « montrer que pour tout , ; en déduire la limite de en »
Dérivabilité
7 scénariosDérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente
Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de en un point en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite : et . Si…
Signature : « Étudier la dérivabilité de en » ; « calculer » ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »
Étude des variations, extrema et optimisation
Cet exercice demande un tableau de variations complet : signe de , sens de variation, valeurs aux bornes et aux extrema locaux.
Signature : « Dresser le tableau de variations de » ; « déterminer les extrema de sur » ; « quelle valeur de maximise le volume ? » ; « exprimer en fonction de puis étudier ses variations »
Dérivée, variations et extrema — avec
On part de et on étudie : on dérive en factorisant , on dresse le tableau de variation, on lit les extrema, puis on calcule une aire par une intégrale.
Signature : « avec »
Dérivée, réciproque et aire —
La fonction est continue et strictement croissante sur : elle admet une réciproque , définie sur , que l'on exprime explicitement.
Signature : « ; montrer que admet une réciproque »
Dérivée de f = ln(e^x − 1) et comparaison à g
Pour avec , calculer , relier à , étudier via , et l'asymptote oblique .
Signature : « f est dérivable … f' = g »
Le problème de dérivabilité : asymptote oblique, tangente, position relative, équation
Ce scénario travaille une étude de fonction complète : limites et asymptotes (dont l'oblique, à trouver par ), dérivée factorisée, tableau, tangente en un point remarquable et position relative de…
Signature : « Calculer et interpréter graphiquement le résultat » ; « montrer que pour tout , » ; « dresser le tableau de variation de » ; « montrer qu'une équation de la tangente … est » ; « étudier la position relative de et ».
Fonction auxiliaire : variations, valeur remarquable, signe de , puis ou
Dans les sujets Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, le problème d'analyse s'ouvre très souvent par une partie A consacrée à une fonction auxiliaire , qui ne sert qu'à une chose : donner le signe de . On…
Signature : « Étudier le sens de variation de et en déduire que pour tout , » ; « Calculer puis déterminer le signe de » ; « Montrer que pour tout , » ; « Vérifier que » ; « Justifier que et ont même signe »
Fonctions réciproques
7 scénariosBijection et fonction réciproque
Dès qu'une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. La réciproque hérite de la monotonie, sa courbe est la symétrique de par…
Signature : « Montrer que réalise une bijection de sur » ; « calculer » ; « tracer et ».
Fonction réciproque : existence, expression, courbes symétriques
Une fonction bijective admet une réciproque vérifiant et . Les graphes de et sont symétriques par rapport à la droite . L'expression de …
Signature : « Montrer que admet une réciproque et déterminer son expression » ; « Les courbes de et sont-elles symétriques ? Par rapport à quelle droite ? » ; « Résoudre en ».
Dérivée de la réciproque et application
Si est dérivable et bijective avec , sa réciproque est dérivable et sa dérivée est donnée par , ou encore . Cette formule permet de…
Signature : « Calculer en utilisant la dérivée de la réciproque » ; « En déduire l'équation de la tangente à la courbe de » ; « Sachant que , calculer ».
Bijection et fonction réciproque g = f⁻¹
Montrer qu'une fonction est une bijection (continue, strictement monotone), introduire la fonction réciproque , en donner une expression, et étudier ou .
Signature : « f réalise une bijection »
Le problème avec fonction réciproque : bijection, expression de , équation , aire entre les deux courbes
Ce scénario relie la fonction réciproque à l'étude de fonction selon le chemin suivant : on prouve que est continue et strictement monotone (donc bijective de sur ), on explicite en résolvant…
Signature : « Montrer que possède une fonction réciproque définie sur … » ; « montrer que pour tout , » ; « montrer que l'équation admet une solution sur [a ; b] » ; « tracer » ; « aire de la région entre , et les droites … ».
Réciproque de la fonction tangente restreinte : , identités par dérivation, fonction intégrale, encadrement de
Au bac, la réciproque de la tangente restreinte à se note (ou ), jamais par un nom de fonction usuelle : tout se démontre à partir de .
Signature : « Montrer que réalise une bijection de sur ; on note sa fonction réciproque » ; « montrer que » ; « montrer que pour tout , »
Le problème de fonction du Sport : courbe fournie en annexe, paramètres de , bijection, courbe de par symétrie, explicite, aire
En section Sport, l'exercice de fonction commence souvent par une courbe donnée en annexe, sans formule. On lit d'abord ce que le dessin dit : limites (asymptote, branche parabolique), valeurs , nombre dérivé égal au…
Signature : « Dans l'annexe ci-jointe, on a représenté … la courbe d'une fonction » ; « En utilisant le graphique et les données » ; « justifier que » ; « On suppose que … justifier que » ; « Construire la courbe de dans le repère de la feuille annexe » ; « Montrer que »
Fonctions logarithmes
8 scénariosÉtude complète d'une fonction (ln, exp, composée)
C'est l'Acte I, le socle : tout le reste du problème s'appuie sur le tableau de variations obtenu ici. On procède toujours dans le même ordre, sans en sauter une étape, car chaque étape sert de brique à une question ultérieure (le signe de…
Signature : « Dresser le tableau de variations » ; « étudier les branches infinies » ; « en déduire que ».
Propriétés du ln, équations et inéquations logarithmiques
L'exercice mobilise les propriétés algébriques de : , , , ainsi que la stricte croissance de sur . Résoudre une équation revient à isoler le…
Signature : « Résoudre dans : » ; « En posant , résoudre l'inéquation » ; « Résoudre l'équation ».
Étude d'une fonction avec ln : variations, limites, tracé
L'exercice demande l'étude complète d'une fonction de la forme ou . Le protocole est : domaine de définition (positiver l'argument du ), limites aux bornes du domaine (croissances comparées…
Signature : « Étudier les variations de » ; « Montrer que pour tout » ; « Dresser le tableau de variations et préciser le minimum ».
Limites et croissances comparées, , primitives avec
Les croissances comparées expriment que croît plus lentement que toute puissance : pour , et pour (le terme polynomial « écrase »…
Signature : « En utilisant les croissances comparées, calculer » ; « Calculer par intégration par parties » ; « Montrer que ».
Étude de
Étudier sur : limites, signe de , variations, puis primitive candidate telle que .
Signature : «
Étude de en section Sport : asymptote verticale, tangente, points de l'annexe, tracé, primitive donnée et aire
L'exercice de fonction du Sport (l'exercice 3 sur 7 points en 2023, 2025 et 2026) étudie une seule fonction et va jusqu'à une aire. Tout se lit sur : le domaine est , la borne où donne…
Signature : « Soit la fonction définie sur par » ; « donner une équation de l'asymptote verticale » ; « recopier et compléter le tableau de variation » ; « montrer qu'une équation de la tangente … est » ; « montrer que les points et appartiennent à la courbe » ; « tracer la courbe dans le repère de l'annexe » ; « montrer que est une primitive de » ; « hachurer la partie … calculer l'aire »
Vrai ou faux de synthèse du Sport : , exponentielle, intégrale et variable aléatoire, sans justification
En 2022, 2025 et 2026, le premier exercice du Sport est un vrai ou faux de quatre à sept propositions sans justification : chacune teste une propriété du cours (, dérivée de , domaine de , limite…
Signature : « Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Pour chacune des propositions suivantes, copier le numéro et répondre par vrai ou faux » ; « Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte »
Problème logarithme des sections Sciences exp., Informatique, Techniques : fonction auxiliaire, direction asymptotique, , aire par parties et suite d'intégrales
Le long problème de fin d'épreuve des sections Sciences expérimentales, Informatique et Techniques suit une charpente fixe : une fonction auxiliaire étudiée en partie A livre une inégalité (, …
Signature : « Étudier le sens de variation de … en déduire que pour tout , … » ; « Montrer que la droite d'équation est une direction asymptotique à la courbe au voisinage de » ; « Montrer que admet une direction asymptotique qui est celle de la droite » ; « Étudier la position relative de la courbe et de la droite » ; « En utilisant la partie A, montrer que est strictement croissante » ; « Montrer que l'équation admet dans une unique solution » ; « En utilisant une intégration par parties … l'aire de la partie du plan limitée par , la droite et les droites d'équations et » ; « En utilisant la question A.2, montrer que … »
Fonctions exponentielles et puissances
10 scénariosFonction exponentielle : propriétés, équations et inéquations
La fonction est la seule fonction dérivable sur vérifiant et . De là découlent toutes ses propriétés : stricte croissance, , , partout. Les équations et…
Signature : « Résoudre » ; « résoudre dans l'inéquation » ; « montrer que l'équation admet une unique solution »
Fonction : variations, primitive et aire
Pour , l'exercice enchaîne limites, dérivée, tableau de variation et points d'inflexion, puis primitive, aire et valeur moyenne.
Signature : « »
Fonction : variations et aire
Pour , l'exercice enchaîne branches infinies, dérivée factorisée et tableau de variation, puis comparaison avec et aire entre les deux courbes.
Signature : « »
Équations et inéquations avec ; comparaison et
Scénario d'entraînement ancré sur le corrigé SE contrôle 2018 (vocabulaire exponentiel, , comparaison et droite) : résoudre des équations/inéquations en , et redémontrer utilisé dans l'épreuve.
Signature : « »
Le problème avec exponentielle : étude de , tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties
Quand l'exercice 4 porte une exponentielle, la partie A joue sur les croissances comparées (), la dérivée d'un produit et une tangente dont on étudie la position ; la partie B définit une suite d'intégrales…
Signature : « Calculer et interpréter graphiquement » ; « montrer que » ; « étudier la position relative de et » ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que … » ; « en déduire ».
Le problème de fonction Économie-Gestion : étude de , primitive donnée, bénéfice maximal, bénéfice moyen et seuil de production
Le dernier exercice d'Économie et Gestion est un problème de fonction qui finit en économie. La fonction , souvent de la forme ou , est d'abord étudiée comme en analyse : limite et asymptote, dérivée…
Signature : « Le bénéfice réalisé en milliers de dinars est égal à » ; « combien de pièces … pour réaliser un bénéfice maximal ? Préciser ce bénéfice à un dinar près » ; « déterminer le bénéfice moyen … entre et pièces » ; « quel est le nombre maximal d'objets produits par jour pour ne pas perdre ? » ; « donner un encadrement du nombre de pièces … pour que le bénéfice dépasse … »
Fonction auxiliaire lue sur sa courbe : signe de , , asymptote oblique , aire entre la courbe et la droite
Quand l'énoncé fournit d'abord une fonction auxiliaire — par sa courbe, par son tableau ou par sa formule —, tout le reste s'appuie sur le signe de : on montre que ou (parfois ), et le…
Signature : « Par lecture graphique, déterminer ; préciser le signe de » ; « montrer que » ; « recopier et compléter le tableau suivant donnant le signe de » ; « étudier la position relative de et de la droite … » ; « montrer que ; en déduire l'aire »
Fonction en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique
L'exercice de fonction des Lettres étudie une seule fonction simple, (ou ), et se termine sur une figure. On calcule deux valeurs, les deux limites (la limite de suffit), la dérivée dont…
Signature : « Calculer et » ; « justifier que » ; « montrer qu'une équation de la tangente … est » ; « l'une des deux figures suivantes représente la courbe de et sa tangente . Laquelle ? » ; « préciser, parmi ces deux courbes, celle de et celle de » ; « résoudre graphiquement l'inéquation »
Fonction Économie-Gestion donnée d'abord par sa courbe : lecture de , , des limites et du tableau, puis expression donnée, primitive, aire et bénéfice
En Économie et Gestion, surtout en session de contrôle, l'exercice de fonction commence souvent sans formule : une courbe est imprimée avec quelques données écrites (un point à tangente horizontale, une asymptote, une branche parabolique).
Signature : « En utilisant les données et le graphique, donner : et » ; « admet au point une tangente parallèle à l'axe des abscisses » ; « la droite d'équation est une asymptote à au voisinage de » ; « le nombre de solutions de l'équation » ; « on admet dans la suite que »
Le problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote en , et de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via , aire entre la courbe et l'asymptote et sa limite
En Sciences techniques et en Sciences de l'informatique, le dernier exercice est souvent un long problème sur une fonction de la forme , avec affine (dans le relevé 2015–2026 : 14 sessions de Sciences techniques et…
Signature : « Montrer que la droite est une asymptote à au voisinage de » ; « montrer que et sont de signes contraires » ; « calculer , en déduire que est au-dessous de » ; « déterminer , puis calculer »
Primitivisation et calcul intégral
12 scénariosAires planes et calcul intégral
Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre puis on passe à la limite. Même chapitre, autre visage : encadrer une intégrale sans la calculer et…
Signature : « Calculer l'aire » ; « déterminer » ; « encadrer une intégrale sans la calculer ».
Suite d'intégrales, primitive et aire —
L'exercice porte sur une suite d'intégrales : on l'encadre (positivité, majoration) pour en déduire sa limite, on établit une relation de récurrence par intégration par parties, puis on calcule une aire à l'aide d'une…
Signature : « »
Suite d'intégrales — primitive et aire
On étudie la suite d'intégrales : on identifie d'abord une primitive de , on calcule par intégration par parties, puis on lit comme une aire.
Signature : « »
Primitive de , et calcul d'aire
On vérifie une primitive de , on calcule par intégration par parties, puis on en déduit par linéarité l'aire associée à entre et .
Signature : « Primitive de »
Intégrales et
Sur le modèle d'un devoir de contrôle n°3 de Sciences expérimentales (2018) : couple d'intégrales et de et , intégration par parties, calcul via et .
Signature : « , »
Suite d'intégrales et aire
Sur le modèle d'un devoir de contrôle n°2 de Sciences expérimentales (2024) : suite d'intégrales , majoration, limite, puis aire entre deux courbes sur .
Signature : « »
Le problème d'analyse en deux parties : étude de f, aire, suite d'intégrales
Ce scénario travaille un problème d'analyse en parties : la partie A étudie une fonction (limites, dérivée, tableau), la partie B en fait la mesure — une aire exprimée par une intégrale, puis une suite d'intégrales…
Signature : « Partie A … Partie B » ; « Dresser le tableau de variation de » ; « on pose pour tout entier » ; « montrer que » ; « en déduire ».
Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification , aire et limites
Quand l'énoncé définit sans que l'on sache calculer une primitive de , on ne calcule pas l'intégrale : on dérive (), on reconnaît la dérivée d'une fonction donnée…
Signature : « Soit la fonction définie sur … par . Montrer que est dérivable et calculer » ; « montrer que pour tout , » ; « montrer que » ; « en déduire la valeur de l'intégrale » ; « montrer que »
Suite d'intégrales des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine -ième
La dernière partie du problème intègre les puissances de la fonction que l'on vient d'étudier : . On ne calcule jamais : tout se lit sur la partie A. Si , la suite est positive et…
Signature : « Pour tout , on pose » ; « montrer que » ; « montrer que la suite est décroissante et en déduire qu'elle est convergente » ; « justifier que puis montrer que »
Le problème d'analyse à la longueur du bac : étude de avec demi-tangente, tangente et aire ; fonctions intégrales égales ; suite d'intégrales par IPP ; série alternée
Le dernier exercice de la section Mathématiques est un seul problème en trois temps : on étudie une fonction jusqu'au tracé et à une aire (partie A), on l'exploite pour identifier deux fonctions définies par des intégrales et obtenir…
Signature : « Montrer que est continue à droite en » ; « calculer et interpréter graphiquement » ; « montrer que les fonctions et sont dérivables » ; « montrer que pour tout » ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que » ; « en déduire »
Le problème d'analyse sur une fonction logarithme : étude de avec tangente d'inflexion, réciproque et annexe, puis la suite , l'aire par parties et une somme alternée
En section Mathématiques, le problème d'analyse (le plus souvent l'exercice 4) est bâti, dans les sessions 2015–2026, sur une fonction logarithme, exponentielle ou racine, jamais sur une simple fraction rationnelle. Ici…
Signature : « Montrer que et interpréter graphiquement » ; « montrer qu'une équation de la tangente au point est… » ; « étudier la position relative de et » ; « montrer que réalise une bijection… et que » ; « dans la figure de l'annexe, on a tracé la tangente … Tracer et » ; « montrer que » ; « en déduire »
Somme d'une suite d'intégrales : la somme géométrique sous l'intégrale
Quand ne se calcule pas, la somme se calcule souvent : par linéarité, elle est l'intégrale d'une somme géométrique de raison , et …
Signature : « Montrer que S_n = ∫ … (1 − (f(t))^n)/(1 − f(t)) dt » ; « montrer que (S_n) converge » ; « S_n(t) = Σ t^k ; ∫ S_n(t) dt = u_n ».
Équations différentielles
6 scénariosÉquations et : résolution et condition initiale
Le fil conducteur : toute équation du premier ordre linéaire à coefficients constants se ramène à (homogène) ou (avec second membre constant). La solution générale de est , celle de est…
Signature : « Résoudre l'équation différentielle » ; « Déterminer la solution vérifiant » ; « Étudier le comportement de la solution en ».
Oscillateur harmonique : équation
Le problème s'identifie par la présence de et d'un terme sans amortissement. La solution générale est , ou de façon équivalente . Les deux constantes…
Signature : « Montrer que vérifie » ; « Donner la solution générale en fonction de et » ; « Déterminer la période propre ».
Modélisation par une équation différentielle : refroidissement, désintégration, charge
Le problème modélise un phénomène physique (refroidissement de Newton, désintégration radioactive, charge/décharge d'un condensateur) par une équation ou . La démarche est toujours : (1) établir l'équation différentielle à…
Signature : « Montrer que vérifie » ; « Exprimer en fonction de » ; « Déterminer la constante de temps » ; « À quelle date la température atteint-elle ? ».
Modélisation par : croissance d'une plante et condition initiale
La hauteur d'une plante de maïs est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle : on lit et pour déterminer et , on écrit la solution générale, puis on impose la…
Signature : « »
Équation : solution générale et applications numériques
Exercice d'après le corrigé SE contrôle 2017, centré sur la résolution explicite de , la solution générale, la condition initiale, et les questions d'application et (sans repasser par…
Signature : « »
De l'équation différentielle à l'expression de via
Troisième angle du corrigé SE contrôle 2017 : partir de l'équation différentielle et de la condition , , pour exprimer en fonction de , déterminer , puis écrire explicitement la…
Signature : « »
Nombres complexes
12 scénariosLe quotient géomètre
Tout le chapitre tient dans une formule : a pour module et pour argument l'angle . Réel alignement ; imaginaire pur …
Signature : « On pose » ; « montrer que est réel / imaginaire pur » ; « en déduire la nature du triangle ».
Équation dans , module, argument et ensembles de points
On résout l'équation dans , puis on interprète un quotient d'affixes par son module et son argument pour déterminer des ensembles de points. On ne cherche pas ici à reconnaître une rotation ou une similitude.
Signature : « Résoudre dans l'équation »
Équation , forme exponentielle et condition réelle
On résout dans , on écrit une solution sous forme exponentielle, puis on manipule des affixes (, un quotient) et une condition du type « réel ». Il n'y a ni similitude ni isométrie…
Signature : « Résoudre dans : »
Équation du second degré dans ℂ — z² − (1+i)z + i = 0
Résoudre une équation du second degré dans : calculer le discriminant , en extraire une racine carrée complexe, puis appliquer les formules .
Signature : « z² − (1 + i)z + i = 0 »
Changement de variable Z = z + 1/z pour une équation
Certaines équations en et se linéarisent par (ou , etc.). On résout d'abord en dans , puis on revient à .
Signature : « On pose Z = z + … »
L'exercice de nombres complexes complet : équation, forme exponentielle, configuration, nature d'un triangle
Ce scénario de complexes enchaîne : une équation du second degré à paramètre dont les racines s'écrivent sous forme exponentielle, des points définis par ces racines, une construction, puis la nature d'un triangle ou d'un…
Signature : « Vérifier que … est une solution de » ; « déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … d'affixe … » ; « montrer que » ; « pour quelle valeur de le triangle … est-il … ? ».
Application non affine () : relation clé, points invariants, involution, , images d'un cercle et d'une droite, construction de
Quand l'énoncé associe à un point par une formule qui n'est pas de la forme ou , ce n'est pas une similitude : tout repose sur une relation clé entre et (ici ). En passant…
Signature : « À tout point d'affixe on associe le point d'affixe » ; « montrer que » ; « montrer que les points , et sont alignés si, et seulement si … est réel » ; « déterminer l'ensemble des points lorsque décrit … »
L'exercice de complexes paramétré de la principale : racine à vérifier, triangle sur le cercle unité, angle moitié, lieu d'un milieu, valeurs du paramètre
L'exercice de complexes de la principale suit presque toujours le même fil : une équation du second degré à paramètre dont on vérifie une racine puis dont on obtient l'autre par le produit (ou la somme) ; les deux racines…
Signature : « Vérifier que … est une solution de ; déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … » ; « montrer que » ; « déterminer l'ensemble des points lorsque varie » ; « pour quelle valeur de le triangle est-il rectangle ? »
Points d'affixes données sur un cercle : équation à discriminant fourni, construction justifiée, losange et aire, perpendicularité, orthocentre (Sc. exp., Techniques, Informatique)
Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de nombres complexes suit presque toujours le même fil : une équation du second degré dont le discriminant est fourni sous forme de carré ; ses solutions…
Signature : « Vérifier que le discriminant de est égal à » ; « Montrer que appartient au cercle » ; « Construire les points … » ; « Montrer que le quadrilatère … est un losange (un carré, un parallélogramme) et calculer son aire » ; « En déduire que les droites … sont perpendiculaires » ; « Déduire que est l'orthocentre du triangle … »
Point inconnu défini géométriquement : poser , ou , puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)
Quand un point est défini par une construction (intersection d'une droite avec un axe, pied d'une perpendiculaire, second point d'intersection avec un cercle), on ne calcule pas son affixe d'un coup : on la pose avec une inconnue…
Signature : « On pose où est un réel. Montrer que … » ; « Justifier que l'affixe du point s'écrit » ; « Pour quelle valeur du réel le point appartient-il à la droite ? » ; « Soit le réel tel que » ; « Déterminer alors l'affixe du point »
Valeurs exactes de et (ou ) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle
Pour obtenir le cosinus et le sinus d'un angle qui n'est pas remarquable, comme , on fabrique un nombre complexe dont on connaît les deux écritures : l'écriture exponentielle, par le produit…
Signature : « Écrire les nombres complexes et sous forme exponentielle » ; « En déduire la valeur exacte de » ; « Donner alors les valeurs exactes de et » ; « Justifier que la demi-droite est la bissectrice de l'angle » ; « En déduire que »
Racines -ièmes d'un nombre complexe : résoudre , placer les images sur un cercle, reconnaître un polygone régulier
Pour résoudre (), on écrit et l'inconnue () : l'égalité des formes exponentielles donne et , soit…
Signature : « Déterminer les racines cubiques du nombre complexe a » ; « Donner sous forme exponentielle les racines n-ièmes de l'unité » ; « Vérifier que (z₀)ⁿ = a ; en déduire les solutions de zⁿ = a » ; « Montrer que les points … sont les sommets d'un polygone régulier ».
Arithmétique
9 scénariosDivisibilité par combinaison linéaire
La divisibilité « voyage » par combinaison : si divise deux entiers, il divise toute combinaison . On s'en sert pour éliminer la variable et ramener un diviseur inconnu à diviser une constante, dont on liste alors les…
Signature : « Montrer que divise… » ; « déterminer les entiers tels que » ; « montrer que ».
Congruences et restes des puissances
Les puissances de modulo sont périodiques : il existe un plus petit tel que . Une fois trouvé, le reste de ne dépend que de . Tout l'exercice consiste à débusquer cette période, puis à…
Signature : « Déterminer suivant les valeurs de le reste de modulo » ; tableau de congruences.
Petit théorème de Fermat
Quand un nombre premier et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat : si . Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divisibilités valables…
Signature : Un nombre premier en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».
Systèmes de numération et (spécificité tunisienne)
Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base et la structure . L'idée récurrente : une écriture transforme une question de divisibilité en…
Signature : « écrire en base » ; « dans , résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.
PGCD d'une suite d'entiers
Le scénario « créatif » : une suite d'entiers est donnée, et l'on étudie ou . La clé est presque toujours une combinaison linéaire qui fait apparaître une constante, montrant que deux termes…
Signature : Une suite d'entiers définie explicitement ; « montrer que et sont premiers entre eux » ; « déterminer ».
L'exercice d'arithmétique complet : divisibilité, Bézout, équation diophantienne, congruence
Ce scénario d'arithmétique relie les raisonnements suivants : une divisibilité transformée en congruence, deux entiers prouvés premiers entre eux, une équation diophantienne résolue par une solution particulière et le…
Signature : « Montrer que si divise … alors … … » ; « en déduire que … sont premiers entre eux » ; « vérifier que le couple … est une solution de » ; « résoudre dans » ; « déterminer les entiers tels que … (mod …) ».
L'exercice de Fermat complet : reste de , , équation modulo 53, système de congruences
Quand l'exercice d'arithmétique fait apparaître un nombre premier et de grandes puissances, le fil est le petit théorème de Fermat : réduit tout exposant modulo ; on en tire une congruence «…
Signature : « Soit un entier non nul premier avec … déterminer le reste modulo de » ; « montrer que (mod ) » ; « montrer que est une solution de » ; « en déduire que (mod ) » ; « résoudre dans le système ».
Congruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo , recombinaison modulo
Une équation du second degré modulo un nombre premier se traite comme dans , à condition de rester dans les congruences : on complète le carré (en multipliant par , ou en utilisant un inverse de modulo ), on reconnaît…
Signature : « Recopier et compléter le tableau des restes modulo de » ; « en déduire que l'équation … n'admet pas de solution » ; « vérifier que » ; « montrer que » ; « en déduire les solutions modulo »
Diophantienne appliquée et PGCD paramétré : solution particulière, achat concret, qui divise une constante, restes de puissances
Dans la section Sciences de l'informatique, l'exercice d'arithmétique suit presque toujours la même pente. Une équation dont on donne une solution fournit une solution particulière de ; le lemme de Gauss donne…
Signature : « Vérifier que est une solution de et en déduire une solution particulière de » ; « Montrer que vérifie l'équation » ; « Déterminer le nombre de … achetés » ; « En déduire que divise … » ; « Prouver que … » ; « Déduire que ou »
Géométrie dans l’espace
7 scénariosProduit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal
Le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé est . Le problème exploite deux usages : (1) orthogonalité (…
Signature : « Calculer » ; « Les droites et sont-elles orthogonales ? » ; « Déterminer le projeté orthogonal de sur » ; « Calculer ».
Produit vectoriel et déterminant : aires, volumes, colinéarité et coplanarité
Le produit vectoriel fournit un vecteur normal à et , de norme — ce qui donne directement l'aire du parallélogramme (et la moitié…
Signature : « Calculer » ; « En déduire l'aire du triangle » ; « Calculer le volume du tétraèdre » ; « Les points sont-ils coplanaires ? ».
Droites et plans : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections et distances
Une droite dans l'espace est décrite par un point et un vecteur directeur : représentation paramétrique . Un plan est décrit par un point et un vecteur normal : équation…
Signature : « Donner une représentation paramétrique de la droite » ; « Déterminer l'équation cartésienne du plan » ; « Étudier la position relative de et » ; « Calculer la distance de au plan ».
Sphères : équation, plan tangent et positions relatives
Une sphère de centre et de rayon a pour équation . Après développement, elle s'écrit (identifier le centre et le rayon par complétion du…
Signature : « Déterminer le centre et le rayon de la sphère » ; « Étudier la position du plan par rapport à » ; « Déterminer l'équation du plan tangent à au point » ; « Calculer le rayon du cercle d'intersection ».
L'exercice d'espace complet des sections Sc. expérimentales et Techniques : plan par trois points, volume, projeté orthogonal, sphère, cercle de section, diamètre et tangente
En Sciences expérimentales comme en Techniques, l'exercice d'espace est une seule chaîne : le produit vectoriel prouve que , , forment un plan, en donne l'équation, l'aire…
Signature : « Calculer les composantes du vecteur . En déduire que les points , et déterminent un plan » ; « Vérifier que … n'appartient pas au plan . Calculer le volume du tétraèdre » ; « Montrer que et sont sécants suivant le cercle de centre … et de rayon … » ; « Montrer que est un diamètre du cercle » ; « dans le plan , la droite … est tangente au cercle au point »
Famille d'objets à paramètre dans l'espace : sphère de centre variable, points et cercle communs, rayon minimal, tangence à un plan parallèle
La fin de l'exercice d'espace fait souvent varier un objet : un point parcourt une droite, une sphère a son centre sur une droite, un plan tourne autour d'une droite fixe.
Signature : « Soit … un point de . est la sphère de centre et passant par » ; « Montrer que, pour tout réel , la sphère passe par le point » ; « le plan coupe la sphère selon un cercle dont on déterminera le centre et le rayon » ; « Déterminer suivant les valeurs de la position relative » ; « Déterminer le réel pour que la sphère soit tangente au plan »
Sphère, famille de sphères par un cercle fixe et homothéties de l'espace
Deux sphères de rayons et se correspondent toujours par une homothétie : son rapport vaut ou , et son centre se lit sur la droite des centres grâce à…
Signature : « Montrer que est une sphère dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre » ; « montrer que coupe suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon » ; « déterminer les homothéties de l'espace transformant en » ; « soit l'image de la sphère par l'homothétie » ; « montrer que coupe le plan suivant un cercle »
Isométries et similitudes
10 scénariosAntidéplacements : réflexion et symétrie glissante
Un antidéplacement (isométrie indirecte, avec ) est soit une réflexion (s'il a des points fixes : ils forment son axe), soit une symétrie glissante (s'il n'en a aucun).
Signature : « Montrer que est un antidéplacement » ; « déterminer les points fixes » ; « en déduire la nature de ».
Similitude indirecte et forme réduite
La similitude indirecte (, ) se décompose en forme réduite : composée d'une homothétie et d'une réflexion de même centre, ou d'une similitude directe et d'une réflexion. On extrait le rapport , et l'on…
Signature : « Soit d'écriture » avec ; « décomposer ».
Déplacement défini par les images de deux points
Quand un déplacement est donné par les images de deux points distincts — « il existe un unique déplacement tel que et » — on décide d'abord s'il s'agit d'une translation…
Signature : « il existe un unique déplacement tel que et » ; « préciser la nature de » ; « déterminer le centre et l'angle de la rotation »
Composer et conjuguer : nature de la composée
La nature d'une composée d'isométries se lit sur la parité : déplacement déplacement déplacement, déplacement antidéplacement antidéplacement. Deux rotations d'angles opposés se composent en une translation…
Signature : « former » ; « deux isométries qui coïncident en deux points » ; « et sont deux rotations d'angles opposés » ; « en déduire que la composée est une translation »
Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissante
Même entrée que pour un déplacement, mais en antidéplacement : « est l'antidéplacement tel que et ». On décide entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices…
Signature : « est l'antidéplacement tel que et » ; « réflexion ou symétrie glissante » ; « l'axe est globalement invariant »
Similitude directe définie par les images de deux points
Dans ce scénario, la similitude directe est définie par des images de points (, ), plutôt que par une écriture complexe donnée. On lit le rapport et l'angle…
Signature : « Soit la similitude directe telle que et » ; « déterminer le rapport et l'angle de » ; « montrer que » ; « est la composée d'une homothétie et d'un déplacement ».
Images de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Une fois la similitude (ou l'isométrie) identifiée, le bac demande l'image d'une droite, d'un cercle (centre centre, rayon ), d'un milieu (« une similitude conserve les milieux »), puis une…
Signature : « Déterminer l'image par de la droite » ; « une similitude conserve les milieux » ; « montrer que est tangente au cercle » ; « construire le point ».
L'exercice de géométrie complet : déplacement, rotation, similitude directe et composée
Ce scénario de géométrie part d'une configuration (carré, triangle équilatéral, losange) et fait reconnaître successivement un déplacement (existence, angle, centre), une similitude directe (rapport, angle, centre), puis une…
Signature : « Montrer qu'il existe un unique déplacement qui envoie … sur … » ; « montrer que est une rotation d'angle … ; déterminer son centre » ; « soit la similitude directe qui envoie … » ; « montrer que est de rapport … et d'angle … » ; « en déduire que … est le centre de » ; « déterminer l'ensemble des points tels que … ».
Similitude indirecte donnée par deux couples de points : rapport, centre par , axe, forme réduite, images
Une similitude indirecte est entièrement fixée par deux points distincts et leurs images ; son rapport est le quotient des distances. Son centre ne se « voit » pas : on passe par , qui est…
Signature : « Soit la similitude indirecte telle que et » ; « déterminer ; en déduire que … » ; « montrer que appartient à la droite … privée du segment … » ; « déterminer l'axe de » ; « montrer que »
L'exercice de géométrie complet : antidéplacement, symétrie glissante, composée , similitude indirecte, centre et axe
Un antidéplacement donné par deux couples de points est d'abord classé (symétrie orthogonale ou symétrie glissante) ; son axe se lit sur les milieux des segments et son vecteur sur un point de l'axe.
Signature : « Montrer qu'il existe un unique antidéplacement qui envoie sur et sur » ; « Montrer que est une symétrie glissante » ; « Vérifier que l'axe de est la droite . Écrire alors la forme réduite de » ; « On pose … Montrer que est une similitude indirecte et déterminer son rapport » ; « Vérifier que » ; « Construire le point puis l'axe de »
Dénombrement et probabilités
11 scénariosArbre pondéré et formule des probabilités totales
On modélise une expérience à deux étapes (cause puis effet) par un arbre pondéré : les branches de premier niveau portent les probabilités des causes, celles de second niveau les probabilités conditionnelles.
Signature : « Traduire la situation par un arbre pondéré » ; « montrer que » (données en pourcentages).
Inversion de conditionnement (formule de Bayes)
La question « renverse la flèche » : on connaît (effet sachant la cause) et l'on demande (cause sachant l'effet). On revient à la définition , le numérateur étant un chemin de…
Signature : « Sachant que…, quelle est la probabilité que… » dans le sens inverse des données.
Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance
On associe à l'expérience un nombre (un gain, un nombre de succès). On dénombre les valeurs possibles, on calcule la probabilité de chacune (la loi), puis l'espérance . Un jeu est « équitable » si…
Signature : « Soit le gain algébrique » ; « déterminer la loi de » ; « le jeu est-il équitable ? ».
Loi binomiale (schéma de Bernoulli répété)
Dès qu'une même épreuve à deux issues (succès/échec) est répétée fois de façon indépendante et identique (tirage avec remise, ou grande population), le nombre de succès suit une loi binomiale . On calcule…
Signature : « On répète fois, de façon indépendante… » ; « au moins un » ; « déterminer le plus petit tel que… ».
Lois continues : uniforme et exponentielle
Le temps ou une mesure continue est modélisé par une variable à densité. Pour la loi exponentielle (durée de vie), ; elle est « sans vieillissement » : . On calcule des…
Signature : « La durée de vie suit une loi exponentielle » ; « sachant que l'appareil fonctionne depuis… ».
Probabilités et suites (le scénario créatif)
Une expérience se répète et l'on suit une probabilité à l'étape . Un arbre reliant l'étape à l'étape fournit une relation : c'est une suite arithmético-géométrique, dont on trouve le point fixe…
Signature : « On note la probabilité de… au -ième jour/tirage » ; « montrer que ».
L'exercice de probabilités complet : tirage simultané, variable aléatoire, conditionnement, répétition d'épreuves
L'exercice de probabilités du bac (3 points, 8 sessions sur 22, souvent en contrôle) suit un fil fixe : une urne et un tirage simultané (dénombrement par combinaisons), une variable aléatoire dont on dresse la loi…
Signature : « une urne contient … boules … on tire simultanément … » ; « justifier que … » ; « déterminer la loi de probabilité de » ; « calculer l'espérance et la variance » ; « on répète l'épreuve fois … déterminer le plus petit entier tel que … ».
Tirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de à compléter, , , jeu favorable
En section Sport, l'exercice de probabilités suit presque toujours la même trajectoire : un sac, un tirage simultané de deux (ou trois) objets, donc un univers compté par une combinaison dont toutes les issues sont…
Signature : « On tire simultanément et au hasard deux jetons du sac » ; « Justifier que le nombre de tous les cas possibles est égal à … » ; « Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain algébrique » ; « Justifier que les valeurs prises par X sont … » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « Ce jeu est-il favorable ? »
Arbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance, clients
En Économie-Gestion, l'exercice de probabilités part d'un texte de pourcentages (« des clients… ; parmi ceux-ci, … »). Tout commence par une traduction : un pourcentage global est une probabilité , un pourcentage «…
Signature : « Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que ; « Quelle est la probabilité … sachant que … ? » ; « Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifier. » ; « On admet que le nombre … est suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale » ; « Calculer la probabilité qu'au moins un des … »
Deux dés tétraédriques (section Lettres) : tableau à double entrée, probabilités par comptage des cases, puis l'expérience aléatoire répétée trois fois
En section Lettres, l'exercice de probabilités repose sur une expérience dont toutes les issues se voient : deux dés (souvent tétraédriques) lancés ensemble donnent issues équiprobables, rangées dans un…
Signature : « On dispose de deux dés tétraédriques parfaits » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « On répète trois fois l'expérience précédente » ; « … est réalisé exactement une fois » ; « … est réalisé au moins une fois » ; « L'une des trois propositions suivantes est vraie, laquelle ? »
L'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale (, « au plus un », plus petit )
Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de probabilités part très souvent d'un texte de pourcentages et enchaîne deux temps. D'abord une épreuve : on traduit les pourcentages en et en…
Signature : « Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que » ; « Sachant que …, calculer la probabilité que … » ; « Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres » ; « Calculer l'espérance mathématique de » ; « Justifier que » ; « la probabilité qu'au plus un … » ; « Déterminer la plus petite valeur de pour que »
Coniques
7 scénariosParabole comme lieu et équation réduite
Une parabole se reconnaît par une définition focale (PF = PH) ou par une équation après un bon choix de repère.
Signature : parabole
Ellipse : définition bifocale et excentricité
L'ellipse est le lieu des points tels que constant, avec .
Signature : ellipse
Hyperbole et asymptotes
Pour , les asymptotes sont .
Signature : hyperbole
Parabole y² = 4x − 4 — foyer, directrice et aire
Réduire à la forme pour lire le paramètre , le foyer et la directrice de la parabole, puis calculer une aire sous la courbe.
Signature : « parabole d'équation y2=4x-4 »
Ellipse et hyperbole : réduction, éléments caractéristiques, foyers communs
Toute conique à centre se lit sur sa forme réduite : est une ellipse (, grand axe du côté du plus grand dénominateur) et une…
Signature : « montrer que (E) est une ellipse … préciser les foyers, les sommets, les directrices » ; « montrer que (H) est une hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes »
Hyperbole : éléments caractéristiques, tracé et aire d'une région limitée par une branche
L'hyperbole du bac se traite en trois temps : (1) lire , , calculer puis sommets, foyers, excentricité , directrices et asymptotes ; (2) tracer en s'appuyant sur le…
Signature : « montrer que (H) est une hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes » ; « soit A l'aire de la partie du plan limitée par (H) et la droite d'équation x = … »
Conique à la manière du bac : point paramétré, tangente, longueur minimale et aire par une fonction intégrale
Au bac de la section Mathématiques (sessions 2015 à 2026), les coniques ne sont apparues qu'en session de contrôle (2016, 2018 et 2025), toujours données par leur équation : il a fallu reconnaître la conique et en donner le foyer et la…
Signature : « Vérifier que est un point de l'ellipse » ; « Justifier qu'une équation de la tangente à en est … » ; « La tangente coupe l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées respectivement en et » ; « En déduire que la distance est minimale si et seulement si … » ; « Montrer que est une parabole dont on déterminera le foyer et la directrice » ; « En déduire l'aire de l'intérieur de … »
Statistiques
10 scénariosSérie statistique : moyenne, variance, écart-type
La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : .
Signature : moyenne
Ajustement affine par moindres carrés
La droite de régression de en a pour pente et passe par le point moyen.
Signature : régression
Statistique à deux variables : corrélation, moindres carrés, prévision
Pour une statistique à deux variables, on calcule d'abord le coefficient de corrélation ; s'il justifie un ajustement affine, on écrit la droite des moindres carrés, puis on s'en sert pour une estimation.
Signature : « Statistique à deux variables »
Régression affine : production laitière (corrélation, prévision, seuil)
On interprète d'abord le coefficient de corrélation, puis on utilise la droite de régression pour prévoir une production de lait et résoudre une inéquation sur ce modèle affine : à partir de quand la production dépasse un seuil.
Signature : « Forte corrélation linéaire positive »
Série statistique double : calculer , , la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés
Quand le sujet donne les données brutes, il attend les calculs dans l'ordre : moyennes, puis écarts à la moyenne, puis , variances, coefficient de corrélation…
Signature : « calculer le coefficient de corrélation linéaire » ; « un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est-il justifié » ; « déterminer une équation de la droite de régression de C en t » ; « estimer … pour t = … »
Série chronologique de ventes : retrouver une valeur manquante par la moyenne, nuage de points et passage au logarithme
Une série chronologique se traite comme une série double où est le rang du temps. Trois gestes reviennent : retrouver une valeur manquante à partir de la moyenne (), lire la tendance sur le…
Signature : « calculer le nombre de livres vendus en janvier 2014 sachant que la moyenne des ventes … » ; « représenter le nuage de points de la série statistique (X, Y) » ; « on pose Z = ln(Y/10) … ajustement affine »
Régression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen, , droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil
Un tableau d'indicateurs annuels (exportations, prix, effectifs…) donne en fonction du rang de l'année. La chaîne est toujours la même : placer le nuage dans le repère de l'annexe, justifier l'ajustement affine par l'allure…
Signature : « Représenter le nuage de points de la série statistique dans l'annexe » ; « Justifier que ce nuage permet d'envisager un ajustement affine » ; « Déterminer les coordonnées du point moyen » ; « Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression de en » ; « trouver l'année à partir de laquelle … dépasserait … »
Second ajustement : tableau des , droite de en , modèle , puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle
Quand le nuage se courbe (croissance de plus en plus rapide), la droite des moindres carrés sous-estime les années futures.
Signature : « On pose ; recopier et compléter le tableau » ; « Déterminer une équation de la droite de régression de en » ; « En déduire que » ; « Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier votre réponse. » ; « la droite … obtenue par la méthode de Mayer »
QCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen, , droite de régression, estimation
Depuis 2023, l'épreuve des Lettres s'ouvre souvent sur un QCM à trois réponses sans justification ; en 2023 et en 2026, il porte sur toute la chaîne de la régression.
Signature : « Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Le nuage des points correspondant à la série est : » ; « Le rang de l'année … est : » ; « Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique est : » ; « Une estimation de lorsque vaut … est : »
Pression et altitude : droite des moindres carrés et son zéro absurde, puis , modèle et choix de l'ajustement le plus adapté
Un nuage qui décroît en s'aplatissant trompe la droite des moindres carrés : est proche de , mais la droite finit par couper l'axe des abscisses et prévoit des valeurs négatives, absurdes pour une grandeur positive.
Signature : « Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de en » ; « déterminer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses » ; « On pose » ; « Justifier que … peut être modélisé par » ; « Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adapté à la situation ? »
Matrices et systèmes linéaires
7 scénariosDéterminant, inversibilité et matrice inverse via produit A×B = k I
Pour une matrice , on calcule d'abord le déterminant : si , la matrice est inversible. On calcule ensuite un produit matriciel ; s'il vaut avec , on en déduit la…
Signature : « Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible »
Écriture matricielle d'un système économique et résolution par A^{-1}
Le second temps typique de l'épreuve Eco-Gestion relie une situation (coûts, quantités, paniers) à un système linéaire , puis à son écriture matricielle . La résolution passe par la matrice inverse déjà…
Signature : « Donner l'écriture matricielle du système (S) »
Produit matriciel quantités × prix et lecture économique
Un autre usage Eco-Gestion du produit matriciel : une matrice de quantités (usines × matières) multipliée par une matrice-colonne de prix unitaires donne le vecteur des coûts par usine.
Signature : « Calculer le produit Q×P »
Matrice A avec A² = 3A — inverse de B = I + A
Pour une matrice vérifiant , on construit et on montre que est inversible en exhibant un produit égal à un multiple de (souvent via ).
Signature : « A² = 3A »
Le problème de matrices Économie-Gestion : déterminant, tirée de , système , puis situation chiffrée à ramener à
L'exercice de matrices d'Économie et Gestion est une chaîne en trois temps où chaque partie sert la suivante. D'abord la matrice : un déterminant non nul, puis un produit qui fait apparaître une relation du type…
Signature : « Calculer puis vérifier que » ; « En déduire que la matrice inverse de est … » ; « Donner l'écriture matricielle du système » ; « Montrer que la situation se traduit par le système » ; « Combien de … de chaque type ? Justifier votre réponse »
Système pour identifier des coefficients : coût de production connu en trois points, puis coût et prix de vente
Depuis 2023, l'exercice de matrices d'Économie et Gestion change parfois de décor : les inconnues du système ne sont plus des quantités achetées mais les coefficients d'une expression — une fonction coût connue en…
Signature : « Montrer que est la matrice inverse de » ; « Montrer que le triplet est une solution du système » ; « Justifier que » ; « Montrer que , et vérifient le système » ; « Montrer que , et vérifient le système »
Le problème de matrices Informatique : déterminant, tirée de , système , puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction
L'exercice de matrices de la section Informatique est une chaîne dont chaque étape sert la suivante : le déterminant prouve que est inversible, une relation matricielle donnée (un produit , ou une relation …
Signature : « Calculer le déterminant de et en déduire que est inversible » ; « Calculer et en déduire que » ; « Montrer que , et en déduire » ; « En utilisant l'écriture matricielle du système , résoudre » ; « Montrer que le triplet est la solution du système » ; « sont équivalentes au système » ; « Montrer que la situation se traduit par le système »
Théorie des graphes
6 scénariosConnexité, degrés, chaîne et cycle eulériens
Le graphe non orienté de l'épreuve Eco-Gestion se lit d'abord par ses sommets et arêtes : ordre, degrés, connexité, puis critère d'eulérien (chaîne eulérienne connexe et exactement ou …
Signature : « Justifier que le graphe G est connexe »
Sous-graphe complet et nombre chromatique
Le nombre chromatique est borné par l'ordre du plus grand sous-graphe complet et par ( = degré maximal). Une coloration explicite (souvent type Welsh-Powell) fixe ensuite la valeur exacte.
Signature : « nombre chromatique du graphe »
Matrice d'adjacence, chemins de longueur n et plus court chemin (Dijkstra)
Deux lectures complémentaires du graphe Eco-Gestion : (1) la matrice associée (d'adjacence) dont les puissances comptent les chaînes de longueur ; (2) l'algorithme de Dijkstra pour le plus court chemin dans un…
Signature : « matrice M associée à ce graphe »
Degrés, sous-graphe complet, eulérien et chemins via M^n
Lire un graphe : degrés des sommets, sous-graphe complet (clique), chaîne eulérienne (0 ou 2 sommets de degré impair), et nombre de chemins de longueur via .
Signature : « sous graphe complet d'ordre 3 »
Graphe orienté : tableau , chaîne orientée eulérienne, arc à ajouter, matrice non symétrique et chaînes orientées de longueur
Dans un graphe orienté, chaque arc a un sens : on ne parle plus du degré d'un sommet mais de son degré sortant et de son degré entrant . Le critère d'Euler se lit sur la différence : nulle en chaque sommet, le…
Signature : « Recopier et compléter le tableau suivant où et représentent le nombre d'arcs sortants et entrants » ; « justifier que le graphe n'admet pas de cycle orienté eulérien » ; « montrer que admet une chaîne orientée eulérienne puis donner un exemple » ; « quel arc doit-on ajouter au graphe pour en avoir un graphe orienté eulérien de même ordre ? » ; « combien y a-t-il de chaînes orientées de longueur allant de à ? Citer ces chaînes »
Graphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition, , état stable, première année au-delà d'un seuil
Un graphe probabiliste à deux états décrit une évolution d'une étape à la suivante : chaque sommet est un état, chaque arc — boucles comprises — porte la probabilité de passer d'un état à l'autre, et les poids des arcs issus d'un même…
Signature : « Recopier et compléter le graphe probabiliste traduisant la situation » ; « déterminer la matrice de transition associée à » ; « on admet que ; déterminer l'état probabiliste … » ; « montrer que la matrice traduit l'état stable de la situation » ; « déterminer le rang de la semaine où, pour la première fois, … »
Scénarios et épreuves du bac
Les liens confirmés et les repères à vérifier sont distingués ci-dessous.Bac 2020 — session principalerepère confirmé
Exercice 1 (géométrie)Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissanteDéplacement défini par les images de deux points
L'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.
Exercice 2 (complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿDivisibilité par combinaison linéaire
La périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.
Exercice 4 (problème d'analyse)
L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.
Bac 2023 — session principale (couverture partielle)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)
Racine remarquable → factorisation → configuration de points.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Déplacement défini par les images de deux pointsSimilitude directe définie par les images de deux points
Unique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.
Exercice 3 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne à paramètre dans Z × Z (entiers premiers entre eux, solution particulière), puis congruence.
Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)
Suites d'intégrales et sommes de Riemann.
Bac 2024 — session principale (partiel)repère confirmé
Exercice 1 (complexes et géométrie)
Équation puis lecture géométrique des solutions.
Exercice 2 (isométries et similitudes)Composer et conjuguer : nature de la composéeSimilitude directe définie par les images de deux pointsImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Commutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.
Exercice 4 (arithmétique)Congruences et restes des puissances aⁿà vérifier
Équation diophantienne 5u − 53v = 24, puis système de congruences modulo 5 et 53.
Sujet type 2025 (format officiel)repère confirmé
Exercice complexes
La racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).
Exercice arithmétiqueDivisibilité par combinaison linéairePetit théorème de Fermat
Montrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.
Problème d'analyse
L'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.
Bac 2026 — session principalerepère à vérifier
Exercice 1 (isométries et similitudes)à vérifier
Triangles rectangles isocèles : rotation, antidéplacement (symétrie glissante), puis similitude directe.
Exercice 2 (nombres complexes)Le quotient géomètre (z_C − z_A) / (z_B − z_A)à vérifier
Équation du second degré à paramètre dans C, puis lecture géométrique : cercle, tangentes concourantes.
Exercice 3 (suites et arithmétique)PGCD d'une suite d'entiersà vérifier
Suite d'entiers étudiée modulo 10, puis équation diophantienne 2x − 5y = 1.
Exercice 4 (étude de fonction, intégrales, suites)à vérifier
Étude de x ↦ √(1 + eˣ), une intégrale, puis son encadrement par des sommes.